以一次函數為例，類比學習反比例函數

第十一章 反比例函數

領" 銜" 人：黃秀旺（正高級教師、江蘇省特級教師）

組稿團隊：江蘇省南京市初中數學黃秀旺名師工作室

我們在八年級上學期學習了“一次函數”，了解到研究函數的一般思路以及基本方法。本學期我們學習了反比例函數，以后還會學習二次函數，如果我們能把握函數視角的“前后聯系”，體會學習函數的共性，并以“一以貫之”的方式去探索和研究函數，將會事半功倍。

一、“反比例函數”的學習內容

回顧一次函數的學習內容，我們歸納出學習新函數大致包括以下內容：（1）函數的概念；（2）函數的圖像與性質；（3）函數與方程、不等式之間的內在聯系；（4）用函數解決實際問題。“反比例函數”的學習也是從以上幾個方面展開的。了解了反比例函數的學習內容就相當于我們知道了“要到哪里去”，并且會對函數有一個整體性的認識。

二、“反比例函數”的學習路徑與方法

我們除了知道了“要到哪里去”，還需要知道“怎么去”。所以，在這方面我們依然要聯系一次函數。一次函數的概念是通過具體的實例經歷歸納、抽象、概括等過程得到的，同樣，反比例函數的概念也是經歷以上過程得到的。

對于一次函數，我們先通過“點燃一支香，感受它的長度隨著燃燒時間的變化而變化”的情境，直觀感受一次函數的圖像是一條直線，然后通過“列表、描點、連線”得到一次函數的圖像（是一條直線）；同樣，對于反比例函數，我們也是先通過反比例函數的表達式去描述函數的一些性質，然后通過“列表、描點、連線”得到反比例函數的圖像，最后畫出更多不同反比例函數的圖像來歸納出它們的共性。

接下來，類似于一次函數，我們可以利用反比例函數的相關知識分析和解決一些簡單的實際問題，體會到反比例函數也是刻畫現實世界中數量關系的一種模型。

在學習一次函數時，我們體會到一次函數與一元一次方程、一元一次不等式的內在聯系，比如，教材中的一個問題：試根據一次函數y=2x+4的圖像說出2x+4=0、2x+4＞0、2x+4＜0的解。我們就可以利用一次函數y=2x+4的圖像，得到一元一次方程2x+4=0的解是x=-2，不等式2x+4＞0的解是x＞-2，不等式2x+4＜0的解是x＜-2。

那么，對于反比例函數，我們又該如何理解呢？我們以y=[6x]為例，如圖1，點（3，2）在圖像上，也就是說當x=3時，y=2，那么也可以理解為方程[6x]=2的解是x=3。同樣，不等式[6x]＞2表示的是圖像中點（3，2）的上方，對應的x的取值范圍為x＜3，考慮反比例函數圖像的特點，剛剛所提到的“點（3，2）的上方”，實際上是一條分支的上方，因此不等式[6x]＞2的解是0＜x＜3。顯然，不等式[6x]＜2的解是x＞3或x＜0。因此，我們也可以類比一次函數與一次方程、一次不等式之間的聯系，來體會反比例函數與相應的方程、不等式之間的聯系，正所謂“一以貫之”。

總之，我們應善于運用類比的思想，展開對新知的學習與研究。以一次函數為例，類比學習反比例函數，形成對反比例函數的整體性認識，這樣我們不僅能習得反比例函數的知識與探究方法，更能提高探究函數的能力，為后續研究其他未知的函數奠定基礎。