依托數(shù)學(xué)建模促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

摘要：數(shù)學(xué)建模是提升學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑。學(xué)生只有在親身參與的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，才能逐漸形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課堂上，教師要引導(dǎo)學(xué)生參與到數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中，通過合作、交流、動(dòng)手操作等方式，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，促使數(shù)學(xué)思維由形象向抽象發(fā)展，提升抽象、概括、推理、創(chuàng)新、模型等能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；創(chuàng)新能力；數(shù)學(xué)思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力提出了明確的要求。一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過程主要包括：觀察實(shí)際情境—通過數(shù)學(xué)的視角從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題—提出數(shù)學(xué)問題—分析問題并建立模型—確立參數(shù)—計(jì)算解答得到數(shù)學(xué)結(jié)果—驗(yàn)證結(jié)果。如果驗(yàn)證結(jié)果與實(shí)際情況相符，則表明該模型建立成功，就可用此數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題；如果驗(yàn)證結(jié)果與實(shí)際情況不符，就重新提出假設(shè)，修改模型，重新建立與實(shí)際問題相符的數(shù)學(xué)模型，再驗(yàn)證……如此循環(huán)，直到建立出與實(shí)際情況相符的數(shù)學(xué)模型，最終用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。這一過程比較充分地反映了數(shù)學(xué)課程要著力培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。下面，筆者以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)第四單元“平行四邊形的面積”一課為例，探索以模型思想為依托，通過數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的策略。

一、研讀新課標(biāo)和教材，梳理數(shù)學(xué)模型

教師要研讀新課標(biāo)，吃透教材，把握教學(xué)要求，明確教材中的哪些教學(xué)內(nèi)容是“模”，梳理數(shù)學(xué)模型。通過教材分析筆者發(fā)現(xiàn)，本單元主要學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算，其中，平行四邊形面積是研究其他圖形面積的基礎(chǔ)。通過平行四邊形面積這一課的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)積累一定的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及轉(zhuǎn)化思想，為后續(xù)三角形面積、梯形面積的學(xué)習(xí)提供思維方法和經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。為此，在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)整體把握這一單元的核心素養(yǎng)目標(biāo)，以此確立本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)環(huán)節(jié)和教學(xué)方法。

筆者確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：1.經(jīng)歷平行四邊形面積猜想與驗(yàn)證的探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)方格及割補(bǔ)法在探究中的應(yīng)用，獲得成功探索問題的體驗(yàn)，滲透轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、模型意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的分析、抽象、概括和解決實(shí)際問題的能力。2.掌握平行四邊形面積計(jì)算公式，并能正確計(jì)算平行四邊形的面積。3.能運(yùn)用平行四邊形面積計(jì)算公式解決相關(guān)的實(shí)際問題，培養(yǎng)模型化思想。

通過對(duì)教學(xué)目標(biāo)的分析筆者發(fā)現(xiàn)，這節(jié)課學(xué)生要掌握的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的面積計(jì)算公式，為此，平行四邊形的面積計(jì)算公式就是這節(jié)課要掌握的數(shù)學(xué)模型，而要開展的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式的活動(dòng)。

二、創(chuàng)新教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，發(fā)展建模能力

（一）創(chuàng)設(shè)建模情境

教師要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境。新課標(biāo)指出，“真實(shí)情境創(chuàng)設(shè)可以從社會(huì)生活、科學(xué)和學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等方面入手，應(yīng)選擇貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知加工特點(diǎn)的素材。”教師提出的問題應(yīng)能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生的積極思考與自主探索。

所有問題的提出都應(yīng)圍繞著本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，指向培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。在“平行四邊形的面積”一課教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)的情境是：公園里有一個(gè)平行四邊形花壇，標(biāo)注鄰邊分別是6米、5米，6米邊對(duì)應(yīng)高是3米。問題是：如何求這個(gè)花壇的面積？

這是一個(gè)緊扣教學(xué)目標(biāo)、符合學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的真實(shí)情境。這個(gè)情境需要教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，將這個(gè)實(shí)際問題用數(shù)學(xué)的思維抽象成數(shù)學(xué)問題，明白要解決的問題實(shí)質(zhì)就是計(jì)算平行四邊形的面積，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來。教師將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)抽象概括能力、增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)與模型意識(shí)。

（二）注重思維引導(dǎo)

在學(xué)生進(jìn)行自主探索、創(chuàng)建模型的過程中，要經(jīng)歷猜想建模、探索驗(yàn)證，若成立，可直接使用模型；若不成立，則需要再次經(jīng)歷猜想建模、探索驗(yàn)證……直至成立運(yùn)用的過程。例如，“平行四邊形的面積”一課的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生就經(jīng)歷了兩次猜想建模、探索驗(yàn)證的過程。

【活動(dòng)一】借助方格紙數(shù)一數(shù)

第一次猜想建模（平行四邊形的面積等于鄰邊相乘）的過程如下。

1.猜想建模

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶：我們之前已學(xué)過求什么圖形的面積？（長方形、正方形面積）我們還可以用哪些方法求這些圖形的面積？（數(shù)方格、公式計(jì)算）

