基于ACT-R理論的“高中數(shù)學(xué)探究活動”教學(xué)實踐與思考

［摘 要］ 針對高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)探究活動的教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合ACT-R理論，以斐波那契數(shù)列教學(xué)設(shè)計為例，引導(dǎo)學(xué)生進行學(xué)習(xí)實踐，并對ACT-R理論應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)探究活動教學(xué)實踐進行反思.

［關(guān)鍵詞］ ACT-R理論；數(shù)學(xué)探究活動；教學(xué)實踐

問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡稱新課標(biāo)）提到高中數(shù)學(xué)課程要注重促進學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展. 已有研究表明數(shù)學(xué)探究教學(xué)可以增強學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力，同時對增強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心起著積極作用. 由于不作為考試內(nèi)容、課時緊張、學(xué)習(xí)難度大等因素，新課標(biāo)所規(guī)定的數(shù)學(xué)探究活動沒有得到足夠重視，大多數(shù)教師在組織教學(xué)時直接跳過這部分內(nèi)容，更談不上對其進行研究并開發(fā)新的學(xué)習(xí)項目，這顯然不符合新課改的要求. 鑒于此，筆者嘗試使用ACT-R理論對高中數(shù)學(xué)探究活動進行教學(xué)設(shè)計，收獲頗多，在此提出分享.

ACT-R理論與高中數(shù)學(xué)探究活動

1. ACT-R理論概述

ACT-R理論的一個基本觀點是：可以由相對簡單的原理形成相對簡單的知識單元，再由這些相對簡單的知識單元構(gòu)成復(fù)雜的認(rèn)知［1］. 它的基本內(nèi)涵是：任何知識的習(xí)得都是始于陳述性階段，經(jīng)過一段時間的程序化處理，最終過渡到自動化階段［2］. ACT-R理論將知識分成兩類：陳述性知識和程序性知識. 陳述性知識：用信息塊來表征，可以用“是什么”來回答；程序性知識：通過提取陳述性信息塊來達到目標(biāo)的規(guī)則性單元，是回答“如何做”的知識.ACT-R理論由教學(xué)設(shè)計流程圖和各環(huán)節(jié)設(shè)計的思維導(dǎo)圖構(gòu)成，為教師深度理解數(shù)學(xué)、深度理解學(xué)生和深度教學(xué)提供了強有力的技術(shù)支撐.

2. 數(shù)學(xué)探究活動

數(shù)學(xué)探究活動是指以解決具體問題為目的，要求學(xué)生觀察分析數(shù)學(xué)事實，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論和規(guī)律，以及解決問題的思路和方案，并給出解釋或證明［3］.

3. ACT-R理論與數(shù)學(xué)探究教學(xué)

數(shù)學(xué)探究活動教學(xué)的實施是為了使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平. 不僅要合理設(shè)置探究問題，創(chuàng)設(shè)有探究意識的問題情境，還要注重數(shù)學(xué)探究活動組織形式、探究手段的設(shè)計，適時引導(dǎo)學(xué)生進行合作. ACT-R理論與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)合在一起，倡導(dǎo)將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，比建構(gòu)主義理論和情境認(rèn)知理論更加注重知識的邏輯性，對學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)有很大的幫助［4］. 不僅如此，還有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識，解決學(xué)習(xí)中存在的困惑，達到一個更好的教學(xué)效果.

數(shù)學(xué)探究活動與ACT-R理論有密切的聯(lián)系，即基于ACT-R理論，在數(shù)學(xué)探究活動教學(xué)中，將陳述性知識通過熟練操作轉(zhuǎn)化為程序性知識，通過精致練習(xí)使程序性知識更加自動化，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析各要素之間的關(guān)系，進而提升學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新意識［5］.

基于ACT-R理論的斐波那契數(shù)列教學(xué)設(shè)計

斐波那契數(shù)列與黃金分割是人教A版（2019）選擇性必修第二冊教材第四章“數(shù)列”（第10～11頁）中“閱讀與思考”的內(nèi)容. 斐波那契數(shù)列與等差、等比數(shù)列一樣，都是從現(xiàn)實背景中抽象概括出來的重要數(shù)列模型，而數(shù)列又是特殊的函數(shù)，基本遵循函數(shù)的研究路徑：背景—概念—性質(zhì)—應(yīng)用. 模型、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、極限等都是探究數(shù)學(xué)問題時常用的思想方法，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究活動的研究手段.

