從“錯誤診斷”到“彌補教學”

摘 要：在高三復習課教學中，如何做到有的放矢，讓課堂教學高效精準，是一線教師重點關注的話題之一。這需要基于認知心理學，對學生在解題過程中出現的典型錯誤進行認知診斷，然后通過交流與研討，精準地確定教學目標，提煉解題方法，并借助“形同”問題設計針對性的彌補教學。

關鍵詞：錯誤診斷；方法提煉；彌補教學；磁聚焦法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）9-0087-6

有學者曾經打過一個形象的比方，將試卷講評過程比喻為醫生診療過程：高效的診療過程往往是先用檢測儀器發現病灶，然后對病灶進行病理檢測，再參考治療標準確定治療方案，最后用科學措施進行有效治療［１］。而教師試卷講評過程是通過學生的解題發現錯誤，然后根據教師個人經驗以及通過對學生進行訪談診斷錯誤原因，再根據診斷結果進行交流與研討，確定教學目標，進行教學設計，最后尋找或編制“形同”試題對錯誤進行針對性彌補教學。這一過程可以通過圖１體現。

下面以高三選考復習課——帶電粒子在圓形邊界磁場中運動的問題中，常用到的“等半徑磁聚焦（或磁發散）法”為例，介紹由“診斷錯因”到“提煉方法”再到“彌補教學”的復習課教學設計。

１ 收集典型錯誤，進行錯因診斷

１．１ 設置典型例題

通過下面例題可以獲取學生對“等半徑磁聚焦（或磁發散）法”的掌握情況與思維過程。

例題 如圖２所示，邊長為Ｌ的正方形區域ＳＡＣＤ內的適當區域（圖中未畫出）中分布有勻強磁場。位于Ｓ處的粒子源，沿紙面向正方形區域內各個方向均勻發射速率為ｖ０的帶負電粒子，粒子的質量為ｍ，電荷量為ｑ。所有粒子均從Ｓ點進入磁場，離開磁場時速度方向均與ＳＤ平行，其中沿ＳＡ方向射入磁場的粒子從Ｃ點射出磁場。緊靠ＣＤ放置一收集板，粒子打到收集板后通過接地導線及時導走。不計粒子的重力和相互作用。

（１）求磁場的磁感應強度Ｂ和磁場分布的最小面積Ｓ；

（２）若Ｓ處粒子源每秒射出粒子數為Ｎ，求穩定后每秒打在收集板下半部分的粒子數ｎ。

正確解答：

（１）根據粒子帶電性和偏轉方向，由左手定則可以判斷磁感應強度Ｂ方向為垂直于紙面向里。

由題意，所有粒子離開磁場時速度方向均與ＳＤ平行，根據磁聚焦（或磁發散）結論可知，磁場半徑ｒ與粒子軌跡半徑Ｒ相等，r=R=L。

１．２ 典型錯誤表現

（１）對磁場最小面積Ｓ的求解存在的錯誤：

根據磁聚焦（或磁發散）結論可知，磁場分布為四分之一圓弧，如圖４所示，且磁場半徑ｒ與粒子軌跡半徑Ｒ相等，r=R=L。

１．３ 教師經驗診斷

從上面解答可以看出，這些學生對等半徑磁聚焦規律，頭腦中是有的，而且在解題過程中能及時調用，但從解答情況可以反映出兩個問題：

（１）這些學生對每秒打在收集板下半部分的粒子數求解不對，可能存在如下原因：其一，他們知道收集板各位置都有粒子打到，這一點是好的，但他們同時認為打到板上的粒子是均勻分布的，殊不知粒子從Ｓ點射入磁場時各方向是均勻的，但通過磁場偏轉后分布已經不均勻，這一點需要清楚；其二，他們知道打到板上的粒子不是均勻分布的，但對粒子出射磁場的位置與入射方向的關系沒弄清楚，也就是不知道所謂“徑速角相等”，以為打到板的中點對應入射角是４５°。所以，需要對磁聚焦問題的深層次結論進行進一步理解。

（２）磁場分布的最小面積分析有誤，只分析出磁場下邊界，即構成磁聚焦結論的原磁場的四分之一圓弧，這一點再次說明該同學頭腦中是有“等半徑磁聚焦”規律的，并能加以應用。但對磁場上邊界沒有進一步思考，沒有對邊界粒子軌跡進行分析，或者沒有對題中最小面積的“最小”兩個字進行深入理解。

