突破思維定式，實現深度學習

通過學習人教版數學二年級下冊教材第二單元“表內除法（一）”，學生對“平均分”已經具備一定認知經驗和知識儲備，并學會用表內除法解答“平均分”問題。第四單元“表內除法（二）”繼續深化學生對“平均分”的認識，解決平均分若干個物體正好分完的情況。但是在現實生活中，并不是所有的情況都能通過“平均分”將物體正好分完，有時還會剩下一部分物體不夠“正好分完”，剩下的這部分就是數學概念“余數”的生活化展現。為了幫助學生將數學學習與生活經驗建立鏈接，人教版二年級下冊第六單元第58頁例題1呈現了生活中常見的“擺小棒”的真實情境，先引導學生擺一擺“正好分完”和“有剩余”的情況，所有的小棒正好擺完和有剩余，擺成若干個三角形。在本節課教學中，教師組織學生完成操作，既鍛煉他們的小組合作能力，又有利于他們相互交流，同時，使學生切身感受經過“平均分”之后，有時“正好分完”，有時會有剩余。第59頁例題2，通過改變被除數的方式，讓學生感受余數不同的除法算式，根據有剩余的幾種情況，列出除法算式。通過一系列操作活動和列式計算，突破“正好分完”的思維定式，深化對“余數”概念的認識，進而實現深度學習。

一、教學目標

1.完整經歷平均分后有剩余的操作活動，并能抽象出有余數除法算式，主動將有余數除法和生活原型建立聯系，理解有余數除法的內涵；并能準確讀寫有余數除法的算式。

2.在列出有余數除法的基礎上，觀察每道算式的除數和余數，總結余數小于除數的規律。

3.小組合作、完成“擺一擺”，討論交流形成有余數除法的過程，實現深度學習。

二、教學準備

長度、粗細均勻的小木棒若干份，小正方形紙片若干份。

三、教學過程

（一）創設真實情境，引出新授知識

1．鏈接生活經驗，調取已有知識

談話導入：同學們，老師這里有9根小木棒，如果要將這些小棒擺成三角形，我們可以怎么擺？請先拿出準備好的小棒擺一擺，然后在小組內交流。

學生動手擺小棒，教師給予必要指導。

學生展示操作成果（見圖1）。

擺一個三角形用3根小棒，9根小棒擺出三角形的個數就是9÷3=3（個）。

［設計意圖：學生已經學習了本冊教材的第二單元“表內乘法（一）”，對“平均分”已經有了初步認識。基于以上認知基礎，教師調取了能夠除盡的除法的知識經驗，為引出有剩余的狀況做好了鋪墊。］

2.打破思維定式，引出新知學習

繼續談話引導：將9根小棒平均分，擺成三角形，每個圖形用3根小棒，正好拼成3個三角形，但是老師這里有10根小棒，那么可以擺成幾個三角形呢？

引導：10根小棒，擺1個三角形用3根，你會怎樣擺呢？請同學們動手擺一擺，看看會出現什么結果。

擺完后，以小組為單位展示自己的擺法。在擺的過程中，學生可能會有疑惑，預設以下引導：

思路一：

提出問題：說出你擺小棒的過程。（10根小棒，擺1個三角形用3根，可以擺出3個三角形，還剩1根小棒。）

思路二：

提出問題：你是按上面的思路分的嗎？

再追問：同學們如果遇到上面的情況，你還會取出其中的3根再擺出1個三角形嗎？

3．辨析對比，體會差異

對比：請同學們對比以上兩種思路，你從中有什么感悟？

教師總結：在第二單元“表內除法（一）”的學習中，我們明白了什么是“平均分”，也就是將一些物體分成若干份，每份都相等，而且是正好分完，沒有剩余；但是今天我們學習的“平均分”，是分完以后還有剩余。我們怎樣用算式來表示平均分以后有剩余的情況？這就是本節課要研究的問題。

（設計意圖：在平時學習過程中，學生經常會因為認知水平的局限帶來許多學習障礙，正常的思維活動也會“斷層”。本節課新授知識出現了平均分后有剩余的情況，容易導致學生思維斷層。因此，在創設問題情境時，要基于學生真實的認知水平，在思維斷層的連接點提出問題，并分兩種情況討論，也是為后續的“余數要比除數小”的學習做好鋪墊。）

