積累活動經驗 培養核心素養

網格作圖是指借助網格中蘊含的數量關系（相等、倍分）與位置關系（平行、垂直），作出符合特定數量關系和位置關系的圖形。網格是義務教育階段研究“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”的重要工具，網格作圖對學生的二維空間觀念、模型建構能力和幾何直觀要求比較高，能很好地落實《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）對學生核心素養的培養要求。下面，筆者以2023年江蘇省南京市鼓樓區九（上）期末試卷第23題的教學為例，談一談如何通過對網格作圖題多樣性解法的探究，著眼基礎，積累活動經驗，形成知識、方法、經驗的生長鏈，培養核心素養。

一、試題呈現

如圖1，在5×6的網格上，線段AB端點都是格點，畫出它的一個三等分點M。要求：1. 用兩種不同方法作圖；2. 畫圖工具僅限無刻度直尺。

二、教學分析

1. 尋找思路，轉化問題

本題中，三等分點M并不是圖中的格點，因此需要結合其他知識點尋找點M。學生根據所學知識，可由比例1[∶]3 ，想到“平行線分線段成比例”這一基本事實及其推論。角平分線定理和三角形的重心也涉及三等分點這一特殊數量關系，但由于角平分線定理在初中階段不常見，這里不再對其展開敘述。

2. 明確方向，構圖突破

問題1 能否通過“X型相似”，構造圖形，尋找點M呢？

如果可以通過構造“X型相似”的基本圖形來解決，就需要作除已知線段AB外的一條線段CD，使兩條線段相交，并滿足AC∥BD且[ACBD]=[12]。如何確定C、D兩點呢？此時，可以引導學生利用網格，取格點C、D，如圖2，連接AC、BD，則BD∥AC，連接CD，交AB于點M，則點M即為所求。

在這一解題思路中，C、D是兩個不確定的點，可以看作兩個變化的量，因此，可以引導學生考慮控制變量，即先確定一個點C的位置，從而可根據“平行且滿足比例為1[∶]2的關系”確定點D的位置。理論上點C的位置有無數個，從而線段AC有無數種可能，由此也可得多種解法。

問題2 能通過構造“A型相似”來解決嗎？

與“X型相似”類似，若要構造“A型相似”，則需要構造△ABC，再過AC邊的三等分點作BC的平行線，該線與AB交于點M，則點M即為所求，如圖3。解題的關鍵在于如何找AC的三等分點。還是引導學生考慮從特殊情況入手，如圖3，取AC=3，則格點D恰為AC的一個三等分點，連接BC，過點D作DM[∥]BC，交AB于點M，點M即為所求。在此基礎上，改變點C的位置，如圖4，從而將點D一般化。例如選擇點C1，如圖5，連接AC1、BC1，在△ACC1中，可得D1為AC1的三等分點，再作D1M∥BC1，交AB于點M，則點M即為所求。同理，可以選擇點C2、C3……

問題3 由三等分點可以想到重心的性質，你能借助重心的性質解決嗎？

如圖6，以點A為中點作線段CD，連接BD、BC，作BD的中線交AB于點M，則點M即為所求。由于三角形的重心分中線為1[∶]2兩個部分，所以可以引導學生考慮將線段AB和點M分別看作某個三角形的中線和重心，由此考慮以點A為中點作一條線段，構造一個三角形，再找一條線段的中點，連接對應頂點后，與已知直線的交點即為三等分點。在此過程中，可以引導學生利用△DEB構造中位線（如圖6），也可以借助網格，構造以BD為對角線的矩形DPBQ，找BD的中點（如圖7）。

在網格中作出線段的n（n≥3）等分點或將已知線段分成m[∶]n（m、n為正整數）的兩部分，皆可以運用相似的方法，利用“平行+線段”成比例，借助網格的特殊性構造“X型相似”或“A型相似”來完成。如果尺規作圖要求作n等分點或分線段成比例，思路也大致相同，用圓規作等長線段和等角，構造出平行后，也就有了相似。

三、教學反思

1. 研讀課標，解析核心素養的主旨性

新課標將數學核心素養表述為“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”。本題教學過程更多體現了推理能力、模型觀念和幾何直觀的培養。幾何能力核心素養體現在“根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質”。學生通過“X型相似”或“A型相似”模型，將抽象的數學問題直觀化、具體化，同時在作圖過程中，通過計算，分析數量關系及位置關系。教師在平時教學時要著力幫助學生有效積累活動經驗，通過新授課、試題講評課、復習課、綜合與實踐的教學，引導學生經歷觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等數學學習過程，形成分析與解決問題的一般路徑：特殊化→一般化→逆向思考→延伸發散，再通過轉化、類比等數學思想，獲得解決問題的一般策略和經驗。

2. 立足教材，體現教學評一致性

新課標對數學教材素材選取的要求如下：為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源。關于平行線分線段成比例的教學，教師一般可以設置如下操作活動：（1）在練習本上，先畫3條互相平行的直線l1、l2、l3，再任意畫2條直線a、b，使a、b與l1、l2、l3分別相交于A、B、C和D、E、F。（2）度量所畫圖中AB、BC、DE、EF的長度，計算對應線段的比值。（3）你有什么發現？請與同學交流。（4）在練習本上，畫4條、5條……互相平行的直線，重復上面的過程，你發現的結論還成立嗎？該活動設置的意圖，一方面是創設有效情境，讓學生用數學的眼光去觀察，將生活事物數學化；另一方面是從特殊到一般，引導學生用數學的思維去思考，形成探究數學問題的數學思維。新課標指出，堅持素養立意，凸顯育人導向。以核心素養為導向的命題，要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養。開展有效體現教學評一致性的教學活動，需要教師立足教材，設計活動，將數學本質、通性通法貫穿整個教學過程：展現“知識背景→知識形成→揭示聯系”過程；運用數學知識解決問題，適當體現“問題情境→建立模型→求解驗證”過程，幫助學生有效理解知識與方法，積累活動經驗，提高“四能”。本節課的題干中，命題者從三個角度對學生的學習過程進行考查和評價：一是考查學生對教材中定理的掌握程度和逆向使用的能力，即由“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”抽象出“A型相似”和“X型相似”；二是考查學生在課堂的學習過程是否真正經歷“知識背景→知識形成→揭示聯系”的過程；三是考查學生在課堂學習的過程中是否有效理解了知識與方法，是否積累了活動經驗，這也促進教師主動改變教學策略，主動開展素養導向的教學，真正體現“以學生為主體，讓學習真實地在課堂發生”。

（作者單位：江蘇省南京求真中學）