APOS理論與變式教學理論深度融合的實踐與研究

［摘 要］ APOS理論與變式教學理論對概念教學均具有指導意義，如何將兩者有機地融合在一起，進一步提升概念教學的成效呢？研究者以“函數的概念”教學為例，將APOS理論的四個階段作為教學主線，把變式有機地融合在各個階段中，形成相互促進的教學策略.

［關鍵詞］ APOS理論；變式；概念

概念是數學的靈魂，在教學中占有重要地位. 近年來，對概念教學的研究方興未艾，尤其是各種新興教學手段的涌現，令不少教師眼花繚亂. 采取怎樣的教學手段實施概念教學可取得最佳的教學成效呢？事實證明，將APOS理論與變式教學理論深度融合，不僅能深刻揭露概念的內涵與外延，還能發展學生的數學思維，提升學生的數學學科核心素養.

核心概念的界定

1. APOS理論

APOS理論是由美國數學教育學家杜賓斯基提出的，屬于建構主義理論的一個分支，主要針對數學概念教學而言. APOS理論主張概念教學以學習者自主探究為主，學習者親歷發現、分析與思考概念的過程，形成深刻認識. APOS理論認為，概念學習并不是被動接受的過程，而是個體主觀能動地經歷活動、過程、對象與圖式四個階段. 這四個階段并非獨立存在的個體，而是逐層遞進、相伴相依的群體.

第一階段：活動.

活動的關鍵在于帶領學生初步認識與了解研究對象，學生對外部不熟悉的信息進行加工、轉化，形成自己能理解的內容. 在此過程中，最常規的操作方法就是借助學生熟悉的生活材料創設情境，吸引學生積極主動地參與教學活動，教師在必要時給予適當引導，幫助學生更好地感知概念原型與概念之間的聯系.

第二階段：過程.

過程階段是指學生對活動過程的調整、思考，對知識達到熟練的程度，并在腦海中組建一套操作體系，經歸納、總結、壓縮等處理，抽象出共同特征形成概念. 此為量變到質變的過程. 在該階段中，學生無須接受活動的刺激，就能憑借自己的大腦實施活動. 對學優生而言，過程階段可將已有活動與其他活動相組合，將具體實操轉化為抽象思維，有效促進邏輯思維能力的發展.

第三階段：對象.

對象階段在于獲得可以心理操作的對象，想要獲得這個對象，學生需要壓縮活動與過程階段，將它們作為整體進行應用. 到對象階段時，學生腦海中就會對概念形成一種靜態的結構關系，便于學生從整體的角度理解概念本質. 在此過程中，學生還能對概念賦予形式化的符號，并以此作為研究對象開展活動.

第四階段：圖式.

此為APOS理論的最后環節，是新舊知識整合補充，構建新圖式結構的過程. 新圖式對某些（類）問題納入其中會呈現出不同的反饋，學生親歷概念持續建構的整個流程，形成高階思維與心理表征，此為發展數學學科核心素養的基礎.

2. 變式教學理論

變式是指改變問題的表征形式，變化問題的非本質屬性（本質屬性不改變），學生從中獲得研究對象的本質與規律的一種教學方法. 變式主要包含概念性變式與過程性變式兩類. 概念性變式所研究的對象一般是靜態、獨立的問題；過程性變式關注的是數學學習對象動態的、層次性遞進的過程. 變式教學具備開闊思維、靈活思維、深化思維等作用，還彰顯教學活動的探究性，是促進學生更好掌握概念的基本方法.

融合的意義

概念本身具有過程與對象二重性特征，它不僅是一種靜態的知識結構，還是一個動態的操作過程. 因此，在實施概念教學時，應動靜結合才能取得預期的效果. APOS理論與變式教學理論雖然都能增加概念教學實效，但在實際應用時，鮮有教師將這兩個理論整合在一起實施教學. 實踐發現，將這兩種理論深度融合在一起實施概念教學，可有效激發學生對概念的探索欲，揭露概念的內涵與外延. 筆者以“函數的概念”教學為例，探討這兩種理論融合在一起的具體措施.

