基于線上線下混合式教學模式的高等數學教學

摘 要：教育部提出的要建設具有“兩性一度”特點的金課，重在培養學生綜合能力和素質，這是新時代高等教育的要求。該文以導數概念為例，闡述如何通過優化教學設計，運用線上線下混合式教學新形態，實現高等數學課程的高階性、創新性和挑戰度的要求。

關鍵詞：金課;混合式教學;導數;高等數學;能力培養

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2024）27-0110-04

Abstract： The Ministry of Education proposed to build a golden course with the characteristics of "both once"， focusing on cultivating students' comprehensive ability and quality， which is the requirement of higher education in the new era. Taking "the concept of derivative" as an example， this paper expounds how to realize the requirements of high order， innovation and challenge of Higher Mathematics courses by optimizing the teaching design and using the new form of online and offline mixed teaching.

Keywords： golden course; mixed teaching; derivative; higher mathematics; ability cultivation

自2018年起，教育部提出了建設五大“金課”目標[1]，各高校都積極配合教育部提出的課程建設。所謂“金課”是具有“兩性一度”，即高階性、創新性和挑戰度的特點，以學生為中心，重在培養學生綜合能力和素質的優秀課程。打造金課已成為當下高等教育界的共識。

高等數學課程是以微積分為主要內容的課程，是高等院校理工類專業的核心必修課，在教育教學改革中起到排頭兵的作用。高等數學課程為培養創新型人才的抽象思維能力和邏輯推理能力、空間想象能力、分析問題、解決問題的能力、數學建模的能力有非常重要的作用。高等數學課程高度的抽象性和嚴密的知識體系，都遠遠超出了學生的現有經驗和能力。另外，高等數學已經滲透到工程、人工智能、大數據和經濟等各個領域，然而高等數學課程還未能與時俱進。如何用現代數學的思想、觀念和方法來培養學生的學習興趣，開闊學生的視野，提高學生的創新精神和綜合能力，讓學生真實感到學有所用，是每位高校教師都應思考的問題。

2022年12月，哈爾濱理工大學再度入選黑龍江省“雙一流”建設高校，一流學科入選量為一期入選量的2.2倍。“雙一流”建設過程也是建設一流本科教育的過程。近年來，隨著微課、慕課等在線開放課堂的興起，教師的“教”和學生的“學”都發生了改變。數據表明線上教學雖有一定的優勢，但仍然需要線下教學的補充來提高學習效果。嘗試使用現代信息技術和傳統教學模式的有機融合是高等院校課程教學改革發展的趨勢[2]。哈爾濱理工大學高等數學課程教學團隊依托學校的大力支持，利用慕課和微課的形式，打造高等數學課程教學平臺，結合超星學習通、微信群、QQ群與學生保持互動，有效促進線上與線下學習的融合，營造良好的教學生態環境。

一 開展線上線下混合式教學模式的基礎

圍繞建設“兩性一度”的金課目標，建設一套適合理工科院校高等數學課程的教學信息資源平臺體系尤其重要。首先，可以將一些精品課程和國家級線上一流課程放置到高等數學課程教學平臺上。其次，利用慕課和微課的形式，自建輔助教學線上資源。根據微課的基本教學設計思想，使用在線平臺就一個知識點在短時間內進行針對性地講解和展示。微課內容可增加工科專業中的應用案例，還可包括具有一定難度和深度的考研知識點講解。利用線上教學資源的有效補充和實踐，為培養新工科人才創新能力的提高提供有效的教學手段，提高新工科院校學生的專業綜合能力、就業能力和考研升學率，向縱深發展，進而提高學生的專業視野和自主學習能力。目前，本校高等數學課程的教學中，教師已借助超星學習通為學生提供豐富的學習資源，幫助學生學習高等數學知識，使學生的學習效率提高。

二 線上線下混合式教學模式的教學設計和實踐

一元函數的導數是二元函數的偏導數、方向導數的基礎。為此，對于該節知識的講授有必要進行推敲研究[3-4]。下面以導數概念為例闡述線上線下混合式教學模式的教學設計和實踐。在教學設計和實踐的過程中，均體現出課程的高階性、創新性和挑戰度。

（一） 教材內容

導數概念的內容被安排在同濟大學編寫的第七版《高等數學》（上冊）教材中的第二章第一節[5]，也就是學習完第一章函數和極限，再進行導數的學習。對于導數的內容，學生在高中時通過高臺跳水運動實例分析，學習了導數概念的實際背景和導數的概念。盡管導數的內容屬于重疊內容，學生已經具有一定的導數知識經驗，但大學和高中在導數內容的深度上和側重點上是有所不同的。為此對該節知識的講授，有必要進行精心設計工作。

