用基本模型構造高考壓軸題

摘 要：２０２３年重慶高考物理壓軸題延續之前壓軸題的特點，綜合性強，思維難度大。第15題的命題起點是高中物理中最基本的兩個模型。嘗試給出如何從最基本的模型構造出難度極大、選拔功能極強的高考壓軸題，為高考備考和模擬題命制提供參考。

關鍵詞：高考真題；壓軸題；命題策略

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）9-0049-5

２０２３年重慶高考物理卷第 １５ 題，作為全卷的壓軸題，綜合性強，思維難度大，突出體現了對學生關鍵能力和綜合素質的考查。據了解，完整解出此題的考生數量很少，不同能力水平考生的完成度差異明顯，體現出良好的試題區分度。拆解題目后發現，本題的核心是兩個高中物理最基本的模型，高三學生對這兩個模型都很熟悉，為什么組合起來就難以完成了呢？本文以此為例嘗試給出如何從最基本的模型構造出難度極大、選拔功能極強的高考壓軸題，為高考備考和模擬題命制提供參考。

第一步 根據考點，選擇基本模型。

本題計劃構造一道帶電粒子在電場和磁場中運動的綜合試題，先在電場和磁場中各選擇一個基本模型。

模型１：帶電粒子（質量為ｍ、電荷量為ｑ，重力略去不計，下同）以垂直于電場的速度ｖ０進入勻強電場（場強記為Ｅ）后，做類平拋運動，如圖１所示。

由牛頓第二定律，對帶電粒子有

qE=ma（1）

可得帶電粒子運動的加速度為

a=（2）

模型２：帶電粒子以垂直于磁場的速度ｖ０進入勻強磁場后（磁感應強度記為Ｂ），做勻速圓周運動，如圖２所示。

圖2 帶電粒子在均強磁場中運動

由牛頓第二定律，對帶電粒子有

qv0B=m=mR（3）

可得帶電粒子做勻速圓周運動的軌跡半徑和周期分別為

R=，T= （4）

第二步 增加變數，提升模型難度。

增加變數的方式很多，比如構造電場和磁場的邊界，改變帶電粒子的質量（同位素）、電荷量（同種元素的不同離子）、初速度（加速條件偏差）等屬性，引入其他受力等。本題主要從兩個方面增加變數。

變數１：讓帶電粒子的初速度大小有不同取值。

變數２：給電場和磁場各確定一條直線邊界。

如圖３所示，帶電粒子以不同大小的初速度同方向進入該勻強電場的直線邊界，由類平拋運動的基本規律可知

β1=β2=β（5）

圖3 不同速度大小的粒子進出電場邊界

其中，β的值為

β=arctan（2tanα1）-α1（6）

與粒子的初速度大小無關。

同時，考慮到粒子在出電場時垂直于電場方向的分速度和進入電場時相等，沿電場方向的分速度大于進入電場時的分量，所以

β<α1（7）

如圖４所示，帶電粒子以不同大小的初速度進出該勻強磁場的直線邊界，由圓的幾何關系不難得到

β3=β4=α2（8）

圖4 不同速度大小的粒子進出磁場邊界

同樣與粒子的初速度大小無關。

第三步 構造銜接，組合兩個模型。

構造１：讓粒子始終從同一點離開電場進入磁場。

兩個模型都是進入磁場的點相同，出射點不同。為了讓它們更好地組合起來，可以將電場里不同的軌跡進行平移，讓這些軌跡具有相同的出射點，不同的入射點，如圖５所示。如果粒子多次運動過程中，每次都是從同一點離開電場進入磁場，那么就可以將這兩個基本模型銜接在一起了。

圖5 帶電粒子在電場中有共同出射點的軌跡圖

但是，由前文對角度大小的討論可知，若直接將兩個邊界重合，粒子經磁場偏轉后再次進入電場時速度方向不再垂直于電場，讓后續運動的復雜程度顯著增加，運動過程無法形成周期性，如圖６所示。

圖6 電磁場邊界重合的情形

構造２：在兩個邊界之間增加一個真空區域。

由圖7可知，帶電粒子出磁場前一定存在一個狀態，其速度方向與電場線垂直，若磁場的邊界正好就在此處，電場和磁場邊界之間的區域為真空，那么粒子出磁場后經歷一段勻速直線運動，即可再次以垂直于電場的方向進入電場做類平拋運動。由類平拋運動的規律可知，只要每次入射方向相同，在電場直線邊界出射的方向就相同，經歷磁場中偏轉后又以同樣的方向進入真空，一段位移后再次以垂直于電場的方向進入電場，具備實現運動的周期性的可能。

