思維訓(xùn)練在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

摘要：數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練通過系統(tǒng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析、問題解決和創(chuàng)新思考能力，能顯著提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果。這種訓(xùn)練方式不僅增強(qiáng)了學(xué)生在科學(xué)研究、現(xiàn)實(shí)問題解決、創(chuàng)新設(shè)計(jì)中的應(yīng)用能力，還對(duì)學(xué)生的批判性思維和邏輯推理能力有明顯提高。基于此，文章探索數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練；高等數(shù)學(xué)教學(xué)；創(chuàng)新思考；邏輯推理

在高等教育領(lǐng)域，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維能力是提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用能力的核心途徑。教師通過進(jìn)行系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，可以有效地提高學(xué)生在數(shù)學(xué)分析、問題解決以及創(chuàng)新性思維方面的能力。此外，這種訓(xùn)練方式極大地促進(jìn)了學(xué)生在科學(xué)研究、解決現(xiàn)實(shí)生活問題以及進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)時(shí)的能力發(fā)展，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練在高等教育中的重要價(jià)值和應(yīng)用前景。

一、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練與高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果的聯(lián)系

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力、問題解決能力以及創(chuàng)新思考能力能得到顯著提高，這些能力的提高直接反映在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果上。如在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分析能力是理解復(fù)雜概念和解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練能夠有效增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力。

筆者對(duì)所教班級(jí)的全體學(xué)生進(jìn)行了為期2個(gè)月的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，訓(xùn)練效果如表1所示。通過引入問題導(dǎo)向教學(xué)方法，學(xué)生在數(shù)學(xué)分析方面的表現(xiàn)有了明顯提高，學(xué)生的平均數(shù)學(xué)分析能力得分從數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練前的70分提升到訓(xùn)練后的90分，提升率為28.6%。提高學(xué)生的問題解決能力是數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的另一個(gè)重要目標(biāo)，有效的問題解決能力不僅包括找到解決特定數(shù)學(xué)問題的方法，還包括在面對(duì)新問題時(shí)能夠靈活應(yīng)用已有知識(shí)解決問題的能力。筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的平均解決問題能力得分從數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練前的40分提升到訓(xùn)練后的80分，提升率為100.0%。提高學(xué)生的創(chuàng)新思考能力是高等數(shù)學(xué)教學(xué)人才培養(yǎng)中尤為重要的一環(huán)。實(shí)踐數(shù)據(jù)表明，通過數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，學(xué)生在創(chuàng)新思考方面的能力得到顯著提高，平均創(chuàng)新思考能力得分從訓(xùn)練前的60分提升到訓(xùn)練后的85分，提升率為41.7%。可見，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練對(duì)提高學(xué)生的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果有著顯著的正面影響。

二、提高數(shù)學(xué)思維能力的意義

（一）提高數(shù)學(xué)思維能力是科學(xué)研究的需求

科學(xué)研究往往需要對(duì)復(fù)雜的數(shù)據(jù)集進(jìn)行分析，以發(fā)現(xiàn)潛在的模式和關(guān)系。在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域，正確選擇和應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法至關(guān)重要，尤其是在處理大量遺傳數(shù)據(jù)以識(shí)別疾病風(fēng)險(xiǎn)因素時(shí)，數(shù)學(xué)思維能力發(fā)揮著關(guān)鍵作用，確保了回歸分析、方差分析等統(tǒng)計(jì)方法的恰當(dāng)應(yīng)用，從而保障研究結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。

目前，有研究人員通過運(yùn)用復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)模型分析遺傳信息，成功識(shí)別出多個(gè)與特定疾病相關(guān)的新基因變異。這種方法的應(yīng)用不僅展示了數(shù)學(xué)思維在科學(xué)研究中的價(jià)值，而且為疾病預(yù)防和治療提供了重要的遺傳學(xué)信息。

在理論物理研究中，數(shù)學(xué)思維能力同樣發(fā)揮著關(guān)鍵作用。例如，在研究量子力學(xué)時(shí)，研究人員必須能夠理解與應(yīng)用高度抽象的數(shù)學(xué)概念和公式，如運(yùn)用薛定諤方程來描述和預(yù)測粒子的行為。在環(huán)境科學(xué)領(lǐng)域的研究中，數(shù)學(xué)思維能力有利于研究人員構(gòu)建模型，預(yù)測氣候變化對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的影響。通過IPCC（世界氣象組織和聯(lián)合國環(huán)境規(guī)劃署）報(bào)告可知，如果全球平均溫度升高2℃，將導(dǎo)致超過60%的珊瑚礁遭受不可逆的損害。