（二） 教學方法

線上線下混合式教學的架構不能將線上線下割裂開來，應該相互配合。本節課程運用“三位一體”的線上線下混合式教學模式，主要包括教師和學生的“課前”，“課中”和“課后”，具體組織如下。

理論部分。主要體現在慕課、微課，課堂講授和拓展等環節。學習內容應分為基礎級、挑戰級和卓越級3種。基礎級，是課程中的基礎理論，通過慕課、微課呈現，為課程設計的展開打下基礎。挑戰級，是有著更高綜合性和更大難度，學生需要“跳一跳才能夠得著”的部分，需要老師在線下課堂中講授原理和方法，啟發學生完成更高的要求。卓越級，需要學生發揮自主性，自主查閱學習資料，通過小組協作和教師交流，依靠群策群力去達到目標。

實踐部分。主要依靠“線上-線下-線上”為主線的混合式教學模式來實施。第一階段是“課前”：線上資源投放。即要求學生課前預習。課前發布學習任務單，主要是基礎級學習內容、專業案例學習;自學在線資源中的視頻，課件資料，并完成在線自測練習;思考任務單中的問題，整理上傳自學筆記。第二階段是“課中”：線下課堂教學。教師運用多種教學方法進行啟發式教學，并且回答任務單中的問題。第三階段是“課后”：再次對所學的內容進行線上檢測提升和拓展。

（三） 教學目標

為滿足哈爾濱理工大學“塑造高素質創新型人才”的培養目標和適應“雙一流”建設和新工科建設的需求，我們優化了本節教學目標，強化了能力培養和價值塑造。

知識目標：掌握導數定義;理解導數的幾何意義和物理意義;會利用導數定義驗證導數公式。

能力目標：通過變速直線運動的瞬時速度和切線問題兩個案例的分析來培養學生的分析問題、解決問題的能力和邏輯思維能力;通過學習導數的定義和計算來提高抽象思維能力和數值計算能力。

素質目標：通過對極限思想的運用來提高學生在數學思想、數學方法方面的素養。

價值目標：在高等數學課程學習過程中，激發學生的學習興趣，提高思維能力;通過同學間的討論、合作等，增強學生的團結合作能力和語言表達能力。

（四） 教學過程

1 “課前”引導學生線上學習

第一階段“課前”：線上資源投放。即要求學生課前預習。利用超星學習通，教師課前發布本節課的精品視頻、學習資料和學習任務單。學生在教師設計的學習任務單的指引下，帶著明確的學習目標去課前學習。這種課前學習，不僅讓學生在“組織者”的引領下逐步轉化為知識的主動構建者，還可以增強學生主動參與課堂討論的積極性。在第二章第一節導數概念中，制定學習任務單的任務目標如下。

1）回顧高中熟悉的高臺跳水和曲線切線斜率問題，理解平均變化率和瞬時變化率的概念。

2）學習函數在一點的導數的定義，左導數和右導數的定義。

3）利用導數的定義會求導數。

4）理解導數的幾何意義，會求曲線在一點的切線方程和法線方程。

利用問題驅動法，在學習任務單中提出如下問題。

1）說出導數定義中的x0、Δx、Δy、、的含義。

2）利用導數的定義求導數的步驟是什么？

3）導數的幾何意義是什么？

4）如何求曲線在一點的切線方程和法線方程？

2 “課中”引導學生線下探究學習

第二階段“課中”：線下課堂教學。此部分內容分為兩個模塊進行教學。

第一模塊教學，設計如下。

本模塊首先以案例教學法給出現實生活中的一個實際問題，播放我國高鐵運行的一個簡短視頻。視頻中高鐵的車廂內顯示了高鐵每個時刻的運行速度。

教師同時提出兩個問題，問題1：高鐵在運行的時候，電子屏幕上時刻會顯示它的運行速度，這個速度是怎么求出來的？問題2：高鐵在駛入彎道時，為了保持高鐵的平穩運行，設計軌道時涉及求曲線的切線斜率問題，怎樣求曲線的切線斜率呢？通過案例式教學法、啟發式教學法、問題驅動法和探究法等多種教學方法，以由淺入深式激活舊知識，學習新知識。

