巧用變換解一次函數系數問題

已知直線y = kx + b（k，b為常數，且k[ ≠0]）.

平移式模型：當k值固定、b值變化時，直線進行平移變換如圖1所示.

旋轉式模型：當b值固定、k值變化時，直線進行旋轉變換如圖2所示.

模型應用

巧用變換解一次函數系數問題通常需要四步：第一步是確定直線的運動方式；第二步是根據題意判斷出臨界點；第三步是用待定系數法求出臨界值；第四步是判斷出系數的取值范圍.

例1 如圖3，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，1），（1，4），直線y = 2x + b與線段AB有公共點，求b的取值范圍.

解析：結合平移式模型，由圖象特征可知，當直線y = 2x + b經過點A時，b值最小，2 + b = 1，此時b = -1；當直線y = 2x + b經過點B時，b值最大，2 + b = 4，此時b = 2. 因此，直線y = 2x + b與線段AB有公共點，則-1 ≤ b ≤ 2.

變式：如圖4，A（2，2），B（6，2），C（4，4），當直線y = [12]x + b與△ABC有交點時，求b的取值范圍.

解析：結合平移式模型，當直線經過點B（6，2）時，b取最小值，b = -1；當直線經過C（4，4）時，b取最大值，b = 2. 因此，-1 ≤ b ≤ 2.

例2 我們定義，當一條直線與一個正方形的邊有兩個不同的公共點時，稱這條直線與這個正方形相交. 如圖5，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊長為1，點A的坐標為（2，1）. 若直線y = kx + [12]與正方形ABCD相交，求k的取值范圍.