圖7 電場、磁場邊界不重合的情形

構造３：選擇恰當的磁感應強度，以保證構造１成立。

若帶電粒子以垂直于電場的初速度ｖ０進入電場，建立如圖８所示的坐標系，則

x=v0t（9）

y=at2（10）

圖8 粒子進出電場邊界

出電場時，位移方向正好與電場邊界方向重合，有

tanα= （11）

出電場時的速度和位移大小分別為

v1=（12）

s=（13）

聯立以上各式可得

v1=v0（14）

s=（15）

粒子在磁場和真空中運動時速度大小均不變，所以粒子第二次進入電場時速度大小為ｖ０的ｋ倍，由（14）（15）式可知，在電場中第二次運動的位移為第一次的ｋ２倍，其中

k=（16）

為了保證粒子從同一點射出電場，需要選擇恰當的磁感應強度，讓粒子第二次入射點到第一次出射點的距離為第一次在電場中運動位移大小的k2倍。

不難發現，以后每一次粒子進入電場的速度都是上一次的ｋ倍，位移都是上一次的k2倍，這要求粒子每次在磁場中運動的軌跡半徑為上一次的k2倍。考慮到粒子每次進入磁場的速度為上一次的k倍，由（4）式可知，粒子每次進入磁場時，需要將磁感應強度調整為上一次的倍。由此形成的周期性運動如圖９所示（為凸顯軌跡特點，圖中電場和磁場均未畫出，只畫出其邊界）。

圖9 粒子周期性運動示意圖

第四步 設計細節，形成優質試題。

設計１：隱去顯性條件，增加思維難度。

有界電場的邊界，通常作為帶電粒子運動的前提條件，而此題告知粒子每次都從邊界垂直于電場方向進入電場，每次都從同一點沿同一方向射出電場，由這些信息來反推電場的邊界信息，從而增大試題的思維難度，更好地考查學生的物理直覺或靈活運用數學工具解決物理問題的能力。學生需要具有較強的分析綜合能力，才能尋找到正確的解題路徑。考題引導我們在平時教學和備考中要注重理解，發展學科核心素養，減少死記硬背和“機械刷題”。題目敘述中要說清楚電場區域是連續的，粒子每次進入電場到離開電場的整個過程中是一段完整的類平拋運動，不然無法通過分析得到電場的邊界信息。

設計２：明確隱含條件，減少過失失誤。

要完成所要求的周期性運動，磁場的強弱必須按一定的比值逐次減小，這是題目的一個重要隱含條件。題目不但指出磁感應強度大小可調，還明確說明磁感應強度每次都減小為原來的一半，提醒了題目的隱含條件，有助于學生分析出粒子運動的周期性，也為后續關于運動時間的計算減少了運算量。作為優質試題，不故意通過“陷阱”來為難學生，反而在關鍵信息上給出充分提示。

設計３：虛構理想條件，避免科學爭議。

題目中的靜電場有一條理想邊界，按題目要求運動的粒子每次出電場的速度均為上一次出電場速度的k（k>1）倍，即粒子的動能增加了。對于相鄰兩次出電場的閉合路徑，只有電場力做功，由動能定理可知電場力做功一定大于0，即q·d>0，考慮到其中 ｑ 為常數，意味著·d>0，這違背了靜電場的環路定理。２０１５年重慶卷壓軸題曾經出現過這個問題，引起了較多關于電場理想邊界科學性的討論。本題再次面臨這種模型，第一句就先聲明這是“某同學設計了一種粒子加速器的理想模型”，那么后續求解就只能按照題目約定的信息進行，至于違背環路定理那是這種設計的不合理之處，不影響在理想假設的前提下對帶電粒子運動情況的討論。這也給教學中處理類似問題提供了一種思路。

