在聯系、比較、類比中學習二次根式

領" 銜" 人：丁建生

組稿團隊：南京師范大學第二附屬初級中學

二次根式可以表示實際問題中的一些數量關系，它與整式、分式一樣同屬于代數式。二次根式與平方根有著緊密的關聯，它是以后學習一元二次方程、二次函數、銳角三角函數等知識的基礎。

一、在聯系中學習概念

“一般地，式子[a]（a≥0）叫作二次根式，a叫作被開方數。”這是教材中給出的二次根式的定義。其實，它的形式就是a（a≥0）的算術平方根，這體現了新舊知識的聯系。我們借助于對算術平方根的理解，很快就能得到二次根式[a]中的“兩個非負”，即a≥0，[a]≥0。基于此，對于問題（1）求[3x+1]、[3x+12]、[-3x+12]中x的取值范圍；（2）若[3x+1]+[4-y]=0，求xy的值，就很好解決了。

我們知道，對于分式，能約分的必須約分。那么，二次根式中最簡標準是什么呢？這就有了最簡二次根式的概念，它必須滿足三個條件：（1）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；（2）被開方數中不含分母；（3）分母中不含有根號。如[20]和[420]，根據最簡二次根式的要求，它們可以化為2[5]和[255]。

在整式中，我們學習了同類項的概念，這是整式加減計算的需要。在二次根式中也就有了同類二次根式的概念，它揭示的是二次根式間的一種特殊關系。在這個概念中，前提條件是“經過化簡”，因此，要判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，首先要把它們化成最簡二次根式。如-[20]與[125]中，因為-[20]=-2[5]，[125]=5[5]，所以它們是同類二次根式。

二、在比較中學習性質

根據算術平方根的意義，[a2]=a（a≥0），這是二次根式的第一個性質（記作①）。又經過觀察幾個特殊的式子[22]與[-22]、[52]與[-52]等的計算結果，歸納得到一般化的結論[a2]=∣a∣，這是二次根式的第二個性質（記作②）。兩條性質都是等式，對于兩個性質可以做如下的比較：

從形式上看，①與②的左邊都是二次根式，右邊沒有根號；從a的取值范圍看，①中的a必須大于等于0，②中的a可以取一切實數；從作用看，①的左邊是[a]的平方，其實它就是二次根式乘法的一種特殊情況，①的右邊是平方后的結果，去掉了根號。因此，①的作用就在于“平方去根號”。而②的左邊是[a2]，被開方數是一個數的平方，②的右邊是a2的算術平方根的結果∣a∣。因此，②的作用就在于把被開方數中能開得盡方的開出來（移到根號外）。

同學們有了這些比較后，求[x-12]（x≥1）、[x-12]的值就很輕松了。當然，我們要有整體思想，把[x-12]中的（x-1）看作a，化簡結果是[x-1]，然后再根據去掉絕對值符號的方法完成即可。

三、在類比中學習運算

每當我們學習了新的數或式的概念后，就要學習其相應的運算。我們可以用類比的方法學習二次根式的運算。

1.類比“方法”探索運算法則

回憶有理數加法運算律、乘法運算律、除法法則及冪的運算法則等是怎么得到的。其方法是先進行特殊的、具體的數運算，然后觀察、猜想、歸納得出普遍適用的結論，再借助有關知識進行嚴格的證明。類比這樣的“方法”，二次根式的乘、除運算法則就不難理解了。如二次根式乘法法則，先是計算[4]×[25]與[4×25]、[9]×[16]與[9×16]……，觀察發現每一組的值是相等的，進而猜想得到[a]×[b]=[a×b]（a≥0，b≥0），最后用算術平方根的定義給予了說明。同學們可以嘗試用此“方法”推廣乘法法則至[a]×[b]×[c]=

[a×b×c]。

2.運用類比準確運算

一是類比整式的加（減）、乘運算。整式中的加（減）運算，其實質就是合并同類項，而在二次根式中就是合并同類二次根式，只是運算的第一步是要把每個二次根式化為最簡二次根式。整式中的單項式乘多項式、多項式乘多項式的方法在二次根式的乘法中同樣適用，如計算5[3]×（[15]+[6]）、（2[3]-5[2]）·（5[2]+2[3]）。

二是類比分式的運算。分式運算中要求的結果是最簡分式或整式，同樣二次根式中要求的結果是最簡二次根式。我們用[ab]=[a]×[b]就能把被開方數中能開得盡方的因數或因式開出來。這里講因數或因式一定是乘積的形式，如在化簡[x3-2x2+x]時，必須先把被開方數寫成x（x-1）2的形式。我們用[ab]=[abb2]=[abb]、[ab]=[a×bb2]=[abb]就能做到被開方數中不含分母、分母中不含有根號。當然，這里分子、分母同乘b、[b]是一種方法，有時乘一個其他合適的數（式）也能達到同樣的目的，如在[2112]=[2512]中，只要分子、分母同乘3得[25×336]=[56][3]；在[38]中，只需分子、分母同乘[2]；而在[13-1]中，需要分子、分母同乘[3]+1。

在分式運算的過程中，必須保證每個分式有意義，二次根式運算中也要保證每個根式有意義。如在[x2-1]=[x-1]·[x+1]中，必須滿足x-1≥0、x+1≥0；再如在[-1x]中，一定有隱含的條件xlt;0，其結果就是-[-xx]。

在數學學習的過程中，同學們如果能多“聯系”、多“比較”、多“類比”，就能深刻理解所學知識，提升自己的思維水平，還能揭開數學學習的新天地，覺得“數學好玩”。