基于整體視角下的分點式教學實踐

【摘要】分點式教學注重知識本質的揭示和知識結構的聯系，旨在發應用揮數學的內在力量，發揮學生的最大原動力，凸顯知識的生長性.基于整體視角有效整合教學內容，挖掘知識之間的內在聯系，從整體上把握教學內容，在提高學生對數學的興趣的過程中，將數學意識和思維方式等融入數學的課堂教學過程中，有效落實學科核心素養.

【關鍵詞】整體視角；初中數學；分點式教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出，人人都能獲得良好的數學教育.不同的人在數學上得到不同的發展，逐步形成適應終身發展需要的核心素養.分點式教學就是要讓學生成為課堂真正的主人，教師僅僅是學生自主發展的指導者和引領者，讓學生親自經歷知識的形成過程.打通單元知識內在聯系，在變中求新、變中求進、變中突破，發揮學生的最大原動力.在課堂上，引導學生自主地參與教學過程，讓他們提出一些新問題、新看法，可以發揮學生的創造性思維，引導學生總結解題方法，提升學生解決問題與應用知識的能力，有效落實學科核心素養.本文以“矩形中的折疊問題”的專題課為例，分享一點分點式的教學積累與思考與大家共同探討.

1 教前分析

1.1 教學內容分析

在初中數學中，矩形的折疊是我們常見的一種數學問題，也是初中數學中的一個重要內容.這類問題的解決是有規可循的，由于矩形的折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀及大小，因而在矩形的折疊變換中，保持了許多圖形定量的不變性，如圖形中線段的長短不變，圖形中角的大小不變等.這些圖形定量的不變性，在初中幾何全等圖形問題的解決中，具有很重要的運用價值. 矩形折疊問題中蘊含著重要的軸對稱知識，因此，解決這類問題的關鍵是弄清折痕（即對稱軸）及其兩側的全等圖形，利用軸對稱的性質進行推理、計算.

1.2 學習目標

（1）學生通過對矩形有關折疊問題的探究，理解圖形折疊的本質和其中所蘊含的數學知識和方法.

（2）學生通過對矩形折疊問題的變式練習，掌握矩形折疊問題中求角度和求線段長的方法，體驗成功的快樂.

1.3 教學重、難點

重點 探究矩形中有關折疊問題，體會研究矩形折疊問題的方法.

難點 自主探究解決折疊問題的方法，運用方法解決折疊問題中求角度和求線段長的問題.

2 教學過程

2.1 創設情景，引入新課

布置課前作業 用一張矩形紙片，制作一件手工折紙作品，如圖1、圖2.

教學說明 創設生動活潑、貼近生活的問題情境，讓學生主動參與，樂于探究，在不斷觀察、動手操作的過程中，激發學生學習動機和好奇心.同時讓學生在親身動手體驗中透過現象看本質：折疊的實質就是軸對稱變換.

2.2 師生互動，探究新知

（1）探究活動1

如圖3所示，四邊形ABCD是長方形，把△ACD沿AC折疊到△ACD′，AD′與BC交于點E.

問題1 圖中全等的圖形有哪些？

問題2 圖中相等的線段有哪些？相等的角有哪些？

問題3 圖中還有哪些特殊的三角形？

教學說明 學生初遇翻折問題，往往一片茫然，不知從何下手，究其原因是對由折疊產生的相等線段和相等角這個條件找得不好.另外，因為折疊而形成的圖形較抽象，需要一定的空間想象能力，而這方面能力是學生較欠缺的.通過活動的設計降低折疊的難度，教會學生解決折疊問題的方法.關注基礎薄弱的學生，給予他們鼓勵和信心.

（2）探究活動2

有一矩形紙片ABCD，按如圖4方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF.

問題1 圖中全等的圖形有哪些？

問題2 圖中相等的線段有哪些？相等的角有哪些？

問題3 圖中還有哪些特殊的三角形？特殊的四邊形？

教學說明 強調折疊得全等，全等得邊等、角等.找到相等的線段、角，全等三角形，等腰三角形，還有特殊的四邊形——菱形.抓住不變量，弄清折疊的本質，折疊過程中的變量和不變量.

及時地幫助學生梳理知識和方法，掌握解題方法和技巧.學會用數學的思維思考現實世界.

2.3 應用新知，變式練習

有一矩形紙片ABCD，按如圖5方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF.

問題1 角度的計算

若∠EFD＝65°，求∠AED.

教學說明 學生利用前面探究矩形折疊問題的方法，全等得到相等的角，再利用矩形的對邊平行的性質可以求出角的度數.

問題2 線段的計算

若AD＝3，AB＝9，求BE的長.

教學說明：學生在矩形中求線段的長度，要把矩形中的折疊問題和勾股定理緊密結合，運用方程思想來解決問題.

問題3 面積的計算

求：四邊形DEBF的面積.

教學說明 四邊形DEBF是特殊的四邊形菱形，求面積的方法不唯一，可用底×高，割補法，對角線乘積的一半等方法.

