勾股定理與線段的計算

一、在幾何圖形中，勾股定理應用于線段的計算

例1 閱讀理解：如圖1，在矩形ABCD中，若AB = DC = a，BC = AD = b，由勾股定理得AC2 = a2 + b2，同理BD2 = a2 + b2，故AC2 + BD2 = 2（a2 + b2）.

探究發現：如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB = DC = a，BC = AD = b，則上述結論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由.

拓展提升：如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB = a，BC = b，AC = c. 求證：BO2 = [a2+b22-c24].

思路點撥：在閱讀理解中，如圖1，易證AC = BD，由勾股定理易得結論AC2 + BD2 = 2（a2 + b2）.

在探究發現中，作AE⊥BC，垂足為E，作DF⊥BC，垂足為F，如圖4，易證△ABE≌△DCF，即可判斷出AE = DF，BE = CF. 根據勾股定理可得AC2 = AE2 + （BC - BE）2，BD2 = DF2 + （BC + BE）2，AB2 = AE2 + BE2. 根據AB = DC，AD = BC，可證得AC2 + BD2 = 2（a2 + b2）. 故閱讀理解中的結論依然成立.

在拓展提升中，可結合圖2作輔助線，延長BO到D，使OD = BO，連接AD，CD，如圖5，根據探究發現的結論，可得BD2 + AC2 = 2AB2 + 2BC2，即4BO2 + c2 = 2a2 + 2b2，可得結論BO2 = [a2+b22-c24].

二、在平面直角坐標系中，勾股定理應用于線段的計算

例2 如圖6，在平面直角坐標系中，A（0，3），C（1，0），連接AC，以AC為邊在右側作等腰直角三角形ABC，∠ACB = 90°，AC = BC. （1）求點B的坐標；（2）在y軸上是否存在一點P，使△ABP是等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在請說明理由.

思路點撥：（1）求點B的坐標，即求點B到y軸和x軸的距離，如圖7，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，由等腰直角三角形ABC易證△OAC≌△DCB，可得OC = DB = 1，AO = CD = 3，則OD = OC + CD = 4，于是點B的坐標為（4，1）.

（2）等腰三角形的存在性問題中常常呈現出分類討論思想. △ABP是等腰三角形，有AB = AP、BA = BP、PA = PB三種情況，因此設點P的坐標后利用“腰相等”可列方程求解.

根據勾股定理可得AB = [AC2+BC2=（10）2+（10）2=25]." 設P（0，x），

①如圖8，當BA = BP時，[25=42+（1-x）2]，∴（1 - x）2 = 4，

解得[x1=-1，x2=3]（舍），則[P1]（0，-1）.

②如圖9，當AB = AP時，[25=x-3]，

解得[x1=3+25]，[x2=3-25]，則[P2（0，3+25）]，[P3（0，3-25）].

③如圖10，當PA = PB時，[3-x=42+（1-x）2]，解得x = -2，則[P4]（0，-2）.

因此，符合條件的點P有4種情況，分別是[P1]（0，-1），[P2（0，3+25）]，[P3（0，3-25）]，[P4]（0，-2）.

規律：①滿足BA = BP，就是P到B的距離等于BA的長度，以B為圓心、BA長為半徑作弧，如圖8，與y軸的交點就是所要確定的點P；②滿足AB = AP，就是P到A的距離等于AB的長度，以A為圓心、AB長為半徑作弧，如圖9，與y軸的交點就是所要確定的點P；③滿足PA = PB，可作AB的垂直平分線，如圖10，與y軸的交點就是所要確定的點P.

三、勾股定理與方程結合進行線段的計算

例3 （1）如圖11，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 8，將△BDC沿對角線BD翻折得到△BDE，點C的對應點為點E，BE與AD交于點M，則有AB = CD = ，∠A = ∠C = ∠ = 90°，且∠AMB = ∠EMD，易得△ABM≌△ .

（2）在（1）的條件下，若要求線段AM的長度，令AM = x，則BM = （用x表示），在Rt△ABM中利用勾股定理列出方程 （不用化簡）.

（3）如圖12，對矩形ABCD進行如下操作：①分別以點B，C為圓心、大于[12BC]的長度為半徑作弧，兩弧相交于點E，F，作直線EF交BC于點O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點B的對應點落在點P處，作射線AP交CD于點Q. 若AD = 5，AB = 3，求線段CQ的長.

思路點撥：（1）由題意易得AB = CD，∠A = ∠C = 90°，由折疊的性質得出CD = DE = AB，∠C = ∠E = ∠A，可證△ABM≌△EDM（AAS）." 故應填：4，E，EDM.

（2）由勾股定理可得答案，應填8 - x，42 + x2 = （8 - x）2.

（3）連接OQ，由翻折的不變性可知AP = AB = 3，OP = OB = 2.5，易證Rt△QPO≌Rt△QCO（HL），則PQ = CQ. 設PQ = CQ = m，在Rt△ADQ中，利用勾股定理可得 AQ2 = AD2 + DQ2，則（3 + m）2 = 52 + （3 - m）2 ，可得m = [2512]，即CQ的值為[2512].

分層作業

難度系數：★★★★ 解題時間：10分鐘

1. 如圖14是中國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖的示意圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成，恰好拼成一個大正方形ABCD. 連接EG，并延長交AB于點M. 若AB = 5，EF = 1，則GM的長為 .

2. 在直角三角形中有一個非常著名的定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即勾股定理. 如圖15，在△ABC中，∠CAB = 45°，AC = 5，AB = 4，過點C作CD⊥CB，點D在點C右側，且CD = CB，連接AD，求AD2的值.

（答案見第35頁）

（作者單位：大連市第七十一中學）