從特殊的積與商突破填聰明數格

小朋友，前幾期中，我們介紹了3×3和4×4的加減法聰明數格的填寫，知道“已知數”和“特殊的和與差”是填寫這種謎題的突破口。其實，實線框中左上角的數也可以是這個框中兩個數的積或商。下面，我們一起來學習4×4混合聰明數格的填寫。

例題1 圖1是一個4×4的混合聰明數格。你能在空格內填入1～4，使得每個數在每行、每列中都不重復，且每個實線框中左上角的數正好是這個框中其他數的和、差、積或商嗎？

為了便于敘述，我們先給實線框涂上底色（如圖2），同時把實線框中只有一個數的填好。

橙色區域左上角的“4×”表示這個框中兩個數的積是4，只能是1×4＝4，橙色區域中的兩個數是1和4，但不能確定1和4的位置。綠色區域中左上角的和是6，只能是2＋4＝6，綠色區域中的兩個數是2和4，因為第1列中已經有4，所以綠色區域要填成左2右4（如圖3）。

藍色區域左上角的差是2，因為3－1＝2，4－2＝2，所以藍色區域中的兩個數可以是1和3，也可以是2和4。因為第3行中已經有2，所以藍色區域中的兩個數只能選擇1和3。因為第1列中已經有1，所以藍色區域中的兩個數應填成左3右1（如圖4）。

根據每行中的數不重復，第3行中已經有1，2，3，可知第3行紫色格中的數是4，另一個紫色格中的數是4－2＝2。根據每列中的數不重復，第4列中已經有2，3，4，可知第4列黃色格中的數是1，另一個黃色格中的數是3÷1＝3（如圖5）。

灰色區域左上角的和是4，只能取1＋3＝4，灰色區域中的兩個數是1和3，因為第2列中已經有1，所灰色區域要填成左3右1。剩下空格可根據每個數在每列、每行中都不重復填出，粉色區域應填成左2右4，橙色區域應填成上1下4。最終的答案如圖6所示。

例題2 圖7是一個4×4的混合聰明數格。你能在空格內填入1～4，使得每個數在每行、每列中都不重復，且每個實線框中左上角的數正好是這個框中其他數的和、差、積或商嗎？

為了便于敘述，我們先給實線框涂上底色，同時把實線框中只有一個數的填好（如圖8）。

灰色區域左上角的商是4，只能是4÷1＝4，灰色區域中的兩個數是4和1，但不能確定4和1的位置。根據每行中的數不重復，第4行中已經有1，2，4，可知第4行粉色格中的數是3，另一個粉色格數的數是3－2＝1。橙色區域左上角的積是4，只能是1×4＝4，橙色區域中的兩個數是1和4。因為第3行中已經有1，所以橙色區域要填成上1下4（如圖9）。

紫色區域左上角的積是12，只能是3×4＝12，紫色區域中的兩個數是3和4。因為第3行中已經有4，所以紫色區域要填成上4下3。根據每行中的數不重復，第3行中已經有1，3，4，可知第3行藍色格中的數是2，另一個藍色格中的數是6÷2＝3（如圖10）

根據每行中的數不重復，第2行中已經有1，3，4，可知第2行黃色格中的數是2。根據每列中的數不重復，第2列中已經有1，2，3，可知另一個黃色格中的數是4，黃色格中4除以2的商正好是2（如圖11）。

灰色區域中的兩個數是4和1，因為第4列中已經有4，所以灰色區域要填成左4右1。根據每列中的數不重復，第3列中已經有2，3，4，可知第3列綠色格中的數是1，另一個綠色格中的數是2÷1＝2。最終的答案如圖12所示。

例題3 圖13是一個4×4的混合聰明數格。你能在空格內填入1～4，使得每個數在每行、每列中都不重復，且每個實線框中左上角的數正好是這個框中其他數的和、差、積或商嗎？

為了便于敘述，我們先給實線框涂上底色（如圖14）。這個聰明格中沒有已知數，可以從特殊的和、差、積或商來突破。

灰色區域左上角的和是7，只能是3＋4＝7，灰色區域中的兩個數是3和4。藍色區域中左上角的積是3，只能是1×3＝3，藍色區域中的兩個數是1和3。因為第4行中已經有3，所以藍色區域應填成上3下1。根據每行中的數不重復，第4行中已經有1，3，4，可知第4行白色格中的數是2，另一個白色格中的數是2÷2＝1（如圖15）。

橙色區域左上角的積是4，只能是1×4＝4，橙色區域中的兩個數是1和4。因為第2列中已經有1，所以橙色區域要填成左4右1。根據每列中的數不重復，第1列中已經有1和2，可知黃色區域中的兩個數是3和4。又因為第1行中已經有4，所以黃色區域要填成上3下4（如圖16）。

根據每列中的數不重復，第2列中已經有1，3，4，可知第2列粉色格中的數是2，另一個粉色格中的數是5－2＝3。灰色區域中的兩個數是3和4，因為第3列中已經有3，所以灰色區域要填成左4右3（如圖17）。

紫色區域左上角的和是6，只能是2＋4＝6，紫色區域中的兩個數是2和4。因為第3列中已經有4，所以紫色區域要填成左2右4。根據每行的數不重復，可知綠色區域應填成上2下1，綠色區域中2與1的差正好是1。最終的答案如圖18所示。

小朋友，你有沒有發現，在4×4混合聰明數格中，積4只能是1×4＝4，積3只能是1×3＝3，積2只能是1×2＝2，商4只能是4÷1＝4，商3只能是3÷1＝3，商2有兩種情況，可能是4÷2＝2，也可能是2÷1＝2。也就是說，在4×4混合聰明數格中，牢記這些特殊的積與商，有助于我們快速地進行填寫。

怎么樣，你學會了嗎？下面你來填一填圖19～圖24的4×4混合聰明數格吧！

填寫要求：在空格內填入1～4，使得每個數在每行、每列中都不重復，且每個實線框中左上角的數正好是這個框中其他數的和、差、積或商。