數學建模教學的調查研究與實踐

【摘 要】模型意識在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中被確立為小學階段核心素養的主要表現，然而調查研究發現學生的建模意識與能力不容樂觀。小學數學建模教學運用“三模一評”的教學框架，結合學評調控，幫助學生有效樹立建模意識，提升建模能力。

【關鍵詞】數學建模教學 模型意識 教學框架

數學模型已被廣泛地運用于社會、經濟、科學等各個領域。建模是具體的現實生活通往數學世界的橋梁，可以幫助人們在紛繁復雜的表象中，用數學的眼光看透事物的本質，從而找到解決問題的途徑，它是一個人數學素養的體現。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：“小學階段，核心素養主要表現為：數感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數據意識、模型意識、應用意識、創新意識。”那么，目前學生的數學模型意識和建模水平是一種什么狀況呢？在近年蘇州市義務教育學業質量監測中，以網上購物這一日常活動為問題情境，題干包含了圖表、廣告等非連續性文本信息，對學生數學抽象和數學建模的素養進行考查，監測結果顯示僅有 1.8%的學生得滿分，情況非常不理想，特別表現為學生缺乏使用數學語言進行說理的能力和意識。

學生的建模能力的培養離不開教師。為此，筆者設計了“小學數學建模教學教師調查問卷”，旨在通過本次調查能夠了解目前張家港市城北小學數學建模的教學現狀。發放對象為學校全體數學教師，問卷回收率100%。其中有一個問題：您了解什么是數學建模嗎？

從對這個問題的調查數據來看，全體教師對于數學建模是不太了解的，有的甚至沒有聽說過，在后續的交流訪談中，發現這部分教師主要是年齡偏大的教師。27.78%的教師對于建模一點都不了解，72.22%的教師對于建模概念是非常模糊的。進一步調查研究發現，很多教師是從教師培訓和其他渠道聽說數學建模概念的，但并沒有留下深刻的印象，參加聽課活動了解到的教師只占5.56%，這反映出在日常的教學中，不但是學校教師建模意識薄弱，整個區域的教師對于建模教學的研究也是屈指可數的，這樣的情況著實令人擔憂。在隨即組織的教學質量分析與教師訪談中，也發現一部分學生數學學習興趣不濃，思維混亂，在解決問題時缺乏有效的方法與策略，不會用數學的眼光看待問題，用數學語言表達問題的能力更是非常薄弱……可見，教師建模意識薄弱、建模教學水平低下，阻礙了學生建模能力提升。努力探索出一套教師可操作的建模教學模式，幫助學生掌握一些切實可行的建模的方法是提升學生數學建模水平的關鍵。

本研究試圖找到一種遵循學生心智活動規律、符合學生需求的教學主張，以建立數學模型、提升學生解決問題的能力為教學目標，增強學生的數學素養。通過案例分析、課堂研討、教學檢測等手段深入課堂，分析問題，探究其深層次原因，結合一系列的實踐活動，最終確立了以課堂為陣地、以教學為抓手、以解決問題為載體，形成了“三模一評”的教學框架，即“定模—建模—用模”，結合學評調控，提升小學數學教師指導學生建模的水平，發展其組織、創新教學活動的專業素養，努力培養學生的建模能力。

一、定模：深挖模型思想

眼界決定境界。模型是一個知識體系的核心，它的建立影響到學生學習的整個過程以及數學素養的提升。一個教師能否深度挖掘數學模型思想，往往決定著他的教學深刻性和數學課堂的品質。因此，教學前，教師要精心研究教材，甚至要了解整個知識體系的來龍去脈，認真琢磨每一個具體的教學內容中隱藏的數學模型，確定教學核心。站在制高點，俯瞰本節課的教學，明確本節課需要滲透哪些模型思想、怎么幫助學生建模、建立的模型和建模的過程對學生后續的學習具有怎樣的影響。以蘇教版數學三年級上冊“認識幾分之一”教學為例，這是學生第一次接觸分數，雖然教材沒有出示分數的概念，但作為教師首先要做到心中有數。分數的本質是什么？把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫作分數。這個單位“1”可以是一個物體、一個計量單位或由許多物體組成的一個整體。在教學時，教師始終要圍繞這一核心進行教學，為后續的分數學習注入強勁的、可持續發展的生命力。

二、建模：觸摸模型本質

用數學方法解決實際問題，要求從錯綜復雜的關系中找出其內在規律，然后用數字、圖表、符號和公式將它表示出來，再經過數學和計算機的處理，得出供人們分析、決策、預報或者控制定量的結果，這種將實際問題進行簡化歸結為數學問題并求解的過程就是數學建模。簡單而言，建模的過程實際就是“數學化”的過程。具體可以從以下幾個方面著手：

（一）創設情境，聚焦問題

數學模型的建立要以具體問題為載體。一個好的問題不但能激發學生探索的興趣，而且可以幫助其領悟數學的現實意義，透徹體會數學思想和方法。教師可創設與學生生活經驗和認知水平相符合的情境，引導學生從數學的角度進行抽象和整理，啟發學生發現問題、提出問題、聚焦問題，并以此為“導火索”，引發思維的碰撞。如教學蘇教版數學一年級下冊“認識圖形”時，教學伊始，教師創設了學生熟悉的玩積木場景。在此基礎上，教師提出了問題“怎樣才能將積木整理得整齊一些？”，激發學生去思考，引導學生把具有相同特征的物體歸在一起，帶領學生想一想并說一說“為什么把它們歸為一類”，以此幫助學生探索、歸納、抽象、概括出立體圖形的特征，建立立體圖形的模型，實現從具體到抽象的過渡。

