走出“機(jī)械刷題” 走進(jìn)“深度學(xué)習(xí)”

[摘 要] “機(jī)械刷題”依賴于題型、套路和范式，雖然能夠在短期內(nèi)提升學(xué)生的解題能力，但學(xué)生的思維受到了固化. “深度學(xué)習(xí)”有助于提升課堂教學(xué)效果與質(zhì)量，關(guān)系到學(xué)生思維水平的提升. 在平時(shí)教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師要針對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展需求與數(shù)學(xué)知識(shí)和方法積累需求，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，探究數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系與能力體系. 基于此，研究者結(jié)合一道試題的講評(píng)，帶領(lǐng)學(xué)生走出“機(jī)械刷題”，走進(jìn)“深度學(xué)習(xí)”.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);深度學(xué)習(xí);理性分析

“機(jī)械刷題”是為了強(qiáng)化訓(xùn)練某個(gè)知識(shí)點(diǎn)、某個(gè)解題技巧而大量、重復(fù)地做題，有利于學(xué)生記憶、運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，能提升學(xué)生的解題速度，提高學(xué)生的考試成績(jī)，備受學(xué)生、家長(zhǎng)，以及部分教師的青睞，由此造成課堂上教師“滿堂灌”“一個(gè)概念、幾項(xiàng)注意、若干例題”，課后學(xué)生“練反復(fù)，反復(fù)練”等現(xiàn)象，導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)以強(qiáng)化“記憶”為核心，輕定義、概念、原理形成的過(guò)程，重題型、套路、重范式的歸納和總結(jié). 數(shù)學(xué)解題在“機(jī)械模仿”中度過(guò)，簡(jiǎn)單的“模仿”與“記憶”無(wú)法真正掌握知識(shí)，以至于“學(xué)得快，忘得也快”，長(zhǎng)此以往，不僅會(huì)固化學(xué)生的思維，還會(huì)阻礙學(xué)生高階能力的發(fā)展，使學(xué)生難以應(yīng)付新高考，無(wú)法實(shí)現(xiàn)“高能高分”.

“深度學(xué)習(xí)”要求學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流的過(guò)程中掌握核心知識(shí)，把握知識(shí)本質(zhì)，厘清知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方法提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題. 基于“深度學(xué)習(xí)”構(gòu)建高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)課堂，要根據(jù)題目?jī)?nèi)容合理布置思考任務(wù)，科學(xué)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，利用已有的解題矛盾，激發(fā)學(xué)生探索更多的解題方法和運(yùn)算路徑. 引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、深度參與解題過(guò)程，讓學(xué)生將自有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和能力轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，通過(guò)不斷理解、應(yīng)用、批判和反思，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和解題方法進(jìn)行深度加工和內(nèi)化遷移，繼而提升學(xué)生的實(shí)踐感和體驗(yàn)感，提高學(xué)生的解題能力和運(yùn)算素養(yǎng).

在解題教學(xué)過(guò)程中，如果教師評(píng)講習(xí)題的方法跟學(xué)生解題的方法相同，那么學(xué)生會(huì)認(rèn)為自己做對(duì)了或者能做對(duì)，然后埋頭干自己的事，導(dǎo)致教師的解題方法、數(shù)學(xué)思想、運(yùn)算素養(yǎng)無(wú)法傳遞給學(xué)生，學(xué)生的解題水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)還在原地踏步. 因此，教師在基于“深度學(xué)習(xí)”構(gòu)建高中數(shù)學(xué)課堂時(shí)，要重視教學(xué)方法的選擇，促使學(xué)生發(fā)揮主體作用，保持良好的學(xué)習(xí)狀態(tài);要重視知識(shí)的連續(xù)性，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，完善知識(shí)結(jié)構(gòu);要重視從不同切入點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生多思考、多反思，引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)“深度學(xué)習(xí)”，走出“機(jī)械刷題”.

題目：（2022—2023學(xué)年度蘇州期中考試）已知正數(shù)x，y滿足2x+y=1，若不等式x2-mxy+y≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_______.