例談實施措施

函數是幾何與代數的結合，與學生的生活有著密切聯系. APOS理念與概念的形成過程具有一致性，將變式教學理論有機地融合到APOS理論的應用中，可進一步增強學生對概念的理解.

1. 活動階段——初步建構概念

活動1 一輛高速列車加速到350 km/h后保持勻速運行半小時.

問題1：這半小時之內，列車行進的路程S與運行時間t之間存在什么關系？是不是函數關系？理由是什么？

問題2：該列車運行一小時就前進了350 km，對嗎？

問題3：請用規范的數學語言來描述路程S與時間t之間存在怎樣的對應關系.

（學生獨立思考、合作交流，教師展示典型結論，并引導學生點評. ）

設計意圖 該活動主要突出列車行駛過程中時間與路程的關系，學生從“變量說”的角度出發，可順利解決第一個問題；第二個問題屬于前一個問題的完善，意在引發學生感知數學的嚴謹性；第三個問題著重引發學生對自變量t的變化范圍產生關注，并用標準化的語言進行描述，以訓練學生的表達能力.

活動2 已知某公司確定的工資標準是每人每天350元，工資周付，要求工人每周工作最多6天，最少不低于1天.

問題1：工人每周可獲取多少工資？

問題2：工人工資w與天數d之間存在什么關系？屬于函數關系嗎？說明理由.

問題3：嘗試準確表達工資w與天數d的關系.

追問：以上兩個活動可以表示成一樣的函數關系嗎？為什么？（要求學生獨立思考，自主回答. ）

設計意圖 學生經歷過活動1的探索，對此類問題已經具備一定的獨立思考能力. 活動2的設計一方面夯實學生對此類問題的認識基礎，另一方面強化學生對值域、定義域的認識.

活動3 圖1是某市某天的空氣質量指數（簡稱AQI）變化圖.

問題1：觀察圖示，是否能確定這一天內任一時刻t h的AQI的值I？

問題2：此處的I為t的函數嗎？說明理由.

追問1：中午12時的AQI的值是多少？該值是唯一的嗎？

追問2：數集A=｛t0≤t≤24｝中的任意值t，可用什么方法探尋與之對應的值I？

（小組合作，幾何畫板演示，揭露對應關系. ）

設計意圖 該活動探究的是某一時刻所對應的AQI的值，在此之前學生所了解的函數基本是用解析式呈現的，對用圖象描述相應關系的接觸較少，尤其在無法確定值域的情況下，令學生感到困惑.

活動4 r=×100%為恩格爾系數，國際上常以此來研究某個地區人民的生活質量. 如表1所示，此為我國某地區居民恩格爾系數變化情況.

問題1：表中的恩格爾系數r是年份y的函數嗎？若是，能否仿照之前的方法準確刻畫這個函數？

問題2：若數集B=｛r0≤r≤1｝，將其對應關系描述成“任意一個年份y，在數集B中都有唯一且確定的恩格爾系數r與它對應”. 這種說法合理嗎？

設計意圖 基于上述三個活動，學生對于借助表格理解對應關系已經有了一定基礎，但仍有一些困惑. 教師借此機會引發學生思考，讓學生對值域的合理性有更明確的認識.

綜上四個活動，都以學生的生活背景為原材料設計問題，引發學生對函數中的“對應關系與定義域”產生明確的認識. 隨著追問的提出與解決，學生對函數的概念形成了初步了解，并學會從集合的角度來描述值域與定義域，凸顯了數學學科的嚴謹性. 學生也從中感知到知識間密不可分的關系，整個教學活動為接下來的教學奠定了基礎.

2. 過程階段——辨析概念

問題1：回顧以上探究活動，嘗試總結它們的共同點.

