在小學數學“圖形與幾何”領域建構問題解決模型的路徑探析

摘要：在小學數學“圖形與幾何”領域的教學中引導學生運用幾何直觀和推理意識建構問題解決模型是一項重要學習任務。教師在教學中可以運用以下策略，幫助學生建構“圖形與幾何”問題解決模型：采用問題引領，啟發學生主動探究；在具身體驗中，培養學生有序思考；利用數形結合，優化解決問題策略；在類比推理中，建構解決問題模型。

關鍵詞：幾何直觀；具身探索；類比推理；問題解決模型

小學階段，學生的思維以具體形象思維為主。在“圖形與幾何”領域的教學中，教師可利用可視化材料，引導學生借助幾何直觀，以觀察為基本手段，充分感悟圖形的特征。幾何直觀、觀察思考是“圖形與幾何”學習的基本方法，其作用是為探索過程奠定基礎，同時也可以讓學生更好地體會圖形知識的生成過程。同時，教師也要清醒地認識到，對想象力和思維的培養不僅是通過觀察形成的，抽象幾何的性質、關系和度量，還必須通過讓學生具身操作來獲得。同樣，對于圖形的認識，由直觀辨認到系統認識，都是經歷觀察、比較、歸納、總結、概括特點的認知過程。基于以上思考，我們建構了“運用幾何直觀，在具身探索推理中建構問題解決模型”的教學路徑（通稱“圖形與幾何”問題解決教學路徑），以期待對這類課的教學有一定的借鑒作用（如圖1）。

下面以“包裝中的學問”一課教學為例，談一談“運用幾何直觀，在具身探索推理中建構問題解決模型”的思考與實踐。

一、問題引領，探究由“被動”到“主動”

問題引領可以幫助學生逐步學會更深入、更清晰、更全面、更合理地思考。所以，在數學教學中，教師應重視問題設計。在“包裝中的學問”一課中，教師應立足學生已有的生活經驗和學習起點，精心設計問題，使學生在問題引領下經歷學習過程，有感悟才能有圖分析、有話可說、有理可推。本節課主要圍繞以下幾個問題引發學生思考與交流。

問題1：如圖2，這個牛奶盒類似于長6 cm，寬 4 cm，高13 cm的長方體。要包裝這盒牛奶，至少需要多少包裝紙？就是求長方體的什么？由于把一個牛奶盒實物圖轉化為類似的長方體，并引導學生通過觀察平面圖與相對應的數據，他們立刻理解了求包裝1盒牛奶需要多少包裝紙，就是求長方體的表面積。學生及時計算出牛奶盒的表面積，既復習了舊知，又為后面的探究驗證埋下伏筆。

問題2：如圖3，一箱牛奶有12盒，只能這樣擺放嗎？為什么生產廠家要這樣擺放？有的學生說這樣擺放是因為最節省包裝紙，是這樣嗎？下面我們要做什么？（驗證）。12盒牛奶如何擺放才最節省包裝紙，請大家閉著眼睛在腦海里擺一擺，想一想，你有什么感覺？我們可以怎樣做？（從簡單出發，先研究2盒、3盒、4盒，看看能否從中找到最節省包裝紙的規律）。

問題3：說說4盒牛奶可以怎么包裝？你能根據剛才擺放的方法給這些包裝分分類嗎？為什么這樣分？

問題4：請大家猜一猜哪種擺放方法最節省包裝紙，我們應怎樣驗證自己的猜想？通過計算比較，你發現了什么？

問題5：遇到包裝問題時是否都要把所有包裝方法一一列舉出來，再進行計算比較，才能找到最佳包裝的方法？能不能探究出一種最節省包裝紙的方法？

以上問題均能借助可視化實物和草圖，充分調動學生學習的主動性和積極性，引發學生充分觀察、深度思考、暢所欲言，彰顯思維顯性化。教師要讓學生有足夠的時間和空間經歷觀察、猜測、驗證、計算、推理、建模等活動過程，使學生真正在問題引領中思考，在思考中感悟，在感悟中深入，以此提升思維層次。

二、具身體驗，思考由“零亂”到“有序”

在探究由4個相同長方體組合成新的長方體時，雖然大部分學生通過小組合作動手擺4盒牛奶，并根據擺的實物圖畫出相對應的草圖，一共得到6種包裝方案，但此時學生的思維還是零亂無序的，思考還是片面的。為了讓學生的思考從零亂到有序，思考由片面到全面，筆者展開了如下具身體驗教學環節。