課前：追根溯源，尋找突破

此題是蘇州2022—2023學(xué)年度高一數(shù)學(xué)期中考試的填空題的第3題（下文簡(jiǎn)稱第3題），作為四星級(jí)且生源較好的學(xué)校，第3題的均分只有2.4146分（滿分5分），意味著全校有一半以上的學(xué)生做錯(cuò)或放棄，而第3題的背景、知識(shí)、結(jié)構(gòu)、關(guān)鍵詞及類似題，在課本和平時(shí)練習(xí)中都涉及較多. 例如人教A版（2019）必修第一冊(cè)教材的第58頁(yè)的第5題：若a，b>0，且ab=a+b+3，求ab的取值范圍. 第6題：當(dāng)k取什么值時(shí)，一元二次不等式2kx2+kx-<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立？這兩題都涉及“雙變量”和“恒成立”，是平時(shí)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 通過(guò)相關(guān)訓(xùn)練，學(xué)生分別采用“減元”和“分離參數(shù)”兩個(gè)不同方法去解決“雙變量”和“恒成立”問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生求解第3題時(shí)產(chǎn)生了兩個(gè)不同方向. 但在每一個(gè)方向的操作中，由于學(xué)生分析能力和計(jì)算能力的欠缺，導(dǎo)致計(jì)算比較煩瑣，最終無(wú)疾告終.

課上：探究本質(zhì)，提升素養(yǎng)

1. 減元優(yōu)先，厘清根源

涉及二元的最值問(wèn)題，若不能直接結(jié)合基本不等式解決，則學(xué)生容易利用減元的方法，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問(wèn)題，借助函數(shù)圖象，探究出不同運(yùn)算路徑，但是教師在評(píng)講過(guò)程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生采用合理的運(yùn)算路徑，優(yōu)化運(yùn)算路徑，尋求最適合自己的運(yùn)算路徑.

部分學(xué)生減元后利用三個(gè)“二次”關(guān)系，得到相應(yīng)的“正確的結(jié)果”，但是其過(guò)程缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性. 過(guò)程如下：由2x+y=1得y=1-2x，代入x2-mxy+y≥0，得（2m+1）x2-（m+2）x+1≥0. 利用二次函數(shù)的圖象可得2m+1>0，

Δ=（m+2）2-4（2m+1）≤0，即m>-

，

0≤m≤4，所以實(shí)數(shù)m的最大值是4. 此過(guò)程看起來(lái)比較流暢，部分學(xué)生也沉淀在此方法中，此時(shí)教師提醒學(xué)生要仔細(xì)審題，學(xué)生通過(guò)仔細(xì)閱讀后發(fā)現(xiàn)，上述方法有缺陷，題目中的條件“正數(shù)x，y”未用到，沒(méi)有考慮自變量x實(shí)際的取值范圍（實(shí)際上，由正數(shù)x，y及y=1-2x，得0<x<），而是把自變量x的取值范圍定為R來(lái)解題. 若作為填空題，可以將m=4代入進(jìn)行驗(yàn)證，得9x2-6x+1≥0，當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)，也能得分.

2. 化生為熟，巧借圖象

如果第3題為解答題，那么問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f（x）=（2m+1）x2-（m+2）x+1在x∈

0，

上的最小值大于等于零，求m的取值范圍. 由于x2前面的系數(shù)不定，因此需要先討論x2前面的系數(shù)是否為0. 如果x2前面的系數(shù)不為0，那么y=f（x）才是二次函數(shù). 確定y=f（x）是二次函數(shù)后，再討論其圖象開(kāi)口向上和開(kāi)口向下兩種情況，每種情況又要轉(zhuǎn)化為動(dòng)軸定區(qū)間三類問(wèn)題進(jìn)行討論. 綜上所述，總共七種情況，且計(jì)算還比較煩瑣. 但是結(jié)合已知可得f（0）=1，f

=，如果y=f（x）是二次函數(shù)，那么其圖象開(kāi)口必向上. 結(jié)合y=f（x）的圖象可知，當(dāng)其對(duì)稱軸x=≤0或x=≥時(shí)都符合題意，當(dāng)x=∈0

，時(shí)，只需要Δ=（m+2）2-4（2m+1）≤0即可. 因此，借助函數(shù)圖象可大大減少運(yùn)算量，達(dá)到“以形助數(shù)”的效果.

3. 分離參數(shù)，合理運(yùn)算

由于第3題涉及不等式恒成立，因此可以用“分離參數(shù)”的方法進(jìn)行處理. 結(jié)合自變量x的取值范圍比較小，可知分離參數(shù)不需要討論，由此預(yù)判運(yùn)算量不會(huì)太大：由（2m+1）x2-（m+2）x+1≥0得m（x-2x2）≤x2-2x+1，當(dāng)0<x<時(shí)，x-2x2>0，所以m≤恒成立. 此時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=的最小值.

由于的分子和分母都是二次多項(xiàng)式，因此可以通過(guò)分離參數(shù)降次：==-+. 此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值.