（二）提高數(shù)學(xué)思維能力是解決實(shí)際問題的需求

在金融分析、工程設(shè)計(jì)、信息技術(shù)等領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)思維能力成為解決復(fù)雜問題的關(guān)鍵。

在金融分析領(lǐng)域，數(shù)學(xué)思維能力使專業(yè)人士能夠理解市場動(dòng)態(tài)，進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和投資決策。例如，通過運(yùn)用數(shù)學(xué)模型和算法，分析師能夠預(yù)測股票價(jià)格的變動(dòng)趨勢(shì)，從而為投資者提供基于數(shù)據(jù)的建議。在工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)思維能力對(duì)設(shè)計(jì)高效、可靠的解決方案至關(guān)重要。工程師通過應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和工具，如微積分和線性代數(shù)，能夠優(yōu)化設(shè)計(jì)過程，提高結(jié)構(gòu)安全性和功能性。信息技術(shù)領(lǐng)域同樣展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維能力的應(yīng)用價(jià)值。在軟件開發(fā)和數(shù)據(jù)安全中，數(shù)學(xué)算法和邏輯推理是構(gòu)建有效程序和加密技術(shù)的基礎(chǔ)。

在金融分析、工程設(shè)計(jì)和信息技術(shù)等領(lǐng)域中，大多數(shù)專業(yè)人士認(rèn)為數(shù)學(xué)思維能力對(duì)他們解決實(shí)際問題具有重要作用。筆者采訪了20個(gè)金融分析、工程設(shè)計(jì)和信息技術(shù)領(lǐng)域的專家，其中60%的受訪者表示數(shù)學(xué)思維能力完全符合解決實(shí)際問題的需求具體情況如表2所示。

（三）數(shù)學(xué)思維能力是提高創(chuàng)新能力和批判性思維的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)思維能力不局限于解決具體的數(shù)學(xué)問題，而是涵蓋了邏輯思考、問題分析以及創(chuàng)新解決問題的能力。筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思維能力得到提高后，學(xué)生在解決開放式問題和創(chuàng)新設(shè)計(jì)任務(wù)時(shí)，表現(xiàn)出更強(qiáng)的創(chuàng)新性和靈活性，從而能夠有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)原理分析問題，最終提出具有創(chuàng)新性的解決方案。

批判性思維作為一種評(píng)估和反思的能力，對(duì)挑戰(zhàn)傳統(tǒng)觀點(diǎn)、評(píng)估論據(jù)的有效性及發(fā)展獨(dú)立思考能力至關(guān)重要。通過數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，學(xué)生學(xué)會(huì)了如何系統(tǒng)地分析信息，區(qū)分事實(shí)與假設(shè)，評(píng)估不同解決方案的優(yōu)劣。實(shí)踐結(jié)果顯示，經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練后，學(xué)生整體在批判性思維測試中的得分比訓(xùn)練前高出20%。

三、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

（一）數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練有助于完善高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系

數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練有助于學(xué)生深入理解高等數(shù)學(xué)中的核心概念、定理和公式。通過對(duì)數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)訓(xùn)練，學(xué)生可以更有效地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯和結(jié)構(gòu)，從而提高解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的能力。教師采用基于問題解決的學(xué)習(xí)策略后，學(xué)生在理解微積分概念方面的平均得分從數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練前的60分提升到訓(xùn)練后的85分。這表明通過數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用微積分的基本原理與方法。

數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練還促進(jìn)了學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展。筆者發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練后，學(xué)生在抽象概念理解和空間想象能力方面的表現(xiàn)有了明顯提高。具體來說，在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練后，學(xué)生在識(shí)別和應(yīng)用線性代數(shù)中的矩陣與向量空間概念的能力測試中，平均得分比訓(xùn)練前高出了25%。

數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練對(duì)提高學(xué)生的邏輯推理能力同樣不容忽視。學(xué)生在接受數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練后，邏輯推理測試的準(zhǔn)確率從訓(xùn)練前的70%提升到訓(xùn)練后的90%。