１．４ 學生訪談診斷

對學生解答批閱后，筆者找來了幾位第1小問“最小面積”和第2小問“收集板下半部分的粒子數ｎ”均求錯的學生進行訪談。

師：解題時，你大腦中能涌現“等半徑磁聚焦”的結論嗎？你清楚它的使用條件嗎？

生：以前在磁場習題課中老師講過，結論依稀記得，但來龍去脈不是很清楚。

師：你認為每秒打在收集板下半部分的粒子數為Ｎ/２，這是基于什么考慮的？

生：所有粒子均打到收集板上，所以收集板上半部分、下半部分各收集到一半粒子。

師：粒子打到收集板上分布均勻嗎？

生：解題的時候沒想這個問題，看到題設中粒子從Ｓ處向各個方向均勻發射時注意到了。

師：對磁場分布的最小面積求解時，你為什么沒考慮到上邊界也是圓弧呢？

生：可能只關注了要求粒子出磁場速度方向均與ＳＤ平行，要求構成磁聚焦（或磁發散），磁場邊界需要圓形，而沒有深究磁場如何分布才使面積最小。

同時，筆者也對求解正確的學生進行訪談。

師：你對“等半徑磁聚焦”的結論清楚嗎？

生：基本清楚，需要圓形磁場半徑與粒子圓軌道半徑相等。

師：知道粒子進入磁場時速度的方向與出射時的位置存在什么規律嗎？

生：不是很清楚。

通過學生訪談可以知道，對于典型錯誤的原因，教師根據個人經驗進行的判斷與學生犯錯的實際原因基本吻合?？梢詳喽ǔ霈F典型錯誤的原因：一是學生對粒子在圓形邊界磁場中運動常要應用到的磁聚焦（或磁發散）的來龍去脈不清楚或一知半解；二是學生對磁聚焦（或磁發散）的深層次結論（如徑速角相等）沒有挖掘；三是審題不細，對題中關鍵詞句（如最小面積）沒有深究。

2 強化核心素養，提煉解題方法

通過學生的錯誤解答，以及對錯解學生的訪談，結合正解學生的訪談，要無障礙解決這類問題需要具備如下學科核心素養。

２．１ 具備準確的物理觀念

（１）等半徑磁聚焦（或磁發散）規律

一群相同的帶電粒子平行射入有圓形邊界的勻強磁場，如果粒子運動的軌跡半徑Ｒ與圓磁場半徑ｒ相等，則粒子從磁場邊界上同一點（如圖５中Ａ點）射出，磁場圓邊界在該點的切線與粒子入射方向平行。該規律稱為等半徑磁聚焦。

等半徑磁發散是磁聚焦的逆過程：一個帶電粒子（或一群相同帶電粒子）從圓形有界勻強磁場邊界上同一點（如圖６中Ａ點）射入，如果粒子運動的軌跡半徑Ｒ與圓磁場半徑ｒ相等，則粒子出射方向與磁場邊界在入射點的切線（即過Ａ點的磁場邊界圓的切線）方向平行。

（２）磁聚焦（或磁發散）中“徑速角相等”規律

在等半徑磁聚焦或磁發散問題中，粒子射入磁場時入射速度方向與入射點磁場半徑的夾角等于射出磁場時出射速度方向與出射點磁場半徑的夾角，即“徑速角相等”。比如，圖５中兩個α角相等，圖６中兩個θ角相等。

２．２ 需要嚴密的科學思維

解決“磁聚焦”相關的同類問題可以采用如圖7所示的科學思維流程。

75d7b157cdcf5adbecfaf30d0156635f3 設計彌補教學，突破思維難點

診斷錯因、并提煉解題方法后，教師應該尋找“形同”試題，采用問題串的形式，由淺入深、循序漸進地進行針對性彌補教學設計［２］。

３．１ 尋找“形同”試題

試題 如圖8所示，真空中有一半徑為Ｒ的圓形勻強磁場區域，磁場方向垂直紙面向外，Ｏｘ為邊界上Ｏ點的切線，從Ｏ點在紙面內向各方向均勻發射速率均為ｖ的帶正電的α粒子，已知α粒子的電量為ｑ，質量為ｍ，在磁場中偏轉半徑也為Ｒ，在Ｏｘ上距Ｏ點Ｌ處有一點Ｐ（Ｌ＞２Ｒ）。不計粒子間相互作用和重力，試回答下列問題。