由于的分子是一次多項(xiàng)式，分母是二次多項(xiàng)式，常規(guī)手段就是對(duì)一次多項(xiàng)式進(jìn)行換元處理：令t=1-x，則x=（1-t），t∈

，1

，===≥=，當(dāng)且僅當(dāng)t=，即x=時(shí)取等號(hào). 所以的最小值為4，實(shí)數(shù)m的最大值為4.

上述運(yùn)算過(guò)程仍然比較煩瑣，想要簡(jiǎn)化它，可引導(dǎo)學(xué)生分析的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)的分子是個(gè)完全平方式，由此對(duì)x-1進(jìn)行換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題. 分離參數(shù)得m≤=，令t=1-x，則x=1-t，t∈

，1（為保證t為正數(shù)便于計(jì)算，令t=1-x，而沒(méi)有令t=x-1，更符合學(xué)生的運(yùn)算習(xí)慣），===≥4，當(dāng)且僅當(dāng)=，t=，即x=時(shí)取等號(hào). 所以的最小值為4，實(shí)數(shù)m的最大值為4.

上述過(guò)程先減元，然后分離參數(shù)，需要引導(dǎo)學(xué)生注意題目中的關(guān)鍵字眼“恒成立”，也可以直接分離參數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力. 同時(shí)提醒學(xué)生注意觀察式子的結(jié)構(gòu)，通過(guò)合理處理，減少運(yùn)算量.

4. 分參先行，合理減元

由不等式x2-mxy+y≥0恒成立得mxy≤x2+y，由正數(shù)x，y得m≤=+. 在此減元，是減“y”還是減“x”，需要帶領(lǐng)學(xué)生耐心分析：若減“x”，則式子變?yōu)?=+ ，式子的分子和分母都需要運(yùn)算;若減“y”，則式子變?yōu)?=+，運(yùn)算量稍微少一點(diǎn)，運(yùn)算路徑也更合理！

由+=+，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求+的最小值，部分學(xué)生會(huì)毫不猶豫地通分，得+=，回到上述問(wèn)題，不再贅述. 也有部分學(xué)生提出分子和分母都有變量，可以先分離常數(shù)，得+=+= -++，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求+的最小值.

5. “1”的代換，理性分析

有學(xué)生提出可以這樣換元：令m=1-2x，n=x，2x+y=1轉(zhuǎn)化為m+2n=1，求+的最小值. 此時(shí)學(xué)生異口同聲說(shuō)道：把“1”用m+2n=1代換處理. 即+=

+=+++2≥+2+2=，當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=時(shí)取等號(hào).

還可以引導(dǎo)學(xué)生分析式子+，可知其分母的和為1-2x+x=1-x，不是定值，但通過(guò)配湊可得1-2x+2x=1，所以+=+=+2=+++2≥+2=，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào).

上述兩種方法都涉及“1”的代換，到此絕大多數(shù)學(xué)生能想到+中的“1”也可代換計(jì)算，運(yùn)算量比較小. 其實(shí)類似題在平時(shí)教學(xué)中都有所涉及，比如“已知2a+b=1，求+的最小值”，學(xué)生看到這個(gè)題目感覺(jué)非常熟悉，而看到+就容易把“1”的代換拋到九霄云外去，究其原因是學(xué)生沒(méi)有理解和把握“1”的代換的本質(zhì)，平時(shí)做題時(shí)都是機(jī)械刷題，在記憶中做題，在做題中記憶，將數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想文科化和機(jī)械化，只會(huì)感性做題，不會(huì)理性分析題目. 遇到背景稍微新一點(diǎn)或與平時(shí)練習(xí)背景不同的題目時(shí)，就不能游刃有余地解決相關(guān)問(wèn)題.

課后：總結(jié)反思，助力成長(zhǎng)

1. 通過(guò)聯(lián)系，提升學(xué)生思維的深刻性

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起始階段的高一來(lái)說(shuō)，對(duì)于題目的評(píng)講，不能就題講題，僅僅把解題過(guò)程搬到黑板上去，而是需要引導(dǎo)學(xué)生理性分析、耐心思考，促使他們探索不同的求解途徑，并在此過(guò)程中深化對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知，厘清知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，比較不同方法的優(yōu)劣，尋找各個(gè)解法的共同點(diǎn)，讓學(xué)生能夠“舉三反一”和“舉一反三”，尋找各個(gè)解法的不同點(diǎn)，根據(jù)解法的差異，引導(dǎo)學(xué)生探究必要調(diào)整的路徑，包括進(jìn)一步思考如何簡(jiǎn)化運(yùn)算等. 通過(guò)學(xué)生總結(jié)和反思五個(gè)解法，逐步建立結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí);通過(guò)批改作業(yè)和跟學(xué)生交流，分析學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生突破邏輯結(jié)構(gòu)的局限性. “數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)”，教學(xué)中要充分利用這個(gè)“聯(lián)”給學(xué)生留下深刻的印象，努力提升學(xué)生的思維品質(zhì).

