問題教學法與類比教學法在近世代數教學中的應用

摘 要：針對貴州民族大學數學與應用數學專業近世代數教學中存在的問題，結合教材的特點和自身的教學實踐，談談在近世代數課程中開展問題教學法和類比教學法的必要性、基本框架和注意事項，并以環論為例簡要展示問題教學法和類比教學法的開展過程。教學實踐表明，問題教學和類比教學能調動學生學習的積極性和主動性，使其掌握近世代數的基本知識，并獲得良好的教學效果。

關鍵詞：近世代數;課堂教學;問題教學法;類比教學法;目的式教學

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2024）27-0101-05

Abstract： In view of the existing problems in the teaching of Modern Algebra for the mathematics and applied mathematics major in Guizhou Minzu University， combining the characteristics of teaching text and our teaching practice， the necessity， basic framework and matters on taking problem-based and analogy teaching methods in Modern Algebra are discussed. And then， the implementation process of problem-based and analogy teaching methods are briefly showed by using ring theory as an example. The teaching practices show that problem-based and analogy teaching methods can arouse the enthusiasm and initiative of students， help them understand and master the basic knowledge， and obtain good teaching effects.

Keywords： Modern Algebra; classroom teaching; problem-based teaching method; analogical teaching method; purposive teaching

近世代數課程是普DpdnfoQa/pAjGF90SoFrRw==通高等院校數學與應用數學、信息與計算科學、計算機科學與技術等專業的基礎課和必修課，是將數、向量、矩陣和張量等對象看作或抽象為群、環、除環和域等代數系統的元，以研究它們所具有的性質和所擁有的結構，且具有高度抽象性和公理化的一門學科。近年來，隨著科學和工程技術的快速發展，越來越多的科研人員意識到從近世代數的觀點和角度出發，利用近世代數的知識、方法和思想可以解決他們遇到的科學和工程技術問題。例如，Jia等[1-2]利用四元數除環的性質和結構研究圖像處理中的圖像修復問題;Hermann[3]給出了群論在量子力學中的應用;胡勝龍[4]利用群表示和環的長度對一致超圖的張量譜理論進行了研究。

目前貴州民族大學（以下簡稱“我?！保┙来鷶嫡n程選用的教材為張禾瑞先生于1978年修訂的《近世代數基礎》[5]。由于該教材沒有從具體的實際問題出發引出所要闡述的概念和定義，也沒有給出概念和定義后再給出實例進行展示，用于展示和驗證引理、定理、推理等的實際例子較少，這讓學生認為沒有實際例子或很難找到實際例子與它們相對應[6]，這樣就在無形中增加了該教材的抽象性。又由于我校招收的學生基本上來自貴州，他們的數學基礎薄弱、抽象思維能力和邏輯思維能力較差，若讓學生自己構造例子以驗證近世代數中的基本概念或定義，他們又沒有強的抽象能力和動手能力，又若教師在課堂教學時沒有向學生演示能體現這些概念或定義的例子，這樣就會導致學生理解近世代數的知識點很慢、很吃力，從而導致學生懼怕近世代數課程的學習。鑒于教材的特點和學生的數學基礎及學習狀態，需要對近世代數課程進行教學改革。因此，如何讓學生對近世代數課程感興趣，并讓他們理解、領會和掌握近世代數的基本概念、基本知識、基本方法和基本技巧已成為任課教師和教育工作者必須思考的問題。

教材《近世代數基礎》[5]雖然有一些不足之處（見文獻[6]的第二節第（一）條），但其也有自身的優勢，例如，教材對群論和環論知識點的編排具有對稱性、平行性、可對比性和可提問性，這樣的編排可以增加學生對群和環這兩個代數系統的理解，從這個角度看，其作為近世代數課程的入門教材和經典教材是實至名歸的。教師要多思考張禾瑞先生如此編排教材的原因，挖掘該教材的優點和可以用于提問和類比的知識點，形成自己的知識圖譜和知識脈絡，并結合學生的知識水平，設置讓學生感興趣的問題，進行問題教學和類比教學，以便提高學生學習的積極性，讓學生早日掌握近世代數的知識脈絡。

現就開展問題教學法和類比教學法的必要性、基本框架和注意事項談談自己的看法，并以環論為例進行演示，以便給其他教師在近世代數課程中遇到的類似問題作為參考，共同提高學生學習近世代數的積極性和教師的課堂教學質量和教學效果。

