海倫公式：從三角形到四邊形

人教版數學教材八（下）“閱讀與思考”《海倫-秦九韶公式》：如果一個三角形的三邊長分別為a、 b、c，記p=

[12]（a+b+c），那么三角形的面積為

S=[p（p-a）（p-b）（p-c）]。" "①

這是古希臘幾何學家海倫給出的三角形面積公式，在數學史上稱為“海倫公式”。我國南宋時期數學家秦九韶也曾給出一個三角形的面積公式為

S=[14a2b2-a2+b2-c222]。②

兩個公式形式不同，但有共同點，都是用三邊表示面積。教材對公式②進行多次因式分解，最終推出公式①。所以，我們也把公式①稱為“海倫-秦九韶公式”。

讀完這篇材料，我有一個想法，三角形面積的海倫公式確實非常整齊，那么四邊形也有類似的面積公式嗎？

根據公式①的形式，我猜想：S=[p（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）]（猜想1），其中p=[12]（a+b+c+d）。很快我就發現了問題，假設三角形的邊長單位是米，面積單位應該是平方米，而通過猜想1計算的單位不是平方米。因此，猜想1不對。于是我便有了猜想2：

S=[（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）]。 ③

這次應該是對的，當四邊形的一邊長d逐漸變小，最終變成0時，四邊形就變成了三角形，公式③和公式①保持一致。比如，邊長為3和4的矩形面積為12，用公式③計算：p=7，S=[（7-3）（7-3）（7-4）（7-4）]=4×3=12，猜對了。

矩形太特殊，如果是任意的四邊形呢？我從等邊三角形ABC出發，先構造一個凹四邊形ABCD，其中點D是△ABC的中心，如圖1。

設AB=2，延長CD交AB于點E，則DE⊥AB，容易計算CE=[3]，BD=2DE=[233]，3S△ABD=S△ABC=[3]，S凹ABCD=[23]S△ABC=[233]；用公式③計算：p=AB+AD=2+[233]，S凹ABCD=[433]。很詫異，兩種方法計算的結果不一樣，問題出在哪里呢？

對比發現，兩次計算結果相差[233]，所以，如果把△ACD沿著AC翻折成△ACF，得到凸四邊形ABCF，如圖2，這個時候S凸ABCF=[433]。是不是公式③不適用于凹四邊形，只適用于凸四邊形呢？

我們把△ABC沿著AC翻折成△ACG，得到凸四邊形ABCG，如圖2，這個凸四邊形是菱形，菱形的面積S=2S△ABC=2[3]。用公式③計算：p=4，S=4。

兩次結果還是不一樣，是不是公式③只適用于部分凸四邊形呢？到底這一部分凸四邊形有什么特殊性質呢？是不是也有一部分凹四邊形也適用于公式③呢？我百思不得其解，只好請教數學老師了。老師說，公式③適用于圓內接四邊形，圓的內容可以先自學。

“圓內接四邊形面積公式”，正是我猜想的公式③，也叫海倫公式，但證明的方法用到了三角函數和余弦定理。我想，能不能用三角形面積的海倫公式推導圓內接四邊形面積公式呢？

于是，我很自然地想到連接BD，把四邊形分成兩個三角形，如圖3，這樣就可以用海倫公式把四邊形的面積轉化為兩個三角形面積的和。但很快就遇到一個問題，如何求BD呢？

換個思路。假設BA和CD不平行，延長BA、CD交于點E，這樣四邊形ABCD的面積就轉化為兩個三角形面積的差。試了試，計算異常復雜，困難重重，此路好像行不通。

我探究這一通，只是起源于一個想法，結果一路坎坷，最終也沒能證明猜想的結論。雖然我認為我的思路可行，但是行不通，是我知識和能力有限呢，還是確實行不通？不過，這些都不影響我繼續探究下去的決心。

教師點評

在學生心目中，老師解題一做就對。但事實上，解題就是不斷試錯的過程，這個探尋和嘗試的過程非常重要。就像本文小作者的探究過程一樣，看似一無所獲，但已收獲滿滿。

（指導教師：史占增）