通過以上構造，形成最終試題，下面給出真題和最后結果，供大家參考使用，限于篇幅，解答過程從略。

題目 某同學設計了一種粒子加速器的理想模型。如圖10所示，在 ｘＯｙ 平面內 ｘ 軸下方充滿垂直于紙面向外的勻強磁場。ｘ 軸上方被某邊界分割成兩部分，一部分充滿勻強電場，電場強度與 ｙ 軸負方向成 α 角，另一部分無電場。該邊界與 ｙ 軸交于 Ｍ 點，與 ｘ 軸交于 Ｎ 點。與 ｘ 軸正方向成 α 角斜向下運動的帶電粒子才能進入磁場。從 Ｍ 點向電場內發射一個比荷為的帶電粒子 Ａ，其速度大小為 ｖ０，方向與電場方向垂直，僅在電場中運動時間 Ｔ 后從 Ｎ 點進入磁場，且通過 Ｎ 點的速度大小為 ２ｖ０。忽略邊界效應，不計粒子重力。

圖10 題目示意圖

（１）求 α 角的大小以及 Ｍ、Ｎ 兩點的電勢差 ＵＭＮ。

（２）在該邊界上任意位置沿垂直于電場強度方向射入的帶電粒子，只要速度大小合適就能通過 Ｎ 點進入磁場，求 Ｎ 點的橫坐標及電場的邊界方程。

（３）若粒子第一次進入磁場時磁感應強度為 Ｂ１，之后粒子每次經過 Ｎ 點磁感應強度變為原來的一半。則粒子 Ａ 從 Ｍ 點發射后，每次加速后均能通過Ｎ點，求 Ｂ１及粒子從 Ａ 發射到第 ｎ 次通過 Ｎ 點的時間ｔｎ。

參考答案：

（１）α=，U=

（２）x=，y=-x，（x≤）

（３）B=，

t=（2-1）（2+π）+2）T，（n=1，2，3…）

用同樣的方法，筆者基于帶電粒子在勻強電場和勻強磁場這兩個基本模型，命制了一道高考模擬題，供大家批評指正。

（重慶一中２０２３年５月月考，物理，第１５題）如圖11所示，在邊長分別為Ｌ和２Ｌ的長方形區域ａｂｃｄ內存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為Ｂ。沿ａｂ邊和ｃｄ邊分別放置一塊絕緣彈性板，帶電粒子與彈性板碰撞前后電荷量不變，垂直于彈性板的分速度等大（下轉第56頁）（上接第52頁）反向，平行于彈性板的分速度不變。彈性板的長度略小于Ｌ，ａｄ邊和ｂｃ邊沒有任何遮擋，粒子可以從這兩個邊（包括端點處）自由通過。在ａ處有一粒子源沿ａｄ方向發出兩個質量同為ｍ、電荷量也相同的帶電粒子甲和乙。甲粒子的初速度為ｖ１，發出后不與彈性板發生碰撞，直接從ｃ處離開磁場區域。乙粒子與兩彈性板各碰撞一次后也從ｃ處離開磁場區域。不計兩粒子的重力以及它們之間的作用。

圖11 題目示意圖

（１）求粒子的帶電量ｑ及電性；

（２）求乙粒子的初速度ｖ2和甲粒子初速度ｖ１的比值；

（３）若撤去磁場，在ａｂｃｄ區域內加上沿紙平面且與ａｂ邊平行的勻強電場（圖中未畫出），其他條件均不變。發現兩粒子從ｂｃ邊上同一點Ｐ（圖中未畫出）離開電場區域，且甲粒子與彈性板之間有且僅有１次碰撞。求電場強度可能取值中的最大值Ｅ（用Ｂ、ｖ１表示），并分別計算所有可能情況下Ｐ點與ｂ點的距離Ｄ。

參考答案：

（１）q=，負電

（２）=

（３）E=Bv，D=L或L或L。

參考文獻：

［１］程力，李勇．基于高考評價體系的物理科考試內容改革實施路徑［Ｊ］．中國考試，２０１９（１２）：３８－４４．

［２］趙祎萌，任建英，孟秀蘭．香港地區高考物理試題特點分析及對高考命題改革的啟示［Ｊ］．物理教學，２０２２，４４（４）：６４－６９，３１．

［３］朱聯星．構建物理模型 落實學科核心素養——以２０２１年福建高考物理壓軸題為例［Ｊ］．物理教師，２０２２，４３（５）：８７－８９．

［４］李忠相，欒麗．２０２２年重慶高考物理壓軸題的分析與啟示［Ｊ］．物理教師，２０２２，４３（１１）：７９－８１．

（欄目編輯 陳 潔）