一 采用問題教學法和類比教學法進行近世代數教學的必要性、基本框架和注意事項

（一） 問題教學法和類比教學法是提高學生學習興趣的有效方法

問題教學法是教師先將教材中的知識點形成一個個讓學生感興趣、互相關聯且前后呼應的問題，然后教師引導并啟發學生進行探究式和創造性學習，以激發學生探索問題、研究問題和解決問題的興趣，并進行有目的的教學。趙婷[7]指出，問題教學法一般包括這四個環節：問題預設以驅動學生主動復習、提出反思性問題以驅動學生歸納總結、教師講解以解答疑惑、創設系列問題以驅動學生實踐應用。趙志兵[8]指出，在近世代數教學中教師應始終帶著問題教，學生帶著問題學，時間長了，學生會由被動問問題轉變為主動問問題，這樣學生的學習積極性就提高。李霞[9]指出，問題教學法是教師在充分了解學生的基礎情況后，以教材為基準設置合理的問題，引導學生圍繞設置的問題進行思考和討論，與老師進行互動交流的一種教學方法，它符合大學生創新思維的培養要求。

聯想與類比是運用已經掌握的知識、方法和解決問題的思路等來探索與之類似的問題，它是一種普遍的科學的思維方式，也是一種有效的教學手段[10]。文毅玲[11]指出，將討論、聯想、類比運用在教學中，將新概念、性質和解題方法等與熟知的類似知識進行聯系比較，找出神似的地方，可以幫助學生快速深入理解本質規律，提高學習效率和教學質量。

我們在教學實踐中是這樣應用問題教學法和類比教學法的。課前，教師要形成該節內容的知識圖譜，并進行問題設計。具體地，教師要將本節授課內容涉及到的概念、定義、引理、定理、推論、重點、疑難點、易錯點和具有對比性的知識點等設計成環環相扣的一系列問題，并提前發給學生，給學生預留出獨立思考的時間，讓學生在課前預習和回顧課本內容、查資料，類比以前學過的相似知識點試著解答，以培養學生的創新性思維和探索的能力。課堂上，教師啟發和引導學生類比之前學過的知識點分析和解決這些設計好的問題，以及學生臨時提出的新問題，推動學生進行探究式和啟發式自主學習，調動學生學習的積極性。課后，教師要求學生將本節提到的問題所涉及到的知識點形成知識圖譜，記錄在答疑本上，以便學生形成自己的知識脈絡，早日將本章節內容融會貫通。

（二） 問題教學法和類比教學法符合近世代數課程內容的特點

近世代數主要研究群、環、除環和域這四種互不相同卻又相互緊密聯系的代數系統。群只有一種代數運算，叫做乘法，當然這里的乘法一般不是普通的乘法。環和域是含有兩種運算的代數系統，這兩種運算分別叫做加法和乘法，當然這里的加法和乘法一般不是普通的加法和乘法。環、除環和域對于加法運算構成交換加群，環對于乘法運算一般不構成群，除環的非零元對于乘法運算構成乘群，域的非零元對于乘法運算構成交換乘群。這就注定了群、環、除環和域之間有著相似之處，又有著各自的特點，因此在教學時要注意講解它們之間的哪些知識點是相同的，哪些知識點是不同的。群論與環論的這些異同反映了近世代數課程的規律及其可以用類比的思想方法。在教學中教師要將它們進行類比教學，找出它們的這些異同，幫助學生形成知識脈絡，讓他們體驗近世代數的奧秘和美感，讓抽象的知識不再枯燥。

例如，在群論教學中，教師講解的順序依次為群的定義、群的同態、子群、子群的陪集、不變子群、商群、同態與不變子群;在環論教學中，教師講解的順序依次為環的定義、環的同態、子環、剩余類、理想、剩余類環、同態與理想。環論的性質、結論和研究方法與群論類似，但也有不同之處，這正是此課程的重點，因此教學時要突出對比群論與環論的異同，幫助學生進行類比性學習和記憶。

下面用圖1和圖2分別展示群論和環論的部分知識脈絡，以便在教學中進行類比和對比。

（三） 采用問題教學法的注意事項

1 設計問題的難度要符合學生目前的認知水平

設計的問題太簡單，學生不能深入思考，達不到讓學生探索的目的，而問題太難，又使學生失去探索的興趣和信心。因此，教師在設計問題時要盡量把復雜的問題進行簡單化和分步化，使得設計出來的問題符合學生目前的數學基礎、知識水平和探索能力，要讓他們感受的到、看得見和摸得著，要讓學生意識到他只要努努力、認真讀讀課本、再用他目前掌握的知識就應該能解決。只有設計出來的這樣的問題，才能激發學生探索的欲望和潛力。

2 增加應用背景的提問

教師在設計問題時，要注意增加應用背景的提問，這就要求教師自己必須清楚該節課的知識點在哪個領域有重大的實際應用。教師了解這些應用后，可以讓學生在課前查找這些應用背景，并了解這節課的知識點在這些應用背景中是如何應用的。在課堂教學時，教師讓學生上講臺講解這些知識，以便讓他們認識到學習近世代數是有很大用處的，以此提高學生學習的積極性和主動性。