2. 通過(guò)變化，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

學(xué)生沒(méi)有一步到位利用“1”的代換求解第3題，其根本原因是學(xué)生對(duì)基本的減元和分參問(wèn)題的解決沒(méi)有完全掌握. 因此，教學(xué)中先設(shè)置相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題，然后盡可能使用完善的方法和能夠推廣的方法來(lái)解決它們. 同時(shí)重視研究視角的拓寬或改變，善于跳出原先的思考路徑，并從不同角度進(jìn)行分析和思考. 雖然評(píng)講一道題需要一堂課，但是通過(guò)一道題的講解、變化、延伸、拓展，以及師生互動(dòng)、探討、修正，能夠帶領(lǐng)學(xué)生真正學(xué)到知識(shí). 引導(dǎo)學(xué)生研究“什么變了，什么沒(méi)變”，讓學(xué)生善于“從變化中抓不變”和“從不變中抓變化”，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

3. 總結(jié)、反思、再認(rèn)識(shí)

評(píng)講結(jié)束后，教師應(yīng)留下足夠的時(shí)間讓學(xué)生訂正、整理，反思、總結(jié)，促使學(xué)生分析、評(píng)估解題活動(dòng)（包含解題策略的選擇、整個(gè)過(guò)程的組織、目前所從事的工作在整個(gè)解題過(guò)程中的作用等），調(diào)整解題過(guò)程（包含糾正錯(cuò)誤）;促使學(xué)生以后遇到同類題，能夠自我意識(shí)到“選擇怎樣的一條解題途徑”“選擇的解題途徑是否可行”“選擇的解題途徑是否最好”“是否有更好的解題途徑”“采用的解題途徑是否可以徹底解決問(wèn)題或能否對(duì)此起到很大的促進(jìn)作用”等等. 通過(guò)這樣的總結(jié)與再認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步發(fā)展和優(yōu)化自己的認(rèn)知，真正做到“化多為少”“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”，從而實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的發(fā)展和優(yōu)化，由局部性認(rèn)識(shí)發(fā)展到整體性認(rèn)識(shí).

4. 樂(lè)于思考、善于思考

部分學(xué)生不管在平時(shí)練習(xí)還是考試中，拿到題目就下手，不作任何的預(yù)判和思考，做題就像踩西瓜皮，滑到哪里算到哪里，甚至不知道對(duì)在哪里，也不知道錯(cuò)在哪里，做題沒(méi)有任何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更談不上思維的清晰性、條理性、嚴(yán)密性與自覺(jué)性. 教師教學(xué)中應(yīng)立足具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，比如具體的解題過(guò)程中，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維分析，通過(guò)具體的知識(shí)內(nèi)容和解題過(guò)程提升學(xué)生的思維品質(zhì). 在思維分析的前提下，不管計(jì)算的繁簡(jiǎn)度如何，帶領(lǐng)學(xué)生將運(yùn)算進(jìn)行到底，以便學(xué)生較好地做到“胸中有數(shù)”，并能樂(lè)于計(jì)算、樂(lè)于數(shù)量分析，善于計(jì)算、善于數(shù)量分析，形成良好的“數(shù)感”促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生“樂(lè)于思考、勤于思考、善于思考”的習(xí)慣.

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，深度學(xué)習(xí)是一種面向高階思維的學(xué)習(xí)，構(gòu)建深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂時(shí)，要將教學(xué)模式創(chuàng)新的重點(diǎn)放在“學(xué)習(xí)”和“深度”兩個(gè)詞上，促使課堂教學(xué)從灌輸式教學(xué)向以學(xué)生為中心的生本教學(xué)轉(zhuǎn)變. 當(dāng)然，讓學(xué)生“走進(jìn)深度學(xué)習(xí)”比“機(jī)械刷題”要復(fù)雜得多、花費(fèi)更多的時(shí)間，需要教師對(duì)解題和教材有更深入的研究，以便面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師能通過(guò)多種方式進(jìn)行處理，使其更加簡(jiǎn)單化，更加符合學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律和學(xué)習(xí)能力發(fā)展規(guī)律，切實(shí)提高學(xué)生的思維、能力和核心素養(yǎng)，最終培養(yǎng)高質(zhì)量創(chuàng)新性人才.