逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘要】新課改背景下初中數(shù)學(xué)教師在為學(xué)生講解基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，需要傳授其必要的解題方式.逆向思維就是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的一種解題技巧，其是從結(jié)果出發(fā)逆向回推，從而快速得證.通過為學(xué)生講解逆向思維解題方法，不僅能調(diào)動(dòng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的探究欲，更能鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏捷性與靈活性.本文通過4道典型例題闡述如何運(yùn)用逆向思維解決初中數(shù)學(xué)問題.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；逆向思維；解題技巧

在解答初中數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生所采用的解題習(xí)慣以及思維方式均會(huì)對解題效率以及正確率產(chǎn)生重要影響［1］.傳統(tǒng)模式下學(xué)生往往使用正向思維分析題干信息，按部就班解出答案，這可能會(huì)耗費(fèi)大量的解題時(shí)間，更容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.逆向思維能夠幫助學(xué)生快速理清題干內(nèi)容，有效突破慣性思維，讓學(xué)生充分運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行反向推導(dǎo)，最終快速有效地解題［2］.研究發(fā)現(xiàn)，逆向思維能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考，提高初中學(xué)生思維的敏捷性與靈活性，培養(yǎng)學(xué)生形成良好的創(chuàng)新意識(shí)［3-5］.

1 否定性命題中逆向思維的運(yùn)用策略

例1 已知：△ABC的三個(gè)內(nèi)角是∠A、∠B、∠C.請證明：∠A、∠B、∠C內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)角是直角的情況.

解析 當(dāng)一個(gè)證明類問題里存在“不能”“不會(huì)”“沒有”“不是”等字眼時(shí)，學(xué)生就需引起重視，這屬于十分典型的否定性命題結(jié)構(gòu).如果學(xué)生想要直接證明該結(jié)論，首先需要對存在的所有可能性進(jìn)行整合，其次逐一論證，整個(gè)過程十分復(fù)雜，且耗費(fèi)時(shí)間.但如果學(xué)生采用逆向思維來進(jìn)行解答，則能夠有效提升解題效率.

證明 假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角，

可設(shè)∠A=90°，∠B=90°，

那么∠A+∠B+∠C>180°，

上述推導(dǎo)結(jié)果和“三角形內(nèi)角和是180°”定理不符.

二者互相矛盾，因此∠A=90°，∠B=90°的假設(shè)不成立，

就說明∠A、∠B、∠C內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)角是直角的情況.

2 存在性命題中逆向思維的運(yùn)用策略

例2 若我們通過O點(diǎn)繪制7條直線，請大家證明：相鄰的兩條直線中，必然有一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的夾角度數(shù)小于26°.

解析 當(dāng)題干中出現(xiàn)“存在”“有”等字眼時(shí)，授課教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用逆向思維進(jìn)行解答，將假設(shè)內(nèi)容變成“沒有一個(gè)”.第一步，由于題干指出通過O點(diǎn)的直線為7條，因此兩兩相鄰形成的夾角數(shù)量為14個(gè)，且14個(gè)夾角度數(shù)的總和為360°.在運(yùn)用逆向思維探究時(shí)，就可以假設(shè)14個(gè)夾角的度數(shù)均不小于26°；第二步，將14個(gè)夾角的度數(shù)相加，比較其與360°的大小，就能夠證明該命題.

證明 把O作為頂點(diǎn)，兩兩相鄰的直線能夠產(chǎn)生14個(gè)夾角，且這些角能夠圍成一個(gè)周角，

假設(shè)14個(gè)角都不小于26°，

可推出，14個(gè)角的度數(shù)之和應(yīng)當(dāng)不小于14×26°=364°>360°，

該結(jié)論與“周角的度數(shù)是360°”的定理不符，

進(jìn)而推出，必然有一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的夾角度數(shù)小于26°.

3 “至少”“至多”命題中逆向思維的運(yùn)用策略

例3 給出任意三個(gè)實(shí)數(shù)，a<b－c、b<c－a、c<a－b三個(gè)不等式中，至多同時(shí)成立兩個(gè)不等式.

解析 很多學(xué)生在看到題干中“至多”等字眼時(shí)會(huì)感到十分棘手，不知該如何解答.此時(shí)數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生使用逆向思維分析，首先假設(shè)上述所有不等式同時(shí)成立，再逐步進(jìn)行推導(dǎo).

證明 由于a、b、c為實(shí)數(shù)，可假設(shè)三者為數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，具體如圖1中的A、B、C.

那么a=OA，

b=OB，

c=OC，

b－c=BC，

c－a=AC，

a－b=AB.

假設(shè)所有不等式同時(shí)成立，

即a<b－c，

b<c－a，

c<a－b，

所以，AO<BC，OB<AC，OC<AB，

此外，OC=OB+BC>OB+OA=AB，

推斷出，OC>AB，這與原本的假設(shè)內(nèi)容互相矛盾，

因此a<b－c、b<c－a、c<a－b三個(gè)不等式中至多同時(shí)成立兩個(gè)不等式.

例4 已知f（x）=x2+px+q，請證明：f（1）、f（2）、f（3）內(nèi)至少有一個(gè)數(shù)值不小于12.

解析 當(dāng)題干中出現(xiàn)“至少”等字眼時(shí)，學(xué)生同樣可以使用逆向思維進(jìn)行分析.因此，我們可以將問題假設(shè)成：f（1）、f（2）、f（3）三個(gè)數(shù)值均小于12，再推導(dǎo)得出不成立即可.

證明 假設(shè)f（1）、f（2）、f（3）三個(gè)數(shù)值均小于12，

即1+p+q<12 （1），

4+2p+q<12 （2），

9+3p+q<12 （3），

那么－32<p+q<－12 （4），

－92<2p+q<－72 （5），

－192<3p+q<－172 （6），

將（4）式與（6）式聯(lián)立：

－112<2p+q<－92 （7），

由此可發(fā)現(xiàn)：（5）式和（7）式互相矛盾，因此原命題正確.

4 結(jié)語

在帶領(lǐng)學(xué)生解答初中數(shù)學(xué)問題時(shí)，授課教師需要為學(xué)生講解逆向思維的內(nèi)涵以及具體解題思路，通過典型例題來提高學(xué)生對逆向思維的實(shí)踐運(yùn)用能力，不斷完善學(xué)生的邏輯思維，切實(shí)提高學(xué)生的解題效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］翟悅涵.逆向思維、出其不意：反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（24）：68-70.

［2］姜倩梅.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2023（32）：35-37.

［3］尹家惠.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力［J］.中學(xué)課程輔導(dǎo)，2023（32）：96-98.

［4］李洪輝.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)方法［J］.試題與研究，2023（33）：1-3.

［5］孫崇美.初中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)教學(xué)創(chuàng)新策略芻議［J］.學(xué)苑教育，2023（31）：19-21.