關(guān)于圓錐曲線證明題探究的教學(xué)指導(dǎo)

［摘 要］ 圓錐曲線證明題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問題，解題過程對思維要求較高，需要整合條件、轉(zhuǎn)化構(gòu)建. 開展解題指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生掌握方法，可以有效提升學(xué)生的解題能力. 文章結(jié)合圓錐曲線證明題，開展教學(xué)探究與分析指導(dǎo)，與讀者交流學(xué)習(xí).

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；證明題；教學(xué)指導(dǎo)；思維

教學(xué)綜述

圓錐曲線證明題是高中數(shù)學(xué)重要問題之一，問題類型眾多，總體上分為兩類：一是證明位置關(guān)系，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；二是證明數(shù)量關(guān)系，如存在定值、恒成立、三點(diǎn)共線等. 問題解析需要充分理解圓錐曲線的定義與性質(zhì)，掌握相應(yīng)的解題技巧.

在解題探究中，需要引導(dǎo)學(xué)生分析問題，開展過程探究，總結(jié)解題方法. 因此，解題教學(xué)可分為四個環(huán)節(jié)，具體如下：

環(huán)節(jié)1：問題分析，考點(diǎn)定位，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，把握問題本質(zhì).

環(huán)節(jié)2：思維引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建思維鏈，形成相應(yīng)的解題思路.

環(huán)節(jié)3：過程引導(dǎo)，分步探究問題，引導(dǎo)學(xué)生探究解題過程；

環(huán)節(jié)4：技巧總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，總結(jié)類型題的解題方法.

教學(xué)探究

圓錐曲線類問題總體上分為兩類：數(shù)量關(guān)系證明題、位置關(guān)系證明題. 在教學(xué)探究中可以結(jié)合高考真題，分環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生探究問題，總結(jié)方法. 下面結(jié)合實(shí)例探究總結(jié).

1. 教學(xué)指導(dǎo)——數(shù)量關(guān)系證明

問題1 已知頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線Γ的焦點(diǎn)為F，位于y軸的正半軸上，又知圓心在直線y=x上的圓E與x軸相切，且點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)M（-1，0）對稱，試回答下列問題.

（1）求E和Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)M的直線l與圓E相交于A和B，與Γ相交于C和D，證明：

.

【問題分析】

本題為圓錐曲線綜合題，題設(shè)兩問，其中第（2）問為核心之問，證明線段間的關(guān)系，涉及直線與圓相切、點(diǎn)對稱，融合直線、拋物線、圓. 探究解析需要關(guān)注其中的位置關(guān)系，提取數(shù)量關(guān)系，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理加以證明.

【思維引導(dǎo)】

教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建思維導(dǎo)圖，整合問題條件，根據(jù)題設(shè)進(jìn)行思維推理，運(yùn)算求解. 對于上述兩問，可以按照圖1進(jìn)行思維引導(dǎo).

對于第（1）問，可引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中對稱的條件，設(shè)定圓心E的坐標(biāo)，構(gòu)建方程獲得曲線的特征進(jìn)行參考. 而第（2）問證明線段數(shù)量關(guān)系時，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)立方程求解

【問題分析】

本題為以橢圓為背景的圓錐曲線綜合題，題設(shè)兩問，其中第（2）問為核心之問. 探究三點(diǎn)共線的充要條件，本質(zhì)為位置關(guān)系證明問題. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理清其中的位置關(guān)系，包括橢圓、直線、點(diǎn)，以及特殊曲線之間的關(guān)系. 探究中可引導(dǎo)學(xué)生繪制具體圖象，適當(dāng)提示關(guān)注點(diǎn)、重點(diǎn)、易錯點(diǎn)，促使學(xué)生把握解析過程.