（二）透析表象，凸顯本質

本質是事物的內部聯系，決定事物的性質與發展，而表象是本質的外在表現。從這個方面來說，數學建模是一個尋找本質的過程。教師需要給學生提供豐富的、感性的材料，引導學生經歷去偽存真、去繁取精、由表及里、由此及彼的探索研究過程，通過尋找各種元素間的共同特點或相互關系，探尋事物的本質。可以讓學生在“猜測與驗證”中建立模型，也可以在“分析與歸納”中建立，還可以在“抽象與概括”中實現。

如教學蘇教版數學三年級下冊“長方形的面積”時，教師首先出示一個長方形，請學生指一指它的面積。動畫演示：（1）寬不變，長變長了;（2）長不變，寬變長;（3）長和寬都縮短。教師請學生逐個說說面積是怎么變的，引導學生思考：長方形的面積與什么有關？接著，教師出示一個長5厘米、寬3厘米的長方形，讓學生以小組合作的方式測出這個長方形的面積。學生用擺放邊長是1厘米的小正方形的方式測出長方形的面積為15平方厘米。在此基礎上教師引導學生猜想：長方形的面積與長和寬有什么關系？學生小組合作進行驗證，用邊長是1厘米的小正方形，擺出不同的長方形，記錄好它們的長、寬、面積，并進行匯報。最后，教師請學生歸納總結長方形的面積計算公式。

在這個教學過程中，教師從學生對面積的已有認知出發，通過長方形的變化讓學生初步直觀地感受到長方形面積與長和寬的關系，再從個別的例子出發進行猜想，并進行驗證。豐富的體驗為歸納總結奠定了堅實的基礎，最終促使學生建立了長方形面積計算的模型。

透析表象，凸顯本質的過程需要注意以下三個方面：

1.運用多種方式，構建概念，構造關系或結構

每個人都具有不同的智能和智能結構。因此，每個人的學習方式也會有所差異，獲得的認知也是深淺不一、側重點有所不同的。教師需要構建一個主動的學習過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探究、合作交流等都應成為學生學習的重要方式。特別是合作交流，師生間、生生間的交流，有助于促進不同的個體取長補短、由淺入深、由片面走向全面，從而構建每個學生都能理解的數學模型。

2.檢驗、反思模型的正確性與合理性

一方面教師要在解決問題的過程中重新審視建模的每一個環節，包括思考的角度與方法、推理的過程、計算的對錯、有無疏忽等；另一方面教師要用逆向思維把結果代入原題，進行檢驗。模型基本建構完成后，教師需要返回現實問題中，檢驗模型與現實問題的契合度，用實際現象、實際數據檢驗模型的合理性和適應性，確定數學模型的有效性。

3.重視數學模型表達的規范性、多樣性

數學模型表達的形式是多樣的，可以是口頭語言的形式，也可以是書面的形式，如文字、公式、符號、畫圖等，但無論怎樣表達都要體現數學模型的核心與本質，做到數學模型的多樣性與規范性的統一。表達是學生思維的外顯，重視模型表達即重視學生對于數學模型的理解。表達能力的培養不是一朝一夕就能完成的，而是一個長期的過程。教師平時要有意識地示范，引導學生規范表達，及時點撥、指導學生，鼓勵學生積極表達，給予學生表達的機會與時間。

三、用模：提升學生素養

不同的數學知識、不同的數學問題常常可以歸納為同一種數學模型。平時教學，教師要多給學生創造這種“一模解多題”的機會，幫助學生溝通不同數學知識、不同數學問題之間的聯系和相同點，鞏固和深化數學模型。鼓勵學生用數學模型解決生活中的實際問題，促進學生抽象能力和分析能力的提升，使其感受到建模的價值與意義，培養學生學習數學的興趣與建模的主動性；同時使用變式練習，引導學生體會條件變化帶來的關系與結構的變化，激發學生用模的靈活性。如在教學蘇教版數學六年級上冊“稍復雜的分數實際問題”時，在學生解決完不同情境但屬于同一類的問題后，教師抽象出線段圖模型。見圖1。

接著，讓學生根據線段圖創編一個能用本課所學的知識解答的問題，并列式解答。學生一個個躍躍欲試。有的學生編了這樣一道題目：白兔和灰兔一共有50只，白兔占了總數的，灰兔有多少只？有的學生則編的是看書的情況……在一個個生動的情境中，學生對這個數學模型有了更深的認識，明白了面對這一類題，可以先用一個數的幾分之幾，求出部分量，再用總量減去部分量算出另一個部分量；也可以先求出問題所對應的分率，轉化成之前所學的求一個數的幾分之幾是多少，溝通本節課與之前知識點的聯系。在課的最后，教師讓已知條件進行變化，出現了單位“1”未知的情況（圖2）。

學生通過列方程，發現了數量關系與前面的題目是一致的。學生經歷了模型從具體到抽象又從抽象到具體的過程，變式的出現，讓學生對于數學模型的感知更為清晰，有效地幫助學生樹立了建模意識、用模意識，實現了學生數學思維的提升。

四、學評：實現教學最優

評價的主要目的是全面了解學生數學學習的過程和結果，激勵學生學習和教師改進教學。教師要觀察在動態的建模過程和靜態的模型表達中學生的表現，結合學生用模的成績進行數據化分析，對數學學習中抽象、推理、建模等學生關鍵能力水平的發展進行評價。通過橫向和縱向比較，反思教學、調整教學，努力實現教學最優化。

在小學數學教學中幫助學生建立模型思想、樹立建模意識、提升建模能力有著重要的教育與教學價值，作為教師，只有了解模型思想的內涵，弄清建模的方法、一般過程和特點，才能做到有的放矢。