（二）動手實踐，探究有余數除法

1.初步感知“平均分”的不同情況

提出問題：10根小棒，用小棒擺出三角形，同學們展示了兩種思路，請大家重新回顧自己的思路，并拿出準備好的小棒動手擺一擺，并填寫記錄單上的內容。

記錄單：10根小棒，用小棒擺出三角形，可以擺成（ ）個三角形，剩余（ ）根小棒。

學生匯報操作結論，并利用投屏動態展示擺小棒的過程，同時填寫表1。

2．練習書寫有余數的除法算式

教師引導：如表1所示，當擺完3個三角形后，仍然有剩余，但不能再繼續擺，我們可以用除法算式來表示。請同學們嘗試列出除法算式，學生列算式。

學生匯報列出的算式。

10÷3=3（個）……1（根）。

理解算式含義：同學們觀察算式，3個指的是什么？1根指的是什么？

強調：當我們平均分若干物體時，會出現有剩余的情況，而且也能夠用除法算式表示，列出的除法算式就是有余數的除法。以上面的例題為例，“1”根中的“1”就是余數，表示擺完三角形后，還剩下1根小棒。

布置任務：讀出上面的除法算式，同桌相互提問，說出除法算式每部分的名稱。

（設計意圖：通過放手讓學生親自擺一擺，切身感受平均分后有剩余的情況，并嘗試列出除法算式，為學生創造了自由發揮的空間，引導學生用自己的方式創造，有利于突破“凡是除法就是平均正好分完”的思維定式，具身認識有余數除法的意義。）

3．進一步深化對有余數除法的認識

引導學生思考：根據你列出的除法算式，能不能完整地說一說算式的含義？（10表示10根小棒，除數3表示擺1個三角形需要3根小棒，商3表示擺出了3個三角形，余數1表示剩下1根小棒。）

進一步深化認識：我們手中有10根小棒，如果換成正方形，也會有剩余，那么應該怎樣列出除法算式呢？請同學們嘗試列出算式，并說出各部分的含義。

（三）依托實例，理解余數小于除數

1．圈出分組，填寫結果

有11個菠蘿，每5個裝一籃，能夠裝 籃，還剩下 個。

列出算式：11÷5=2（籃）……1（個）

學生先按照題目要求分組，并圈出來，再在橫線上填空，并列出算式。

2.拓展實例，列出列式

引導思考：在上面的例題中，同學們通過圈一圈得出11個菠蘿，每5個裝一籃，能夠裝2籃，還剩1個。如果菠蘿總數是12個，還可以像上面這樣裝嗎？根據你的理解列出算式。

指名讓學生圈出裝法，再獨立列出算式，小組交流平均分的思考過程。

深化提問：如果將菠蘿數增加到13個，還是5個裝一籃，該怎樣列式？

學生獨立列出算式，討論交流。

繼續深入探討：依次增加菠蘿的數量，當菠蘿數是15個時，還是5個裝一籃，又該怎樣列式呢？

預設學生列出的算式可能有兩種：

第一種：15÷5=3（籃）

第二種：15÷5=2（籃）……5（個）

引導思考：兩種算式哪一種才是正確的呢？說說你的理由。

根據學生的匯報結果，出示圖5。

教師強調：一共有15個菠蘿，每5個裝一籃，裝滿2籃以后，還剩下5個菠蘿，正好可以裝1籃，因此，根據圈出的結果可以用算式“15÷5=3（籃）”來表示，也就是說，第二種列式是錯誤的。

討論交流：如果按照上面的規律依次增加菠蘿個數，還是按每5個裝一籃，菠蘿的個數變成16、17、18的時候，應當怎樣列出相應的除法算式？

學生思考，并口頭回答思考結果。

3.總結余數比除數小的規律

多媒體展示算式：

10÷5=2（籃）

11÷5=2（籃）……1（個）

12÷5=2（籃）……2（個）

13÷5=2（籃）……3（個）

14÷5=2（籃）……4（個）

15÷5=3（籃）

16÷5=3（籃）……1（個）

17÷5=3（籃）……2（個）

18÷5=3（籃）……3（個）

對比辨析：對比辨析上面的算式，觀察算式中的除數和余數，你能從中發現什么規律？

學生總結規律，匯報交流。根據討論結果在圓圈內填寫大于或小于號。

余數○除數。

（設計意圖：余數小于除數，是一系列數學算式總結的知識規律，也是最終探討的結果。學生動手實踐，持續深入操作每一個環節，是一個完整的過程。在總結余數小于除數的環節，教師引導學生動手實踐，用動態化方式思考問題，助力學生深度學習。）