（二）數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練有助于培養(yǎng)邏輯推理能力

邏輯推理能力是數(shù)學(xué)思維的核心組成部分，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過專門的訓(xùn)練，學(xué)生的邏輯推理能力得到顯著提高，這直接反映在他們解決數(shù)學(xué)問題和證明數(shù)學(xué)定理的能力上。

在開展數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練后，學(xué)生不僅在理解微積分概念方面有所提高，而且邏輯推理能力也得到了顯著增強(qiáng)。學(xué)生能夠準(zhǔn)確地應(yīng)用微積分定理和公式解決問題，顯示出對(duì)邏輯推理過程的深刻理解。數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練對(duì)邏輯推理能力的提高還體現(xiàn)在學(xué)生解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的過程中。通過數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，學(xué)生學(xué)會(huì)了分析問題、識(shí)別關(guān)鍵信息、提出有效的解決方案，并且能夠系統(tǒng)地驗(yàn)證解決方案的正確性。

（三）數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練有助于培養(yǎng)抽象思考能力

抽象思考能力可以讓學(xué)生在缺乏具體物理表征的情況下，理解、分析和操作數(shù)學(xué)概念及結(jié)構(gòu)。高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究往往涉及復(fù)雜的概念和理論，如向量空間、微積分定理等，這些都要求學(xué)生具備強(qiáng)大的抽象思考能力。在本次實(shí)踐中，通過針對(duì)性的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，學(xué)生在抽象概念理解方面有了顯著提高。學(xué)生在識(shí)別和應(yīng)用線性代數(shù)中的矩陣、向量空間等概念的能力測試中，得分比訓(xùn)練前高出很多，他們?cè)诳臻g想象能力方面也有了顯著的進(jìn)步。

在本次實(shí)踐中，教師采用基于問題解決的學(xué)習(xí)策略后，學(xué)生在理解微積分中的抽象概念，如極限、導(dǎo)數(shù)和積分等方面的平均得分從數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練前的60分提升到了訓(xùn)練后的85分。這不僅反映了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練在提高學(xué)生抽象思考能力方面的效果，還說明了通過具體問題引導(dǎo)學(xué)生理解抽象概念的有效性。此外，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練還涉及對(duì)數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí)和實(shí)踐。數(shù)學(xué)證明是一種高度抽象的邏輯推理過程，要求學(xué)生能夠獨(dú)立地構(gòu)思并驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題。通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了使用數(shù)學(xué)邏輯和運(yùn)用數(shù)學(xué)理論，還提高了抽象思考能力。

（四）數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練能塑造創(chuàng)新人格

數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練通過挑戰(zhàn)傳統(tǒng)的思維模式和鼓勵(lì)探索數(shù)學(xué)問題的新解法，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和解決問題的能力。通過實(shí)施以探究為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，學(xué)生在提出和驗(yàn)證新的數(shù)學(xué)命題方面的成功率比訓(xùn)練前提高了30%。這表明，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練通過鼓勵(lì)學(xué)生探索未知和挑戰(zhàn)現(xiàn)有解法，激發(fā)了他們的創(chuàng)新能力。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者指導(dǎo)學(xué)生采用項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)方法，使學(xué)生在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題時(shí)顯示出更高的創(chuàng)新性和適應(yīng)性。在這種教學(xué)模式下，學(xué)生需要獨(dú)立或小組合作解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。這種方法不僅增強(qiáng)了他們的數(shù)學(xué)技能，還促進(jìn)了他們創(chuàng)新思維的發(fā)展。實(shí)踐結(jié)果表明，在采用項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)法后，學(xué)生在創(chuàng)新性解決問題能力上的平均得分比之前高出了25%。

數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練還強(qiáng)調(diào)了批判性思考和自我反思的重要性，這對(duì)創(chuàng)新人格的發(fā)展至關(guān)重要。通過對(duì)數(shù)學(xué)概念和解法的深入分析以及對(duì)自己思考過程的反思，學(xué)生能夠識(shí)別現(xiàn)有知識(shí)的局限性并且實(shí)現(xiàn)超越，不斷探索新的可能性。

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用，不僅提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，還對(duì)學(xué)生的科學(xué)研究、實(shí)際問題解決和創(chuàng)新設(shè)計(jì)能力產(chǎn)生了積極影響。通過持續(xù)的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，學(xué)生能夠提高批判性思維、邏輯推理能力、抽象思考能力，還能塑造創(chuàng)新人格，為未來職業(yè)生涯發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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（作者單位：南京傳媒學(xué)院）