問題2：如何表述函數的概念？

問題3：函數的解析式一定是y=f（x）嗎？

問題4：類比初中階段所了解的函數概念，是否有新的發現？

設計意圖 問題1帶領學生體會用集合及對應關系來刻畫函數，經歷從特殊到一般的過程，體驗創造的愉悅；問題2的提出，意在引導學生用邏輯清晰及規范化的語言來表達相應的信息；問題3是教學重點與難點，y=f（x）為抽象的數學符號，學生需要理解其實際含義；問題4是對初中“變量說”的進一步深化，讓學生理解“對應說”，以擴大學生的研究范圍.

此環節，教師通過問題驅動與變式引導的方式，促使學生回顧活動階段中的內容，以提取準確有效的信息，讓學生自主產生用集合表示函數的意識，此為對函數概念產生初步了解的過程，為接下來的歸納總結奠定基礎.

3. 對象階段——鞏固、應用概念

要求學生分別說一說正比例函數y=kx（k≠0）、反比例函數y=（k≠0）、一次函數y=kx+b（k≠0）、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的定義域、值域以及對應關系. 在此基礎上，要求學生談一談圖2所表示的y為x的函數關系有哪些.

設計意圖 帶領學生重新認識已經接觸過的簡單函數，并通過圖象回顧函數的定義，深化學生對“定義域、值域與對應關系”三要素的理解.

關于區間概念的教學，教師可提供一張表格，要求學生根據區間的概念，自主從定義、區間名稱、符號與數軸等方面展開分析，體會集合與區間的關系，感知數學獨有的簡約美. 當學生對概念有了充分了解后，教師可擇取一些具有代表意義的例題與學生共同探索.

例1 若函數f（x）=+.

（1）求該函數的定義域；

（2）求f（-3）與f

的值；

（3）若a>0，則f（a）與f（a-1）的值分別是多少？

設計意圖 學生接觸得比較多的是函數的解析式，對于函數的定義域（讓解析式有意義的實數集合）并沒有特別強調. 此例意在促使學生學會從隱含條件出發解決問題，理解當明確自變量與解析式時，該如何求得函數值.

對象階段的教學，教師結合概念與非概念變式，帶領學生將函數的概念提煉為具體的思維. 此環節，教師首先帶領學生從熟悉的正比例、反比例、一次函數與二次函數出發，深化學生對函數三要素的理解；其次通過設計例題促使學生學會應用建構的函數概念來解決實際問題，讓概念一一對應的形態根植于學生的認知結構.

4. 圖式階段——拓展、總結概念

例2 已知函數f（x）=5x2+2x.

（1）求f（a）+f（-a）的值；

（2）f（x）的值域是什么？

變式題1：已知函數f（x）=5x2+2x，當x>5時，值域是什么？當x∈｛-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4｝時，值域是什么？

變式題2：已知函數f（x）=5x2+2x，值域為［-2，13］，定義域是什么？若值域為｛-4，-2，4，8｝，則定義域是什么？

設計意圖 將函數的概念有機地融入變式題組內，促使學生形成良好的心理圖式，進一步深化學生對函數概念的認識，并引導學生應用函數的概念來解決實際問題.

師：本節課的學習給你帶來了什么收獲與感悟？

設計意圖 此為課堂小結部分，引導學生從概念的本質、內涵、要素等方面出發，回顧整個學習過程，從關鍵詞的角度進一步完善函數的概念，建構完整的知識網絡.

圖式階段為前三個階段的融合，涉及的變式題有分解與逆向兩種. 在該階段中，學生已經能將新建構的概念納入認知體系內，隨著對概念的反復應用，學生對概念的理解更加深刻. 該階段相對靈活，教師需要結合學情設計一些梯度明顯的小問題與變式題來啟發學生的思維，提升學生的解題能力.

總之，APOS理論與變式教學理論有機地融合于概念教學，不僅讓課堂教學更加井然有序，還讓學生的思維環環相扣，在循序漸進的問題中逐漸深入. 因此，這是一種值得探索的教學方式，對促進學生全面發展具有重要價值與意義.