解決問題1： 把高鐵看作質點，設質點沿直線做變速直線運動，設路程與時間的函數是s=s（t），求質點在t0時刻的瞬時速度。

第一步，先考慮一個時間段t0到t0+Δt，寫出質點在 [t0，t0+Δt]時間內的平均速度（平均變化率），即為

第二步，教師提問質點的瞬時速度（瞬時變化率）如何求，啟發學生利用平均變化率與瞬時變化率間的關系。

思路：如何讓平均變化率向瞬時變化率靠攏？假如Δt取的小一點，平均速度接近于這一點t0時刻的瞬時速度。當Δt越來越小，平均速度越來越接近于這一點t0時刻的瞬時速度。什么時候是t0時刻的瞬時速度呢？當Δt→0，的極限即為t0時刻的瞬時速度，即

解決問題2：列車在彎道運行可看作是點M（x0，y0）沿著曲線運動，列車在彎道處的運動方向可看作是求切線的斜率。設曲線C∶y=f（x），求曲線C在點M（x0，y0）的切線斜率。

思路：由于割線的極限位置是切線，先求割線斜率，再對割線斜率逼近得出切線斜率。

第一步，設M（x0，y0）是曲線C上的一個點，則y0=f（x0）。另取C上的一動點。如圖1所示，并寫出割線MN的斜率，即為

第二步，對割線斜率取極限即為切線斜率。當點N沿曲線C趨于點M時，即當Δx→0，tanφ極限存在，設為k，即為點M的切線斜率

第三步，學生利用圖像研究割線斜率和切線斜率，觀察相應直線MN的變化情況。

然后對兩個問題進行小結。教師引導學生再去觀察質點在某一時刻的瞬時速度和曲線在一點的切線斜率的兩個表達式，即

教師提問：這兩個表達式有什么相同和不同？

原來，一方面，它們表示的含義不同，一個表示的是物理上的瞬時速度，另一個表示的是幾何上的切線斜率。另一個方面，符號不同。但是如果不考慮它們的實際意義，假設路程s用f表示，t用x表示，兩個表達式就是一樣的。所以，這兩個表達式，如果舍去考慮的實際意義，就看到一個數學表達式，是當自變量的增量趨于0時，求函數的增量除以自變量的增量的極限，這其實就是所謂導數的定義（高階性內容）。下面引入導數的定義。

定義1：設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在點x0處取得增量Δx時，相應地，因變量取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）;如果Δy與Δx之比當Δx→0時的極限存在，那么稱函數y=f（x）在點x0處可導，并稱這個極限為函數y=f（x）在點x0處的導數，記為f ′（x0），即

請同學回答《學習任務單》中問題1：說出導數定義中的x0、Δx0、Δy、、的含義。教師結合學生的回答進一步梳理函數在一點的導數中的這些符號的含義，幫助學生理解導數的定義，真正認識到f ′（x0）是當Δx→0的極限，因此是一個常數的結論。同時請同學回答《學習任務單》中問題2：利用導數的定義求導數的步驟是什么？教師結合學生的回答進一步梳理，利用導數的定義求導可以總結為三個步驟：①求增量Δy;②算比值;③取極限。

導數定義中還需要說明，在考題中，增量Δx一般會被出題人廣義化為其他形式（高階性內容），常見的有

如果令x0+Δx=x，還可將導數定義寫成

總結：若路程與時間的函數是s=s（t），則s′（t0）表示質點在t0時刻的瞬時變化率;對于一個平面曲線，如果它的函數是y=f（x），則f ′（x0）表示曲線f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率。

教師提問：導數的幾何意義？（任務單中問題3）

學生答： 函數y=f（x）在x0的導數的幾何意義為曲線在點（x0，f（x0））處的切線斜率。

通過學習，學生們知道了f ′（x0）表示在點（x0，f（x0））處的切線斜率。教師問：那么如何求曲線在該點處的切線方程和法線方程？（任務單中問題4）（高階性內容）

學生答：切線過點（x0，f（x0））且斜率為f ′（x0），由點斜式方程可寫出點（x0，f（x0））處切線方程，即y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0）。

學生答：切線過點（x0，f（x0））且斜率為-，由點斜式方程可寫出點（x0，f（x0））處法線方程，即y-f（x0）=-（x-x0）。

教師根據學生的回答進行總結，并將這部分知識點以PPT形式展示給學生。然后利用PPT， 展示利用導數定義求解簡單函數的導數的例子和求切線方程的例子，讓學生能夠熟練掌握該類型題的方法。