【思維引導(dǎo)】

解析過程實(shí)則為思維推理過程，教學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行思維引導(dǎo)是十分必要的. 本題有兩問，可引導(dǎo)學(xué)生理清其中的位置關(guān)系，構(gòu)建推理過程，具體如下：

（1）該問求解的是橢圓C的方程，解析關(guān)鍵是用離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)求得特征參數(shù).思維過程為：處理離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)→求出a和c的值→求出b的值→橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）該問證明的是三點(diǎn)共線的充要條件，問題綜合性強(qiáng)，證明分兩步進(jìn)行：先證明充分性，再證明必要性. 思維過程為：先證明充分性，設(shè)直線MN的方程→利用圓心到直線MN的距離公式求出m的值→聯(lián)立直線MN與橢圓C的方程→求出

的值→結(jié)論；再證明必要性，設(shè)直線MN的方程→由圓心到直線MN的距離公式求出m與t的關(guān)系→聯(lián)立直線MN與橢圓C的方程→求出m和t的值→得到直線MN的方程→直線MN必過點(diǎn)F→結(jié)論.

【過程引導(dǎo)】

（1）求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，核心條件有兩個：①右焦點(diǎn)為F（，0）；②離心率為.

根據(jù)題意可得，離心率e==，又c=，所以a=，則b2=a2-c2=1. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.

（2）證明三點(diǎn)共線的充要條件，教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生繪制圖象，再引入兩步過程，同時提示關(guān)鍵點(diǎn).

繪制圖象：橢圓C的焦點(diǎn)位于x軸上，即點(diǎn)F在x軸正半軸上. 直線MN與曲線x2+y2=1（x>0）為相切關(guān)系，探究的是M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件. 綜上分析，可繪制如圖2所示的圖象.

【技巧總結(jié)】

上述第（2）問證明三點(diǎn)共線的充要條件，通過求MN的方程來分別證明充分性和必要性，將位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生明確該類問題的破解思路，樹立“轉(zhuǎn)化”意識，了解證明位置關(guān)系的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系.

常見問題的轉(zhuǎn)化策略如下：

（1）幾何性質(zhì)證明→代數(shù)分析.

（2）對邊相等證明→①斜率相等或向量平行；②橫（縱）坐標(biāo)差相等.

（3）對角線互相平分→中點(diǎn)重合.

（4）兩線段垂直→兩向量的數(shù)量積等于0.

教學(xué)感悟

圓錐曲線證明題的探究教學(xué)，需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是總結(jié)問題類型，關(guān)注問題的知識考點(diǎn)；二是關(guān)注探究過程，總結(jié)方法技巧. 實(shí)際教學(xué)中教師要注重學(xué)生的思維培養(yǎng)，將學(xué)生思維能力的提升作為教學(xué)重點(diǎn).

建議開展節(jié)點(diǎn)式引導(dǎo)，視問題為節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu). 先將解題過程拆解為各個節(jié)點(diǎn)的思維活動，再引導(dǎo)學(xué)生將思維匯聚到每個節(jié)點(diǎn)，如思維過程分析、構(gòu)建過程探索、方法技巧總結(jié)等，使學(xué)生的思維在解題活動中充分激蕩，從而清晰地認(rèn)識問題、理解條件、掌握方法. 教學(xué)中為幫助學(xué)生集中注意力，可以適當(dāng)設(shè)問、提示，引導(dǎo)學(xué)生參與討論，分享所得、所悟、所惑. 教學(xué)中明確每個節(jié)點(diǎn)的中心任務(wù)，適度歸納總結(jié).

教學(xué)中要注意拓展、延伸，尤其在解題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生掌握類型題的解題策略. 可以采用多種教學(xué)方法，上述的方法技巧總結(jié)是常用的一種. 另外還可以采用多題一解的方式，即利用同一種方法求解多道問題，從中提取對應(yīng)的解題模板. 教學(xué)時還應(yīng)注意思維方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生掌握常用的思想方法，如模型構(gòu)造、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等，充分拓展學(xué)生的解題思維.