巧用乘法公式 妙算二次根式

在進行二次根式的計算與化簡時，靈活應用乘法公式，可以巧妙地解決問題. 現舉例說明.

一、改變運算順序用公式

例1 已知k = [2]（[5] + [3]）（[5] - [3]），則與k最接近的整數為（ ）.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解析：按運算順序，同級運算從左到右，但這道題如此求解較為復雜. 第二、三兩個因式滿足平方差公式，且結果為2，再估算與2[2]最接近的整數即可.

∵k = [2]（[5] + [3]）（[5] - [3]） = [2] × 2 = 2[2]，而1.4 lt; [2] lt; 1.5，

∴2.8 lt; 2[2] lt; 3，∴與k最接近的整數為3. 故選B.

規律總結：進行二次根式運算，在滿足算理的前提下，適當改變運算順序，可達到事半功倍的效果.

二、化簡后用公式

例2 計算：（[27] + [18]）（[3]" - [2]）.

解析：將[27]和[18]化簡后發現有公因式3，提取后剩下的因式與（[3]" - [2]）滿足平方差公式，即可進行簡算.

原式 = 3（[3] + [2]）（[3] - [2]） = 3 × （3 - 2） = 3.

規律總結：將二次根式化簡后，可根據數值特點確定運用何種乘法公式.

三、逆向思考用乘法公式

例3 計算：[-2] + [2-122] -" [2+122].

解析：本題可運用完全平方公式展開后計算，但后面的兩個部分正好組成平方差公式，若將這兩個部分用平方差公式逆向變形，可使解題過程簡捷.

原式 = [2] + [2-12+2+12] [2-12-2-12] = [2] + 2[2] × （-1） = -[2].

規律總結：進行二次根式運算時，關注整式乘法與因式分解這兩種互逆變形的關系，巧用乘法公式進行因式分解，能夠出奇制勝.

四、分組后用乘法公式

例4 計算：（[3] + [2] - 1）（[3] - [2] + 1）.

解析：把兩個符號相反的項結合在一起，看成整體，可構成平方差公式的模型，再根據平方差公式進行計算，然后運用完全平方公式求解.

原式 = [3+（2-1）] [3-（2-1）] = （[3]）2 - （[2] - 1）2

= 3 - （2 - 2[2] + 1） = 2[2].

規律總結：進行二次根式運算時，適當分組可為運用乘法公式創造條件.

五、添項、拆項后用乘法公式

例5 化簡：（1）[2102+5+7]；（2）[5+23-1（5+3）（3-1）].

解析：（1）在分子添上“[2+5-7]”，再運用公式法因式分解.

原式[=2+210+5-72+5+7] = [2+52-722+5+7]

= [2+5+72+5-72+5+7][ =2+5-7].

（2）觀察原式中數值結構特點，可發現[5+23-1=（5+3）+（3-1）].

原式[=5+3+3-15+33-1][ =13-1+15+3]

[=3+12+5-32][ =5+12].

規律總結：通過添項、拆項這種“無中生有”的變形，可以提供使用乘法公式的條件，進而創造性地解決問題.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：10分鐘

1. 化簡：（5 - [2]）（5[2] + 2）. （答案見第35頁）

2. 化簡： [3-1（3-2）（2-1）]." （答案見第35頁）

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級中學）