先讓學生想一想4盒牛奶可以怎么擺。

合作要求：1人邊說邊擺，組員邊觀察邊在表格里動手畫圖（輪流拼擺），比一比哪一組擺的方法多。

小組匯報補充，說一說是怎么擺的，小組一邊展示所畫的草圖，一邊說擺的方法（如圖4）。

師：你能根據剛才匯報的擺法，給這6個圖形分分類嗎？說說為什么這樣分？

學生通過觀察交流發現：這6個圖形的體積相等，都是由4個相同長方體組成的，即4 = 4 × 1 × 1 = 1 × 4 × 1 = 1 × 1 × 4 = 2 × 2 × 1 = 2 ×1 × 2 = 1 × 2 × 2，學生根據不同的排列組合方法，把6種疊放方法分為以下兩類（如下頁圖5）。

師：你能依據剛才4盒牛奶疊放的分類方法，快速探究出6盒牛奶一共有多少種包裝方法嗎？12盒呢？（學生先獨立嘗試，再小組交流匯報）

教師在教學過程中，沒有讓學生僅僅停留在動手擺實物、畫草圖得出6種包裝方案這一層面上，而是讓學生繼續思考并闡述擺的方法和特點，清晰感受到6種擺法的真實畫面。接著，教師繼續引發學生思考，根據6種擺法給圖形分分類，再一次激起學生思維的火花。由于學生對疊放的方法理解到位了，加上6個圖形體積不變，通過觀察比較，發現長、寬、高4，1，1分為一類，1，2，2分一類，這樣對多種擺法就做到了不重復、不遺漏，有序思考就水到渠成了。在此基礎上，教師引導學生結合4盒牛奶擺的方法和分類策略，獨立解決6盒、12盒的擺法，培養學生學以致用、舉一反三的能力。這樣，學生在腦海中自然而然地建構起多個相同長方體組合成新的長方體疊放的方法。

三、數形結合，策略由“多樣”到優化

學生通過擺牛奶盒、畫草圖、標出新的長方體的長、寬、高等數形結合的策略，使得新的長方體示意圖鮮活地呈現在每個學生的面前。然后，教師引導學生充分觀察包裝示意圖，通過猜想、計算驗證、比較、發現，揭示最節省包裝紙包裝方法的本質特征，發展學生優化的思想。下面以探索4個長方體哪種疊放方法最節省包裝紙為例（如圖6）。

猜一猜哪種方案最節省包裝紙？大部分學生都猜第3種，因為它重合的面積最大，共重合了4個大面和4個中間，所以包裝的面積應該是最小。是不是這樣呢？教師要引導學生通過計算驗證、比較再下結論。學生以小組為單位開展合作探究學習，在小組匯報時，出現了3種驗證比較方法。第一種是：根據表面積計算公式計算出6種新的大長方體的表面積；第二種是：用總表面積-重合面積=新的表面積來計算出6個圖形的表面積； 第三種是：先用推理方法排除表面積比較大的①②④三種圖形，再計算驗證剩下的③⑤⑥三個圖形的表面積。

A組學生匯報：我們組根據長方體的表面積計算公式，每人分工算出一種新圖形的表面積，再把6種不同包裝的表面積進行比較，發現3號包裝的表面積最小，即（12 × 8 + 12 × 13 + 8 × 13） × 2 = 712 cm2。通過整體比較分析，我們還發現了其中的兩條規律：（1）長寬高越接近，表面積越小；（2）長寬高加起來的和越小，表面積越小。學生邊聽A組學生的匯報，邊觀察思考，發現他們的探究有理有據。

B組學生匯報：我們組根據4個小長方體總的表面積 - 重合面積 = 新長方體的表面積，每人分工算出一種包裝圖形的表面積，再進行比較，也發現3號表面積是最小的，它重合了前后面和左右面，即308 × 4 - （12 × 13 × 2 + 8 × 13 × 2） = 712 cm2，從中我們發現，重合面積越大，拼成的新長方體表面積越小，越節省包裝紙。學生對B組方法和發現充分肯定。