4.鞏固拓展，運用新知

師：同學們，你們已經掌握“有余數的除法”的相關知識了嗎？接下來我想考考大家。

出示題目：假如在一道有余數的除法算式中，如果除數是8，余數會有多少個，它們分別是幾。

學生將解題思路面向全班闡述，教師聆聽后進行點評。

（四）趣味游戲，合理劃分

假如在小組比賽中，你所在的小組獲得了第一名，老師拿出一把鉛筆作為獎勵，要求組長為每個人分得相同數量的鉛筆，如果你是組長該怎樣分呢？（教師提示：將小棒假想為鉛筆。）

學生先清點手中“鉛筆”的數量，發現總共有19支，本組共有6位成員，如何做才能確保每個人所分的數量一樣呢？他們做了以下測算。

19÷6=3（支）……1（支）

14÷6=2（支）……2（支）

15÷6=2（支）……3（支）

16÷6=2（支）……4（支）

17÷6=2（支）……5（支）

所以，最合理的分配方法應該是每位成員分得3支鉛筆，然后將剩下的一支鉛筆還給老師。

教師總結：如果能學會合理分配，那么小組中的所有成員都沒有怨言，還會盡可能減少退還的數量，所以我們必須學好“有余數的除法”。

（五）關聯生活，啟發思考

教師導入視頻：同學們都來參加小明的生日會，爸爸拿出蛋糕招待大家，請問：要怎樣分配這塊蛋糕才能確保每個人都能吃到，而且不會產生浪費？

學生清點視頻中的人數，發現：此次總共有12人參加生日會，但是這12個人中有不喜歡吃甜食的，也有特別喜歡的。這該怎樣操作呢？學生積極地與伙伴展開討論。

經過認真分析，大家認為可以按照這種方法分蛋糕。總人數為12，那么可以先將蛋糕切成12個等份，喜歡吃甜食的先統一領取相同的等份，不喜歡吃甜食的則可以自行選擇少吃或不吃，最后將剩下來的蛋糕再平均分成若干等份，由喜歡吃甜食的人自行挑選，這塊大蛋糕就能得到合理分配了。

學生在完整闡述自己的思路后，用手中的小棒作為“蛋糕”開展游戲，教師認真觀察、指導。

（設計意圖：本環節通過實例分析、操作環節，讓學生將所學內容與生活相互關聯。另外，以游戲的方式進行操作有助于提升學習趣味性，讓學生全身心參與其中，有助于知識的遷移與靈活運用。）

（六）總結收獲

通過本節課學習，你有什么收獲？

學生1：在有余數的除法中，余數必須比除數小，最小的余數是1。

學生2：有余數的除法的計算可以分四步走：一商，二乘，三減，四比。

學生認真總結的同時教師聆聽，并及時進行點撥：

有余數的除法：

意義：平均分一些物體時會有剩余。

余數的特點：①最小的余數是1。

②余數應小于除數，大于0，否則等式不成立。

四、教學總結

深度學習是一個主動探索、發現的過程。在本節課教學中，教師創設了用小棒擺三角形的生活情境，使學生用外顯方式展示思維過程，在借助直觀手段的基礎上，列出算式“10÷3=3（個）……1（根）”，突破正好分完的定式，重現聚焦“平均分”，引導學生小組合作，討論交流，結合解決實際問題認識平均分后有剩余的情況，進一步拓展平均分的含義。

在此基礎上，教師將學生討論的兩種思路展示出來，加深他們對平均分后有剩余情況的理解，使學生主動建構有余數除法。教師借助豐富的表征手段，將動手操作、語言表達、數學思考有機結合，助力他們體悟算理，獨立思考解決問題，進而促進學生深度學習。

在總結余數小于除數知識點環節，教師既讓學生認識被除數、除數、商、余數的內涵，又讓學生用外顯化方式體驗主動思考的過程，總結實際問題中蘊含的數學規律，發展理性精神。結合“圈菠蘿”實際問題，感悟“每5個菠蘿裝一籃，當遇到有余數的情況時，余數一定比除數小”，通過一系列算式，建構數學模型；當學生圈出每一組菠蘿，剩下的菠蘿數也會發生相應變化，在這個過程中引導學生觀察、總結，尋找規律，經歷完整的數學思考。

在整節課教學中，學生操作活動是系統化的，能夠將直觀經驗轉化為理性認識，突破舊知識的思維局限，促進深度學習自然發生。

（作者單位：山東省鄆城縣隨官屯鎮元廟集小學）

編輯：張俐麗