1. 學(xué)習(xí)內(nèi)容及認(rèn)知分析

本節(jié)課主要的教學(xué)內(nèi)容包括斐波那契數(shù)列的概念、遞推公式、通項公式、性質(zhì)、實際應(yīng)用. 在此之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)、前n項和公式和簡單應(yīng)用，這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了知識基礎(chǔ). 基于ACT-R理論的本節(jié)課結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖如圖1所示.

2. 學(xué)習(xí)目標(biāo)

與等差數(shù)列和等比數(shù)列相比，斐波那契數(shù)列的取值規(guī)律及性質(zhì)比較隱蔽且不易發(fā)掘. 另外，學(xué)生對數(shù)列問題的求解思路和方法的應(yīng)用不夠靈活，其應(yīng)用意識、創(chuàng)新能力也不夠強. 現(xiàn)依據(jù)ACT-R理論和實際學(xué)情對本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)進行層級分解，并將其展示如下（如圖2所示）：

學(xué)習(xí)目標(biāo)

3. 基于ACT-R理論的斐波那契數(shù)列教學(xué)設(shè)計流程圖

如圖3所示.

4.基于ACT-R理論的斐波那契數(shù)列教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1 溯斐波那契數(shù)列之源.

師：在前面幾節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識，也熟悉了研究數(shù)列的一般路徑，體會到了數(shù)列強大的魅力所在，還有哪些值得我們研究的數(shù)列呢？讓我們先來看一段視頻——《達·芬奇密碼》.（播放視頻）

師：視頻中的密碼重新排序后，它到底揭示了什么秘密？時間要回溯到1202年，一位叫列昂納多·斐波那契的意大利數(shù)學(xué)家，他出版了一本書，叫《算盤全書》. 該書介紹了一個神秘的數(shù)列——斐波那契數(shù)列.

設(shè)計意圖 在陳述性階段獲取陳述性知識：利用數(shù)學(xué)史引入課題，集中學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的求知欲，起到良好的教學(xué)效果.

環(huán)節(jié)2 明斐波那契數(shù)列之義.

問題：如果1對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，1年后會有多少對兔子？

師生活動：教師解讀題目要求，帶領(lǐng)學(xué)生分析并填寫到第3個月，學(xué)生自主完成后面9個月的填寫.

學(xué)生活動：嘗試用樹狀圖、列表等方法得到第4至12個月的兔子對數(shù).

追問1：你是怎么得到這些月份的兔子對數(shù)的？

追問2：這個規(guī)律適合每個月的兔子對數(shù)嗎？

追問3：假設(shè)第n個月的兔子對數(shù)為F，你能用數(shù)學(xué)符號語言表達這個規(guī)律嗎？

師生總結(jié)：按照這個規(guī)律，我們能得到更多月份的兔子對數(shù)，這些數(shù)構(gòu)成了一個數(shù)列. 由于這個數(shù)列最早是由斐波那契提出的，為了紀(jì)念他，人們把這個數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，通常記為｛F｝，數(shù)列中的項稱為斐波那契數(shù). 斐波那契數(shù)列的遞推公式為

F

=F=1，

F

+F

=F（n≥3，n∈N*）.

設(shè)計意圖 用ACT-R理論把大問題分解為一系列的子問題：通過問題串的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出斐波那契數(shù)列的遞推性質(zhì)，抽象出斐波那契數(shù)列模型.

環(huán)節(jié)3 探斐波那契數(shù)列之?dāng)?shù)學(xué)美.

師：除了前面總結(jié)出來的遞推公式，斐波那契數(shù)列還有哪些性質(zhì)呢？（提供通項公式的一個雛形）

活動1：類比等差、等比數(shù)列的研究內(nèi)容及研究方法，對斐波那契數(shù)列展開探究.