問題4 折痕的計算

求：EF的長．

教學說明 求EF的長方法不唯一，教師引導學生小組交流討論，可以總結得到以下方法：構造直角三角形等積法、菱形的對角線等方法解決問題，通過多種方法，培養學生思維的發散性.

2.4 歸納總結，反思提升

此環節要留給學生足夠的時間來自主總結，使學生學會反思、初步學會自我評價學習效果，鼓勵學生大膽地談談本節的收獲和體會. 生生之間相互補充，教師精準點撥，促使學生的學法和思維都能螺旋式上升，人人都能獲得學習數學的成就感.

3 教學思考

3.1 依據課標和教材編教學案是基于整體視角下的分點式教學的前提

數學知識是一個系統的整體，教師在教學時要讓學生了解知識的發生發展過程以及各知識之間的內在聯系，把握數學內容的本質，建構研究問題的數學方法.教學時以學生的真實程度為基礎，根據課標對教材進行詳細的分析，將知識內容進行分解，設計合理的教學活動讓學生動手操作，得到猜想，進行驗證，讓學生能夠真正地體驗到知識的形成過程.在“矩形中的折疊問題“的專題課中通過兩個探究活動，總結出此類問題的解題思路.首先，我們應該從由折疊產生的軸對稱圖形和背景圖形的性質入手，找出相等的線段、角，直角三角形等，這些是我們解決問題的基本條件；其次，根據這些基本條件，再結合我們在幾何中已有的知識經驗，挖掘常見的基本圖形，從而找到等腰三角形等特殊圖形，這些是解決問題的關鍵.

3.2 問題設計的合理性

要將所學的知識根據學情、難易度分解成若干個臺階，從低到高，易于學生理解和掌握，進而達到讓不同的學生得到不同的發展的目的，同時也達到減負增效的目的.這就要求教師深入研究課程標準，吃透教材，了解學生，根據每個章節的知識點依照概念的引入過程、定理（公式）的發現過程，定理（公式）的應用過程，以及不同層次學生的教學目標，采取由低級向高級、由簡單到復雜，由具體到抽象的循序漸進的方式設計教學活動和問題，使各層次學生的學習在各自的“最近發展區”得到最充分的發展.

有效的教學活動是以學生作為學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.本節課學生利用前面探究矩形折疊問題的方法，解決矩形中角度計算、線段計算、面積計算、折痕計算等問題，一題多變，圖形不變，條件變，培養學生靈活運用知識的能力.弄清折疊的本質，折疊過程中的變量和不變量.采取由低級向高級、由簡單到復雜，由具體到抽象的循序漸進的方式設計教學活動和問題，讓所有程度的學生都能在他們自己的最近發展區中，獲得最大程度的進步，掌握解題方法和技巧，進一步培養學生分析問題和解決問題的能力，提高學生的數學素養.

讓學生根據自己的已有知識和經驗，用自己的思維方式，自由地、開放地去探究，去“再發現”“再創造”有關數學知識的過程.教師要把探索的時間和空間留給學生，多給學生設置一些開放性的問題，多為學生開展一些探索性的活動，幫助學生建立學習信心，相信“不同的學生在數學上得到不同的發展”，使學生的數學學習活動真正成為一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.新課程的理念強調要讓學生通過觀察、操作、提問、嘗試、討論、辯論等主體性活動，積極參與數學問題的生成，解決應用過程，這對促進學生的主動發展具有重要意義.

3.3 活動開展的充分性是基于整體視角下的分點式教學的核心

葉瀾教授提出：人類的教育活動起源于交往，教育是人類一種特殊的交往活動.分點式教學強調有活動，必須有展示.有展示，必須有評價.就是“二評”：一評，小組評價.每練完一個知識點的訓練題組，讓學習小組進行評價，出現的問題由“生幫生”解決；二評，教師評價.在教學中，對所遇到的問題，進行適時的評估，把握“閃光點”，給予激勵，從而激發其對數學的熱情.在互評過程中，學生之間可以互相借鑒，互相之間也可以懂得如何去認識他人的優點，也可以去傾聽他人的意見，還可以借鑒他人的經驗，彌補自己的不足.

教師的評估一般都是以激勵為主要方式，要擅長于尋找到學生身上的閃光點，要對學生的長項進行適時的表揚，即便學生錯誤的回答，也不能輕易地否認他們，而是要在激勵的同時，委婉地提出他們的不足，這樣才能避免影響到他們的信心和學習積極性.分點式的教學，以問題為中心，通過個人或團體的方式，作為交流的載體，全方位地提高學生的問題求解技能.師生應及時對所學知識與方法進行歸納，從學生熟悉的知識點切入，循序漸進，抓住課堂要點，及時調整教學過程，讓學生在活動中獲得經驗和方法，在活動中發展思維能力，在活動中優化思維品質，整個教學過程體現了學生的主體性地位.重視學生數學表達能力和數學理解能力的培養，體現了數學學科的核心素養.

【基金項目：青海省“十四五”教育科學規劃2023年度重點課題“初中數學大單元教學設計與分點式教學實踐融合的策略研究”（課題編號：23QJG02）的階段性研究成果】

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章建躍.數學核心素養如何落實在課堂［J］.中小學數學（高中版），2016（03）：66.