用軸對稱解幾何問題

初學第一章《三角形的證明》，同學們可能會感覺等腰三角形、直角三角形、線段垂直平分線、角平分線這些圖形以前都學過，為何還要再學一遍？其實，學習數學重在找出本質，通過研究通性通法來解決實際問題. 細心的同學會發現這一章中的圖形都是（或可以轉化為）軸對稱圖形. 當同學們對圖形有軸對稱的要求時，只要靈活分析邊角關系，還原缺失圖形，無論面對基礎題還是壓軸題，都能迎刃而解.

一、靈活分析多種邊角關系

例1 （2023·遼寧·營口）如圖1，在[△ABC]中，以A為圓心、[AC]長為半徑作弧，交[BC]于C，D兩點，分別以點C和點D為圓心、大于[12CD]長為半徑作弧，兩弧交于點P，作直線[AP]，交[CD]于點E，若[AC=5]，[CD=6]，則[AE=] .

解析：利用軸對稱性質得出[AP]垂直平分[CD]，[AD=AC=5]，運用勾股定理可得[AE=AD2-DE2=4]. 故應填4.

例2 （2023·遼寧·錦州）如圖2，在[△ABC]中，[BC]的垂直平分線交[BC]于點D，交[AB]于點E，連接[CE]. 若[CE=CA]，[∠ACE=40°]，則[∠B]的度數為 .

解析：在[△ACE]中，利用軸對稱性質、等邊對等角可得[∠A=∠AEC=180°-∠ACE2=70°]，根據垂直平分線的性質可得[BE=CE]，則[∠B=∠BCE]，易得[∠B=35°]." 故應填35°.

二、還原缺失圖形，正確作出輔助線

例3 （2023·遼寧·錦州）如圖3，在[Rt△ABC]中，[∠ACB=90°]，[∠ABC=30°]，[AC=4]，按下列步驟作圖：①在[AC]和[AB]上分別截取[AD]，[AE]，使[AD=AE]；②分別以點D和點E為圓心、大于[12DE]的長為半徑作弧，兩弧在[∠BAC]內交于點M；③作射線[AM]交[BC]于點F. 若點P是線段[AF]上的一個動點，連接[CP]，則[CP+12AP]的最小值是 .

解析：過點P作[PQ⊥AB]于點Q，過點C作[CH⊥AB]于點H，如圖4，利用角平分線和三角形的內角和定理求出[∠BAF=12∠BAC=30°]，然后利用含[30°]角的直角三角形的性質得出[PQ=12AP]，則[CP+12AP=CP+PQ≥CH].

當C，P，Q三點共線，且與[AB]垂直時，[CP+12AP]最小，最小值為[CH].

利用含[30°]角的直角三角形的性質和勾股定理可得[AB=2AC=8]，[BC=43].

利用等面積法可得[S△ABC=12AC?BC=12AB?CH]，則[CH=AC?BCAB=4×438=23]，則[CP+12AP]的最小值為[23].

反思：含30°角的直角三角形是軸對稱圖形等邊三角形的一半. 求點線距離的“將軍飲馬”模型是軸對稱，本題也是一道變式點線距離的問題.

例4 （2023·遼寧·沈陽）如圖5，在[Rt△ABC]中，[∠ACB=90°]，[AC=BC=3].若點[D]在直線[AC]上，[AD=1]，過點[D]作DE[?]AB，交直線[BC]于點[E]，連接[BD]，點[O]是線段[BD]的中點，連接[OE]，則[OE]的長為 .

解析：分別對點[D]在線段[AC]上和點[D]在[線段AC]的延長線上兩種情況討論.

[①]當點[D]在線段[AC]上時，連接[OC]，過點[O]作[ON⊥BC]于[N]，如圖6.

[∵AD=1]，[∴CD=AC-AD=2].

[∵∠BCD=90°]，

[∴BD=CD2+BC2=22+32=13].

[∵]點[O]是線段[BD]的中點，

[∴OC=OB=OD=12BD=132].

[∵ON⊥BC]，[∴CN=BN=12BC=32].

[∵]AB[?]DE，[∴∠CDE=∠A=∠CBA=∠CED=45°]，

[∴CE=CD=2]，[∴NE=2-32=12].

[∵ON=CO2-CN2=1]，[∴OE=ON2+NE2=12+122=52].

[②]當[D]在線段[CA]延長線上時，作ON⊥BC于N，連接OC，則[CD=AD+AC=4]，" ∴BD = [CD2+BC2=5.]

[∵O]是線段[BD]的中點，[∠BCD=90°]，[∴OC=OB=OD=12BD=52].

[∵ON⊥BC]，[∴CN=BN=12BC=32].

[∴ON=OC2-CN2=2].

[∵]AB[?]DE，[∴∠CAB=∠CDE=∠CBA=∠CED=45°]，

[∴CE=CD=4]，[∴EN=CE-CN=4-32=52]，

[∴OE=EN2+ON2=22+522=412]，

[∴OE]的長為[52]或[412].

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：5分鐘

1. （2023·遼寧·阜新）如圖8，在矩形[ABCD]中，AB = 6，AD = 8. 連接AC，在[AC]和[AD]上分別截取AE，AF，使[AE=AF]. 分別以點E和點F為圓心、大于[12EF]的長為半徑作弧，兩弧交于點G. 作射線[AG]交[CD]于點H，則線段[DH]的長是 . （答案見第35頁）

2. （2024·遼寧·樣卷·第23題節選）在數學活動課上，李老師給出如下問題：如圖9，在[△ACD]中，[∠D=2∠C，AB⊥CD]，垂足為B，且[BCgt;AB]. 求證：[BC=AD+BD].

（1）如圖10，小鵬同學從結論的角度出發給出如下解題思路：在[BC]上截取[BE=BD]，連接[AE]，將線段[BC]與[AD]，[BD]之間的數量關系轉化為[AD]與[CE]之間的數量關系.

（2）如圖11，小亮同學從[∠D=2∠C]這個條件出發給出另一種解題思路：作[AC]的垂直平分線，分別與[AC]，[CD]交于F，E兩點，連接[AE]，將[∠D=2∠C]轉化為[∠D]與[∠BEA]之間的數量關系.

請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程. （答案見第35頁）

（作者單位：沈陽市第一四五中學）