預(yù)設(shè)1：學(xué)生探究斐波那契數(shù)列的通項公式；

預(yù)設(shè)2：學(xué)生探究斐波那契數(shù)列相鄰兩項的比值.

師生活動：教師組織學(xué)生合作探究，小組代表匯報探究成果.

①當(dāng)斐波那契數(shù)列的項數(shù)越來越大時，相領(lǐng)兩項的比值越來越接近黃金比

≈0.618

；②斐波那契數(shù)列的通項公式為F=×

-

.

設(shè)計意圖 用ACT-R理論將復(fù)雜問題簡單化，促使學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì). 等差、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗是本節(jié)課探究活動的生長點，在斐波那契數(shù)列的探究過程中，學(xué)生從已有的陳述性知識出發(fā).

環(huán)節(jié)4 析斐波那契數(shù)列之自然美.

師：其實斐波那契數(shù)列不僅僅有數(shù)學(xué)美，它還有自然美、被稱為大自然的密碼. 現(xiàn)在我們一起來感受斐波那契數(shù)列的自然美.

活動2：動手操作，深化探究.

用所給的正方形紙片拼成矩形（從最小的兩個正方形開始，每次添加一個正方形）. 如圖4所示，陰影部分的矩形面積是多少？最外圍的大矩形面積是多少？由此你可以猜想到什么結(jié)論？若從內(nèi)到外依次連接通過小正方形的四分之一圓弧，能得到什么樣的奇觀？

師生活動：學(xué)生獨立思考后，小組展開互學(xué)互助.

引導(dǎo)學(xué)生推廣“用不同的方法計算每次所得矩形的面積”得到的等式，歸納出斐波那契數(shù)列的又一個性質(zhì)：F+F+F+···+F=FnFn+1.

師：（PPT展示）從內(nèi)到外依次連接通過小正方形的四分之一圓弧，能得到一條螺旋線，被稱為斐波那契螺旋.

師：欣賞視頻，向日葵的兩組交錯的螺旋結(jié)構(gòu)、鸚鵡螺的螺旋結(jié)構(gòu)等，動態(tài)感受自然界中動植物與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系，體驗斐波那契數(shù)列的自然美.

設(shè)計意圖 ACT-R理論把陳述性知識看成信息塊，通過主動探索，從陳述性知識向程序性知識過渡，激活信息塊，順利提取產(chǎn)生式規(guī)則：從“形”的角度繼續(xù)探究斐波那契數(shù)列與黃金分割之間的關(guān)系，以形助數(shù)，發(fā)現(xiàn)新性質(zhì)；以數(shù)釋形，用數(shù)學(xué)符號語言表達圖形隱含的規(guī)律.

環(huán)節(jié)5 悟斐波那契數(shù)列之應(yīng)用美.

例題 已知斐波那契數(shù)列1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，….

（1）a+a+a+…+a是斐波那契數(shù)列中的第_______項；

（2）1+a+a+a+…+a是斐波那契數(shù)列中的第_______項.

設(shè)計意圖 ACT-R理論倡導(dǎo)“精致練習(xí)”，激活產(chǎn)生式規(guī)則和信息塊：例題設(shè)置意在鞏固斐波那契數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)是現(xiàn)實的、有用的.

環(huán)節(jié)6 聚課堂之髓.

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)斐波那契數(shù)列經(jīng)歷了怎樣的過程？請同學(xué)們完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)成果報告. （報告內(nèi)容見表2）

設(shè)計意圖 ACT-R理論認(rèn)為，這正是在程序性目標(biāo)和信息塊的基礎(chǔ)上形成的自動化階段，即遷移數(shù)學(xué)能力，總結(jié)活動經(jīng)驗，總結(jié)研究方法，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流和表達能力.

ACT-R理論對數(shù)學(xué)探究活動教學(xué)的啟示

ACT-R理論倡導(dǎo)將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，強調(diào)精致練習(xí)，提倡重視兩類知識的獲得和遷移等，為數(shù)學(xué)探究活動提供了豐富的、可借鑒的教育理論，為數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計提供了強有力的支撐，也是落實數(shù)學(xué)探究活動的一種重要途徑.