3 增加知識點的目的性提問，進行目的性教學，使學生知道學習該知識點的意圖

教師在講解完某個知識點后，要發出提問：我們為什么要學習這個知識點？近世代數中出現這個知識點的意圖是什么？通過這樣的提問可以回答學生經常提出的一個問題：學習這個知識點有什么用處？例如，在學習了“群的同態”后，教師可以提問：群的同態這一概念在群上有什么作用？為什么要考慮群的同態？之后教師要給學生講解：學習“群的同態”的目的是可以隨時把一個集合來同一個群進行比較，或者把兩個群進行比較，以便了解群的性質并對群進行分類。又如，在學習了“變換群”后，教師可以提問：在群論中為什么要考慮變換群？教師可以回答：任何一個抽象群都能在變換群中找得到一個具體的實例與之對應，這樣我們就不必害怕，我們構造的群是憑空想象出來的空中樓閣。再如，在學習完“群的同構”后，教師可以提問：若把同構的群看作是一樣的，一共有幾個含有4個元的群？教師這樣可以回答：一共只存在兩個階是4的群，一個是模4的剩余類加群，一個是克萊因四元群，階是4的其他群都與這兩個群同構。教師可以繼續回答：“同構”的精髓就是你只要了解這個群，與這個群同構的其他群也都了解了，它們有著相同的性質。通過目的性教學，學生會逐漸明白，我們為什么要學習近世代數。因此，教師在對知識點進行教學時，要告知學生學習這些知識點的目的，以及它們在群論中發揮著怎樣的作用。

4 改革考核方式

采用問題教學法和對比教學法時，由于學生花費了很多精力去查找應用背景并學習和探索新知識，因此在考核階段教師要增加查找資料和課堂回答問題等環節的考核成績，降低試卷成績的比例，以便調動學生學習的積極性和主動性。在考核時，建議采用考勤（占5%）、應用背景查找（占15%）、課堂問答（占15%）、知識脈絡構建（占5%）、作業（占15%）、課程論文（占5%）和期末考試（占40%）等方式對學生進行綜合考核。

二 問題教學法和類比教學法在近世代數教學中的應用——以環論舉例

本節以教材[5]第三章第8節“剩余類環、同態與理想”為例，簡要展示作者在課堂教學中開展問題教學法和類比教學法的過程，其中還用到第三章第5節和第7節等環論知識點。在學生初次學習這幾節內容時，教師可以從中截取一些片段靈活運用。下面的演示過程也可以作為復習階段教師串聯第三章內容的框架。

教師在設計問題時，可以由中學階段的知識點進行引入。這樣做的好處是，學生感覺這個知識點很親切，不那么突然，學生還可以進行對比，使問題可以從簡到難、從具體到抽象地平穩過渡。例如，教師可以進行如下開場白：在中學階段，給定一個數集X和一個對應法?，自然地，我們想了解函數Y=?（X）的形態。很自然地，教師可以向學生提出如下問題。

問題1：給定一個環R和一個同態滿射?，能否刻畫象集合=?（R）？它具有怎樣的代數結構？

教師提出問題1后，可以讓學生類比教材[5]第二章第4節“群的同態”中定理1的結論“若群G與非空集合同態，則也是群”，對問題1展開討論并嘗試進行回答。之后教師引導、講解和串聯涉及到的概念、定義、定理等基礎知識，讓學生體驗其中涉及到的知識脈絡。為了啟發學生，進行創造性地探索，教師提出如下問題。

問題2：同態滿射?在環R上起什么作用？

在提出問題2后，教師引導和啟發學生類比并利用教材[5]第二章第4節“群的同態”中定理1的證明方法和技巧，對問題2進行回答，并證明象集合=?（R）也是一個環，R的零元的象是的零元，R的元a的負元的象是a的象的負元（即教材[5]第三章第5節定理1和定理2）。之后，教師作總結：在同態滿射之下，環R的象是環。

在解決了問題2之后，教師還可以增加一些問題讓學生思考。例如，若?是同態映射，但不是滿射，那么還是環嗎？若?是同構映射，R是整環（或，除環、域），那么是整環（或，除環、域）嗎？

在解決了問題1和問題2后，教師可以讓學生類比子群的定義和充要條件給出子環的定義和充要條件。通過這樣的互動教學，教材[5]第三章第5節“子環、環的同態”的知識點就學習完了。之后，教師引導學生回顧子群和不變子群的定義以及充要條件，回顧同態滿射的核的定義。然后，提出如下問題，讓學生思考、討論、舉例和證明。