C組學生匯報：我們組先根據每個小長方體的大面、中面、小面去觀察6種圖形，因為重合面越小，表面積越大。1號重合面是6個中面，2號重合面是4個小面和4個中面，4號重合面是6個小面，這3個圖形包裝面積一定大的，所以直接排除。另外3個圖形重合面比較接近，所以通過計算3個圖形表面積后再比較，也發現3號表面積是最小的。我們也發現“重合面積越大，表面積越小，最節省包裝紙。”學生聽完C組學生的比較方法后，一致認可，并響起了掌聲。

教師總結：剛才同學們呈現的3種策略證實了我們的猜想。通過觀察比較，大家都喜歡第3種策略，理由是C組的驗證方法是通過觀察圖形的特點，根據重合大面、中面、小面的情況，快速把表面積大的包裝圖形通過推理的方法排除。然后，把表面積相近的3種包裝圖形進行計算比較并發現結果。這種解題策略直觀、簡潔、高效，從中學生可以深刻理解“重合面積越大，拼成的新長方體表面積越小，越節省包裝紙”這一規律。

教師讓學生猜測哪種方案最節省包裝紙，激起了學生探究驗證的熱情，通過可視化的圖形，引領學生觀察、思考、計算、發現、匯報，為不同層次學生搭建解決問題的舞臺；引導學生比較三種解題策略的優劣，闡述自己的見解，分享別人的智慧，使他們在解釋中理解最節省包裝紙的本質屬性，提高了分析思考能力，發展優化思想。

四、類比推理，建模由“個例”到“一般”

在探究最節省包裝紙的活動中，每一環節學生的思考都離不開幾何直觀的支撐，教師通過引領拼擺2盒、4盒牛奶方法，且畫出每一種包裝方案示意圖，使學生經歷猜想、計算、驗證，發現了“重合面積越大，拼成的新長方體表面積越小，越節省包裝紙”這一規律。那是不是以后遇到包裝問題都要把所有包裝方法一一畫出來，再觀察比較計算，才能得出最節省包裝紙的面積呢？能否根據1盒牛奶，比較2盒、4盒牛奶最節省包裝紙的示意圖，直接探究推理找出最節省包裝紙的方法呢？這樣的問題打開了學生的思維，學生紛紛通過觀察示意圖發表自己的見解。

大部分學生討論交流后認為，不需要把所有的包裝方法都擺或畫出來，可以根據前面發現的規律，每次包裝時，只要想辦法把最大面重合，這樣包裝面積就最小了。例如，1盒牛奶，前面最大，包2盒時就把1盒前面重合蓋住，這樣2盒最節省包裝紙方案就出來了。教師出示思考題，讓學生把4盒牛奶最節省包裝紙圖在草稿本上畫一畫，比一比誰能最快推導出來。

學生快速推理出4盒最節省包裝紙示意圖（如圖6），而且剛剛探究過4盒牛奶最節省包裝紙是712 cm2，所以，這個每次“找新大面，蓋新大面”直接逼近最節省包裝紙的方法讓全班學生心服口服，欣然接受。教師再次引導學生根據示意圖推理：如果繼續往下推，能推出6盒、9盒、12盒的最節省包裝紙方案嗎？大家在草稿本上接著找一找、蓋一蓋、推一推、看誰第一個推出來？

在4盒的基礎上，學生運用“每次找新大面，蓋新大面”的方法解決問題。一些空間觀念強的學生，把6盒、9盒、12盒牛奶最節省包裝紙示意圖都畫出來了（如圖7）。

教師提問：“如果給你充足的時間，你還能繼續往下推嗎？推得完嗎？從剛才推理當中你發現了什么規律？”學生發現：找最節省包裝紙方案，要畫示意圖，從1盒開始，每次“找新大面，蓋新大面”，所形成新的長方體表面積最小，最節省包裝紙。

總之，在“圖形與幾何”問題解決教學過程中，教師要充分運用幾何直觀，巧用問題引領，激活學生思維，使其感受數學的趣味性和挑戰性，積累活動經驗，經歷解決問題模型的構建過程。類比推理的培養要由例及法，由例及類，教師應讓學生舉一反三，觸類旁通，加深對數學本質的理解，發展高階思維能力。

參考文獻：

［1］ 鄭毓信.以“深度教學”落實數學核心素養［J］.小學數學教師，2017（9）.

［2］ 趙銷燕.關注模型建構 凸顯深度學習［J］.教學月刊，2022（1-2）.

（責任編輯：楊強）

作者簡介：孫衣云，浙江省常山縣教育局教研室高級教師。江紅梅，浙江省常山縣天馬鎮第一小學高級教師。