學(xué)生在探討過程中，借助長方形的面積計(jì)算方法，猜想平行四邊形的面積可能是鄰邊相乘來計(jì)算。

2.探索驗(yàn)證

教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)方格的方法進(jìn)行驗(yàn)證。

師：在學(xué)習(xí)推導(dǎo)長方形的面積計(jì)算公式時(shí)，我們最初使用了什么方法？（數(shù)方格）（課件出示，在方格紙上一個(gè)長6寬5的長方形，計(jì)算面積是5 × 6 = 30）今天學(xué)習(xí)計(jì)算平行四邊形的面積，能不能也用這個(gè)方法？

師：同學(xué)們?cè)谟脭?shù)方格的方法計(jì)算平行四邊形的面積時(shí)，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：鄰邊分別是6和5的平行四邊形所占的方格數(shù)小于30，說明平行四邊形的面積用鄰邊相乘來計(jì)算是不正確的。

【活動(dòng)二】平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形進(jìn)行公式推導(dǎo)

第二次猜想建模（平行四邊形的面積等于底乘高）的過程如下。

1.猜想建模

生：平行四邊形所占的方格數(shù)是18。

師：你是怎樣數(shù)的？

生：一個(gè)格一個(gè)格地?cái)?shù)。

生：我是利用割補(bǔ)的方法數(shù)的。

師：如果要求很大很大的一塊草地的面積，用數(shù)方格的方法方便嗎？（不方便）我們要是知道平行四邊形面積計(jì)算方法就好了。請(qǐng)繼續(xù)猜想一下，平行四邊形的面積可能與它的什么有關(guān)？

生：平行四邊形所占的方格數(shù)是18，平行四邊形的底是6，高是3，6 × 3 = 18，所以我猜想平行四邊形的面積等于底乘高。

2.探索驗(yàn)證

教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，通過剪拼將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。

教師提示：想一想，我們已經(jīng)學(xué)過什么面積計(jì)算公式？（長方形）利用割補(bǔ)的方式把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，怎樣轉(zhuǎn)化呢？請(qǐng)大家拿出手里的學(xué)具試試看。

學(xué)生動(dòng)手剪拼，并向組內(nèi)同學(xué)說一說自己是怎樣轉(zhuǎn)化的。

學(xué)生匯報(bào)平行四邊形是怎樣剪的，是怎樣拼成長方形的。

生：（邊演示邊講解）“平行四邊形沿高剪開……”

師：請(qǐng)結(jié)合剛才的動(dòng)手操作過程，動(dòng)動(dòng)腦筋想一想下面這些問題。（平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，什么變了，什么沒變？長方形的長和寬分別與平行四邊形的底和高有什么關(guān)系？試著總結(jié)出求平行四邊形面積的方法。）

學(xué)生利用學(xué)具展示剪拼過程，同時(shí)回答上面的問題。

教師板書：

長方形面積 = 長 × 寬 。

平行四邊形面積 = 底 × 高。

學(xué)生建立平行四邊形面積公式的模型，學(xué)習(xí)用字母表示公式：s表示面積，a表示底，h表示高，那么，面積公式就是s = ah。

三、設(shè)計(jì)運(yùn)用模型環(huán)節(jié)，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

運(yùn)用模型及模型變式應(yīng)用這二者都是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，但解決實(shí)際問題的難易程度不同。教師設(shè)計(jì)運(yùn)用模型環(huán)節(jié)可加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，使其體會(huì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的意義，降低解決實(shí)際問題的難度。在模型變式應(yīng)用環(huán)節(jié)中，通過習(xí)題的解答不僅能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的意義，還能通過模型變式應(yīng)用，檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力水平。

為此，在運(yùn)用模型部分，筆者設(shè)計(jì)的練習(xí)題就是套公式解決實(shí)際問題：“有一塊菜地近似平行四邊形，底是23米，高是12米。這塊菜地的面積約是多少平方米？”

在模型變式應(yīng)用部分，筆者設(shè)計(jì)的練習(xí)題就是對(duì)公式的變形延伸，要求學(xué)生解決實(shí)際問題。

1.一個(gè)平行四邊形廣告牌的面積是9平方米，底邊長是0.6米，這條底邊對(duì)應(yīng)的高是多少米？

2.一塊平行四邊形麥田（如圖1），中間有一條平行四邊形小路。這塊麥田的面積是多少平方米？

在課堂小結(jié)反思回顧環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧、反思模型的建立過程，通過對(duì)平行四邊形面積計(jì)算公式的探索，使學(xué)生領(lǐng)悟到“真實(shí)問題—數(shù)學(xué)問題—猜測(cè)建模—探索驗(yàn)證—總結(jié)歸納—模型應(yīng)用”的模型化思想，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，獲得基本的數(shù)學(xué)建模方法，提高數(shù)學(xué)建模能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，體驗(yàn)成功，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教師要精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，親自參與建模過程；要給予學(xué)生足夠的時(shí)間保障，特別是自主探索、創(chuàng)建模型過程中的猜想建模、探索驗(yàn)證環(huán)節(jié)，教師不能代替學(xué)生猜想、驗(yàn)證，要給予學(xué)生充分的自主探索、合作交流的機(jī)會(huì)。只有這樣，數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)才能不流于形式，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

［1］付麗.走好小學(xué)數(shù)學(xué)建模第一步，發(fā)展學(xué)生模型意識(shí)：“促使學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、提出和明確研究問題”的策略提煉［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2024（3）.

［2］王玉東.整體思維：小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的應(yīng)然之道［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（17）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）

作者簡介：刁紅，大連市旅順口區(qū)鐵山中心小學(xué)高級(jí)教師。