提煉基本圖形 深化知識運用

學習平面幾何要養成總結提煉基本圖形的意識，形成一些基本圖形“范式”，掌握基本圖形的研究方法，為復雜圖形的研究奠定扎實的基礎。注重對基本圖形進行提煉總結、概括積累，無論是對概念的深度理解，還是對提高問題解決能力，發展數學核心素養都具有積極的意義。

平面幾何基本圖形的歸納概括可以依據不同的內容主題進行，也可以依據數學思想方法進行，基本圖形的歸納梳理可以分為以下幾個步驟：1.了解基本條件；2.理解基本原理；3.掌握基本結論；4.探索模型變化；5.運用模型解題。

一、關注趨勢，合理總結

圖形與幾何領域應該總結哪些基本圖形？筆者認為應依據兩個準則：一是初中階段甚至今后數學學習中出現頻次較多、應用較為廣泛的基本圖形；二是基本圖形復雜程度適中，簡單的圖形無須再重復總結，過于復雜的圖形識別較困難，也無須概括為基本圖形。教師和學生都可以根據自己的經驗進行歸納總結，完善自己的“圖庫”。概括和積累的過程應該參考兩項重要的材料：教材及中考真題。筆者總結的基本圖形如下。

1.基本圖形一：角平分線+平行線→等腰三角形（如圖1）

模型變化：①角平分線+等腰三角形→平行線；②等腰三角形+平行線→角平分線。

2.基本圖形二：“鉛筆型”（如圖2）

模型變化：當P點位置發生變化時可變式為以下模型（如圖3、圖4）。

3.基本圖形三：兩直線平行，同位角的角平分線平行（如圖5）

模型變化：兩直線平行，內錯角的角平分線平行（如圖6）；兩直線平行，同旁內角的角平分線互相垂直（如圖7）。

筆者以“平行+平分→等腰”這一基本圖形為例，對蘇科版七、八年級的教材做了簡單的梳理：

在近幾年的中考試卷中，具有開放性、探究性和創新性的平面幾何綜合性試題越來越多，其中的大部分試題都以教材中的一些基本圖形為載體，通過變式與拓展改編而來，而研讀教材有助于我們合理總結。

二、適度重復，把握變式

建立基本圖形模型、積累多種基本圖形的過程不是一個單純記憶的過程，能夠自主完整地證明是理解的前提。在復雜的情境中識別出基本圖形是關鍵，能識別出適當變式后的基本圖形是重難點。根據艾賓浩斯遺忘曲線的規律，適當的重復不僅有利于準確記憶，也有助于加深理解。因此，在教學過程中，教師不僅要花大量時間幫助學生概括和理解基本圖形，還應讓學生經歷由圖形條件到結論產生的過程，并在后續練習過程中適度重復和變式運用。

例如，在基本圖形一的教學過程中，當師生完成了“角平分線+平行線→等腰三角形”的證明后，教師可以提問：當我們調換了條件和結論的順序后，可以產生哪些命題呢？你猜測這些命題正確嗎？你可以嘗試說明原理嗎？在基本圖形二的教學過程中，學生完成第一個結論后，也可在教師的引導下自主完成點P在發生位置變化后的作圖、猜想、證明。

三、全面規劃，分點落實

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，教學的目標設定要體現整體性和階段性。基本圖形的積累不是一蹴而就的，其認知歷程一般都是由片面到全面，由簡單到復雜，由靜態到動態，由單一到組合的過程。教材中的基本圖形都是遵循“循序漸進，螺旋上升”的規則設計與呈現的。教師應通讀學段教材，整體把握基本圖形教學，在初中三年的學習中分步實施，從不同的角度，突破不同的重點，拓展學生理解的深度和廣度。

例如，在七（下）“平面圖形認識（一）”中，側重利用基本圖形強化平行的判定及性質；在八（上）“軸對稱圖形”這一章節中，側重通過基本圖形證明角和邊的等量關系，從而判定等腰三角形，同時也加入線段及角的計算；在八（下）“中心對稱圖形”中，側重利用基本圖形找到線段平行或相等的關系，進而判定特殊的四邊形。同一種基本圖形在不同章節的考查重點不同。教師經過上面梳理后，可以不斷進階認知，深化理解。

基本圖形是求解幾何問題的腳手架。而搭建哪些腳手架，怎樣搭建，在教學中，教師應該有目的地根據實際情況確定教學目標，控制題目數量，精心設計例、習題。筆者認為，可以將中等難度但具有圖形關聯性的題目按照合理的順序整理成教學目標下的系列練習，這是一種較為高效的復習方法。將經典習題進行融會貫通，幫助學生找到解決問題的方法，但同時要注意對數學思想方法的滲透，總結規律，形成模型。這樣可以使學生從題海中解脫出來，學得靈活，學得扎實，達到舉一反三、觸類旁通的效果，從而提升學生的學習能力，真正達到減負增效的教學目標。

（作者單位：江蘇省常州市北郊初級中學）