第二模塊教學，教學設計如下。

回顧案例中的例子，定義路程與時間的函數是s=s（t），則s′（t0）表示質點在t0時刻的瞬時變化率。利用問題驅動法教學，請學生思考，當t0取為6分鐘時，是否想到這樣一個問題：對于6分鐘時的瞬時變化率，這個“瞬時”到底是6分鐘之前的瞬時，還是6分鐘之后的瞬時呢？（創新性問題）

教師答：這在數學上，是有概念上的完美對應的，即若Δt<0，則t0+Δt在Δt→0時，表達了t0時刻之前的瞬時;若Δt>0，則t0+Δt在Δt→0時，表達了t0時刻之后的瞬時。

于是教師引出左導數和右導數的概念，再給出左導數、右導數與導數的關系。最后，總結本模塊的知識點。

3 “課后”線上檢測提升

第三階段是“課后”：學生學完本節知識后，利用超星學習通進行線上檢測提升和拓展，包括在線完成基礎級作業和挑戰級作業。學習了函數在一點處的導數定義的基礎形式和廣義化形式后，對函數在一點處的導數定義進行引申拓展。可設計高階性練習題如下。

為了拓展學生的思維和知識應用能力，體現課程的挑戰度，還可以布置課題小論文。例如導數在數學建模中的應用、導數在實際生活中的應用或導數在專業課程中的應用。教師在QQ群展示優秀學生的學習內容，以此激勵同學交流思想，共同進步。

三 線上線下混合式教學模式的總結

通過高鐵的例子引出求質點瞬時速度和光滑曲線上切線斜率兩個問題，問題的設計更貼近生活，激發學生學習興趣。課前，要求學生預習，學生完成學習后要進行相關問題的回答和習題訓練。超星學習通可以記錄學生觀看視頻的情況，并能統計習題的正確率，讓教師提前了解學生對預習知識的掌握情況。課中，教師利用多種教學方法，啟發引導學生思考。學生在教師的引領下，發現問題和解決問題，突出了學生的主體地位。值得強調的是，教師要在案例的選取上和題型分類上下功夫，這樣才能增加對學生的吸引力。要實踐高等數學課程的“兩性一度”，僅依賴課堂教學是不夠的。課后，教師利用超星學習通布置作業來幫助學生鞏固知識點，還可以布置小論文來拓展知識。超星學習通的“批量打回重做”功能也可讓沒達標的學生再次進行題型練習，直到合格為止。通過超星學習通布置線上的課前預習任務和課后檢測提升、拓展，彌補了線下傳統課堂教學學時不夠的問題，改善了學生學習的主觀能動性和創造性，提升了學生的高階能力和挑戰能力。實踐表明，線上線下混合式教學模式打破了時間和空間的限制，拓展了學生的學習深度和廣度，提高了教學效率。今后，哈爾濱理工大學的高等數學課程將繼續進行線上線下混合式教學模式的探索和實踐，不斷總結經驗，深化教學改革，著力為新工科創新型人才培養提供可靠保障。

參考文獻：

[1] 吳巖.建設中國“金課”[J].中國大學教學，2018（12）：4-9.

[2] 王躍恒，劉文軍.現代信息技術的《高等數學》課程教學實踐[J].教育教學論壇，2018，4（17）：268-269.

[3] 吳建功.線上線下混合教學模式下“高等數學”課程翻轉課堂的設計探討——以“導數的概念為例”[J].現代商貿工業，2021（31）：147-148.

[4] 張京良，王建，趙元章.基于問題驅動的方向導數教學設計[J].高等數學研究，2018，21（4）：30-34.

[5] 同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014：75-76.

基金項目：黑龍江省高等教育教學改革研究項目“基于‘兩性一度’高等數學課程混合式教學模式對新工科人才創新創業能力提高的研究與實踐”（SJGY20220336）;黑龍江省高等教育教學改革研究項目“大思政視域下工科數學‘一核三維’同步異步混合式教學的研究與實踐”（SJGY20220320）;黑龍江省高等教育教學改革研究項目“以本為本因材施教公共數學課程分層次教學的研究與實踐”（SJGY20210691）;黑龍江省高等教育教學改革研究項目“基于OBE教學理念下的‘高等數學’課程思政的研究與實踐”（SJGY20210394）;黑龍江省高等教育學會高等教育研究課題“新工科背景下線性代數一流課程建設的探索與實踐”（23GJYBF037）

第一作者簡介：曹燕（1981-），女，漢族，黑龍江大慶人，博士，副教授。研究方向為李代數。