問題3：同態滿射?的核對于環R的加法和乘法運算是否構成子環？

教師引導并啟發學生，讓他們嘗試回答問題3。首先，讓學生類比教材[5]第二章第11節“同態與不變子群”定理2中的證明方法嘗試給出證明：是R的子環。隨后，教師讓學生給出進一步的證明：對于加法運算，是R的不變子群。然后，教師讓學生嘗試給出更深入的證明：是R的理想。若學生是初學第三章第7節“理想”的話，教師可以先讓學生按“理想”的定義證明“是R的子環”，并讓學生體會和感受到這種特殊的子環和一般的子環有所不同;隨后，教師指出這個特殊的子環叫作“理想”，然后教師讓學生將“理想”與“不變子群”進行對比，分析它們之間的異同;最后，師生互動系統地學習教材[5]第三章第7節“理想”。在學生理解是R的理想后，為了引出的陪集，教師可設置如下問題，讓學生思考和探索。

問題4：已知環R及其理想，僅就加法而言，R是群，是R的不變子群，那么的陪集[a]的元具有怎樣的形式？

教師可以讓學生類比教材[5]第二章第9節“子群的陪集”的內容，參考群論中陪集的構造方法后，嘗試回答問題4。之后教師進行類比教學，明確的陪集[a]的具體形式：。之后教師由陪集引出環的分類，提出如下問題。

問題5：的所有陪集[a]，[b]，[c]，…是不是R的一個分類？若是，它依據怎樣的等價關系？

教師可以讓學生類比教材[5]第二章第9節中群的陪集和等價類的關系，讓其嘗試回答問題5并給出陪集[a]中兩個元a和b之間的等價關系： 。在學生理解的所有陪集[a]，[b]，[c]，…作成R的一個分類后，教師指出這些類叫做模的剩余類。很自然地，教師可以提出下面的問題并讓學生思考。

問題6：設S是由所有剩余類[a]，[b]，[c]，…作成的集合，即 ，那么能否構造兩種代數運算下使S構成環？

教師啟發學生類比商群的構造方法（見教材[5]第二章第10節定理3），嘗試給出S的元間的兩種代數運算[a]+[b]=[a+b]和[a][b]=[ab]，并引導學生證明：S在這兩種代數運算下作成環。學生證明S是環后，教師指出環S在環論中被叫作環R的模的剩余類環（或商環），并用符號R/表示。隨后，教師可以提出如下問題，讓學生思考環R/與環R之間的關系。

問題7：環R與它的每一個商環R/同態嗎？

類比于教材[5]第二章第11節定理1：群G和它的每一個商群G/N同態，教師讓學生回答問題7并證明：一個環R與它的每一個商環R/同態。通過問題6和問題7，師生互動共同證明了教師[5]第三章第8節的定理1。隨后，教師指出：由環R的一個理想可以推測環R的性質;利用理想可以得到商環R/，這樣自然更容易推測R和的性質。

問題8：環R的象=?（R）與商環R/同構嗎？

教師可以讓學生將問題8與教材[5]第二章第11節的定理2（即，群G的象集合與商群G/N同構）進行類比，嘗試構造R/與之間的同構映射，并證明與R/同構，從而回答問題8。這時，師生通過互動一塊學習、證明并掌握了教材[5]第三章第8節的定理2。

通過問題1—問題8，教師可以通過問題教學法和類比教學法，將第三章環論的大部分知識點串聯了起來，并與第二章群論的大部分知識點進行了對比，讓學生對每個知識點所起的重要作用和它們在群論和環論中的地位清晰地勾畫出來。這時，學生也就形成了自己的知識脈絡，即圖1和圖2。

三 結束語

從三年的教學實踐來看，采用問題教學法和類比教學法后，大部分學生在課前能自主地預習課本內容、查找資料、思考提出的問題，在課堂上能較好地進行互動，在課后能記錄、整理和理清章節內容的知識脈絡，對近世代數學習的積極性和主動性以及獨立思考問題的能力都有了顯著地提高。因此，只要師生堅持教學改革的實踐和探索，必能提升學生的知識水平和創新能力，提高近世代數課程的教學質量。

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[11] 文毅玲.聯想類比在近世代數教學中的運用[J].教育觀察，2013，2（10）：57-59.

基金項目：貴州民族大學科研基金資助項目“民族高校近世代數課程教學改革的實踐與探索”（無編號）;教育部辦公廳2020年度國家級一流本科專業建設點項目“貴州民族大學數學與應用數學專業”（教高廳函〔2021〕7號）;貴州省教育廳貴州省高等學校教學內容和課程體系改革項目“基于基礎學科深化建設背景下的《數學分析》教學改革研究”（無編號）;貴州省科技計劃項目（課題）“磁共振成像中彌散張量特征值問題研究”（黔科合基礎-ZK〔2021〕一般013）

第一作者簡介：桑彩麗（1988-），女，漢族，河南新鄉人，博士，副教授，碩士研究生導師。研究方向為數值代數與教學法。

*通信作者：趙建興（1981-），男，漢族，山東濟寧人，博士，教授，碩士研究生導師。研究方向為數值代數與教學法。