1. 情境直觀化，促進陳述性知識的獲得

數(shù)學(xué)探究活動是讓學(xué)生在問題情境中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，進而生成問題解決方式的過程［6］. ACT-R理論認(rèn)為陳述性知識的獲得有被動接受和主動建構(gòu)兩種方式，并不是所有的新課引入都能吸引學(xué)生的注意力，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫秤兄趯W(xué)生盡快地進入學(xué)習(xí)狀態(tài). 新課引入要遵循直觀化原則，主要從兩個方面入手：數(shù)學(xué)史和實際需要. 引入數(shù)學(xué)史的目的是讓學(xué)生知道知識的出處，了解數(shù)學(xué)家的故事，激發(fā)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心等非智力因素；實例引入要貼合學(xué)生固有的生活常識，而不是直接講述某一知識點讓學(xué)生記憶，要注意內(nèi)容大于形式. ACT-R理論的一個基本觀點是學(xué)習(xí)能力的提高可以通過簡單的環(huán)節(jié)來實現(xiàn)，與現(xiàn)實生活聯(lián)系后再引入新的知識點的過程，可以促進陳述性知識的獲得.

2. 目標(biāo)層級化，觸發(fā)程序性知識的產(chǎn)生

數(shù)學(xué)探究活動是基于問題情境開展自主探究、合作探究并最終解決問題的過程，就是程序性知識的獲取過程. ACT-R理論認(rèn)為程序性知識的獲取關(guān)鍵在于產(chǎn)生式規(guī)則的獲得. 產(chǎn)生式主要依靠兩個條件，一是需要一個處理某個具體目標(biāo)的情境；二是需要一個處理類似目標(biāo)的樣例. 在學(xué)習(xí)與問題解決的過程中，每一個知識目標(biāo)都被分解為一連串的子目標(biāo)，而這些子目標(biāo)又被分解為一連串的更小的子目標(biāo)，通過目標(biāo)層級分解使得產(chǎn)生式被觸發(fā)，從而不斷深入和把握原有知識結(jié)構(gòu)，以便學(xué)習(xí)新的知識，完成新的經(jīng)驗塊，產(chǎn)生更多的遷移能力，以程序化的形式固定下來.

3. 練習(xí)精致化，促進自動化技能的形成

數(shù)學(xué)探究活動中復(fù)雜問題的解決，都需要基本技能的流暢性. ACT-R理論認(rèn)為“熟能生巧”，“熟”是提高陳述性知識激活水平和產(chǎn)生式強度的必要條件，即知識從陳述性轉(zhuǎn)變?yōu)槌绦蛐缘倪^程中，練習(xí)發(fā)揮著舉足輕重的作用，通過大量的精致練習(xí)，動作和條件之間的反應(yīng)時間大大縮短，它們之間的匹配度得到提高，程序性知識會更加自動化，ACT-R理論實際上也是“做中學(xué)”和“例中學(xué)”的理論.

本節(jié)課基于ACT-R理論的斐波那契數(shù)列教學(xué)設(shè)計，以發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列通項公式及其性質(zhì)為主線，通過“情境背景—設(shè)計方案—小組合作—推進方案—形成成果”這一由陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識的過程，促進學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于合作、勇于創(chuàng)新，而這恰恰是數(shù)學(xué)探究活動的價值所在.

參考文獻：

［1］ 顧泠沅，鮑建生，周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.

［2］ 約翰·安德森. 認(rèn)知心理學(xué)［M］. 楊清，張述祖，譯. 長春：吉林教育出版社，1989.

［3］ 曾海英. 初中數(shù)學(xué)教科書中的數(shù)學(xué)探究活動分析［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016，35（08）：10-15+20.

［4］ 劉偉. 基于ACT-R理論的初中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計研究［D］. 上海師范大學(xué)，2014.

［5］ 葉宏秀，張賢金. 指向核心素養(yǎng)的微項目化學(xué)習(xí)*——以“粗鹽的精制”的教學(xué)為例［J］. 化學(xué)教與學(xué)，2022（11）：59-62.

［6］ 靳玉樂. 探究教學(xué)論［M］. 重慶：西南師范大學(xué)出版社，2000.