３．２ 由淺入深設置問題串

設置問題串如表２所示。

３．３ 根據思維流程引導解答

問題１解答：所有α粒子從磁場邊界射出時，速度方向均與Ｏｘ平行，即水平向右。證明如下：

任取一個α粒子（如圖9中，入射方向與入射點磁場半徑成θ角），作圓軌跡，連接入射點Ｏ、圓磁場圓心C、出射點Ａ、圓軌跡圓心Ｑ。由題意，圓軌跡半徑與圓磁場半徑相等，均為Ｒ，四邊形ＯCＡＱ為菱形。

所以，OC∥AQ。

又因為圓軌跡半徑ＯC與切線Ｏｘ垂直，即OC⊥Ox。

所以，AQ⊥Ox。

又因為粒子在Ａ點出射速度ｖ方向垂直于圓軌跡在出射點的半徑ＡＱ。

所以，出射速度ｖ方向與Ｏｘ方向平行。

問題２解答：解題思維流程如圖10所示。

由磁發散規律，入射速度方向與Ｏｘ方向夾角成６０°的α粒子，射出時速度與Ｏｘ方向平行，在磁場中偏轉６０°，運動的時間為１/６周期，即t=T=。

問題３解答：解題思維流程如圖11所示。

如圖12所示，由磁聚焦規律，要使所有α粒子都能夠聚焦到Ｐ點，可以設計一圓形邊界磁場，其半徑ｒ＝Ｒ，Ｐ為切點，其圓心Ｄ在Ｐ正上方。

磁場的磁感應強度方向垂直于紙面向外，有

問題４解答：如圖12所示，四邊形ＣＯＯ１Ａ為菱形，對邊平行，對角相等。

因為入射速度垂直于ＯＯ１，又ＯＯ１∥ＣＡ，所以入射速度垂直于ＣＡ，故θ與∠ＯＣＡ互余。

因為出射速度垂直于ＡＯ１，所以α與β互余。

又因為β＝∠ＯＣＡ（同位角），故θ＝α。證畢。

３．４ 檢測學習成效

在新情境中，改編練習對彌補教學的成效以及學生的學習成效進行檢測，練習設置的問題應該與學生前面出現的典型錯誤高度相關，且難度要高于診斷題，這樣才有利于對學生學習后所達到的核心素養水平進行檢測［３］。

檢測練習：如圖１3所示，在ｘＯｙ坐標系中，第一象限有一對電壓為Ｕ１＝３×１０４ Ｖ的平行金屬板，板間距離和板長均為Ｌ＝４０ ｃｍ，板的右側有一粒子接收屏，下極板剛好在ｘ軸上，且帶負電。第二象限有一半徑Ｒ＝２０ ｃｍ的圓形勻強磁場，與ｘ軸相切于Ｃ點、與ｙ軸相切于Ｄ點。磁感應強度Ｂ＝０．１ Ｔ，方向垂直于紙面向外。第三象限有一個半圓形帶正電的電極ＡＯ，圓心在Ｃ點，在其內部存在由電極指向圓心Ｃ點的電場，電極與Ｃ點的電勢差Ｕ２＝１×１０４ Ｖ。現有許多質量ｍ＝６．４×１０－２７ ｋｇ、帶正電的ｑ＝３．２×１０－１９ Ｃ的粒子在圓形電極附近均勻分布，由靜止釋放。不考慮粒子之間的相互作用與重力。求：

（１）粒子進入圓形磁場的速度大??；

（２）粒子擊中ｙ軸的范圍；

（３）粒子接收屏接收到的粒子數和進入平行板總粒子數比值ｋ。

本練習與診斷題“形同”，考查目標也一致，有新的情境，也有更高的難度，但解決的思維方法是一樣的，都用到磁聚焦（或磁發散）的規律及深層次結論，可以起到很好地檢測學習效果的作用。

參考文獻：

［１］梁旭，袁張瑾，顧聲和．認知診斷的程序與案例［Ｊ］．物理教學，２０２３，４５（１２）：５１－５４，６４．

［２］張玉峰．為了物理學科核心素養發展的學習診斷：概念、路徑與內容框架［Ｊ］．中學物理，２０２０，３８（１）：２－６．

［３］梁旭．基于對學生錯誤進行認知診斷的教學［Ｊ］．物理教學，２０１３，３５（１１）：５７－６１．

（欄目編輯 李富強）