在小學數學教學中培養學生量感的實踐模式探究

作者簡介：趙娣，中國人民大學附屬小學高級教師。

課題項目：本文系“北京市一體化德育”2023年度課題“一體化德育視域下小學數學學科德育教學策略與方法的實踐研究”的階段性研究成果。課題編號：DYXBEN2023-020。

摘要：量感的建立不是一蹴而就的，它需要慢慢地積累和沉淀。量感的培養是一個較長周期的、反復體驗的、不斷矯正的過程。學生起始階段對量的感性認識可能是片面的、不穩定的，需要通過反復體驗來積累具身經驗。在實踐活動中，教師要注重度量結果估測，拓寬量感邊界。學生通過思考圖形特征、感悟度量本質、發展量感后，就能夠真正學會在新的復雜情境中解決新問題。

關鍵詞：長方形周長；圖形特征；度量本質；理解遷移

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）明確提出了核心素養導向的課程目標，凸顯了課程的育人價值。新課標將數學學科核心素養凝練成“三會”，同時還從作為具體內容的測量中提煉出“量感”，并將其納入了核心素養在小學階段的主要表現之中，在具體內容中的測量與核心素養的主要表現之間建立起聯系，使測量除了知識和技能之外，還能在量感的引導下成為培育“三會”的重要載體。筆者基于新課程理念，將量感的培養模式提煉如圖1所示。

一、從“二維”到“一維”，進行初步直觀感知

量感培養模式可以歸納為：借助生活經驗，形成感性的量感。通過量的感性體驗，可以用大小、快慢等語言初步表達量感結果，該階段的量感更多地保留了本能的色彩，是對所見所聞籠統地進行表達。此時，學生對生活中的量產生了初步認識，借助感性的量感定性解決問題，這種量感結果多是通過感官刺激形成的簡單認知，如感知正常行駛中的汽車比自行車要快，雖不精確，但卻是量感生長的基礎。

【教學片段1】交流方法，理解周長本質

教師讓學生在交流中多角度感知圖形的周長，通過層層遞進，經歷抽象過程，從而理解周長的本質。

師：給小菜地安裝圍欄，圍在哪？怎樣圍？

生：我從起點沿著邊線又回到了起點，圍了菜地（模型）的一圈。

生：我是一段一段，找到了邊線的全部，不多不少，全都給圍了起來，也是一圈。

生：我發現大家都圍了小菜地（模型）的一圈。

【分析與思考】層層深入地理解“一周”的數學本質：（1）圍繞小菜地（模型）的邊緣——明確“邊線”；（2）封閉——沒有空隙，從起點出發繞一周回到起點，所有邊線的總和，從“一圈”抽象到“一周”。

【教學片段2】比較周長，體會化曲為直

師：請把這兩塊菜地的一周寫到黑板上（一塊橢圓形菜地，一塊長方形菜地）。

師：它們的一周哪個更長一些？

生：可以把其中一個的一周“取”下來，繞著另外一個圍一圈，如果多了就是長，如果不夠就是短（化曲為直）。

生：可以把橢圓形的一周取下來，用尺子量一量。長方形的一周可以直接測量長和寬，再進行比較（以直代曲）。

生：也可以把兩個“一周”都取下來，比比長短。

師：那現在就請你把兩塊菜地一周的茅根線取下來，比一比吧。

（學生沿著一周，將茅根線取下來拉直，進行比較操作）

師：看，剛剛還是彎曲的線，現在已經？

生：（齊答）變直了。

師：這正體現了一種數學思想，叫“化曲為直”。

【分析與思考】學生經歷實物操作→形象感知→抽象概念的過程，進一步理解“封閉圖形一周的長度是它的周長”。由生活中的書畫作品抽象到平面圖形，鞏固“一周”的直觀表象。通過交流討論后，學生會發現，長方形、正方形等直邊圖形的周長可以用直尺測量，但是不規則圖形則需要采用“化曲為直”的方法來測量周長。通過這些操作，學生能感悟到平面圖形周長的本質——“周”只是前提，而“長”才是本質。

二、多種方法類比和遷移，建立理性認知

在感性經驗的基礎上，學生借助量的理性感知將感性的量感升華為理性的量感，通過量的測量判斷、量的單位轉換、量的計算應用，以“數字+度量單位”的方式科學表達單一物理量的感知結果。理性量感的形成更多依賴于學生在學校中接受的數學教育，其關鍵在于學生領悟如何借助度量單位感知、思考、表述自身的量感結果。此時，學生可合理使用測量工具進行目標物理量的測量或估測，通過單位換算找到最合理的輸出結果。理性的量感局限性在于學生只能關注情境中單一維度的量，難以把握不同維度量之間的客觀聯系。

【教學片段3】鏈接生活與數學，發現與提出問題

播放“校園里美麗的秋景”小視頻，學生觀看學校的美麗景色，關注到小菜地的圍欄有破損問題（見圖2）。

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圖2 校園里美麗的秋景（視頻截圖）

師：要給小菜地更換圍欄，你想研究哪些問題？

生：只有知道周長，才能知道需要買多長的圍擋，即要求出小菜地的周長是多少？

生：需要測量所有圖形的周長嗎？

生：需要，而且需要進行實地測量。

生：要計算出一共要購買多長的木板，就要量出每一塊小菜地的周長，加起來就是需要購買的木板的長度。

生：不用量所有的邊，有的圖形量一部分就行。

【分析與思考】從學生熟悉的場景引入，以真實情境引發真實的數學問題，產生測量周長的需求。學生圍繞周長概念及圖形特征進行補充與質疑，由此實現了思維從“形象”向“抽象”的過渡，加深了對周長概念的理解，發展了量感，實現了思維進階。

【教學片段4】探索長方形周長的測量計算方法

師：接下來，我們一起交流如何求長方形的周長。

生：我量了長方形4條邊的長度，再加起來，列式是7 + 3 + 7 + 3 = 20（厘米）。

生：我的想法和你不同，因為長方形對邊相等，所以只需要量出一條長和一條寬就可以了。長7厘米，寬3厘米，我的列式是7 × 2 + 3 × 2 = 20（厘米）。

生：我還想補充，因為長方形對邊相等，我把一條長和一條寬這兩條邊看成一組，就是7 + 3，有這樣的兩組，我的列式是（7 + 3） × 2 = 20（厘米）。

師：仔細觀察這些計算周長的方法，它們有什么不同？又有什么相同？

生：他們計算的方法不同，第一位同學認為長方形的周長就是一條邊一條邊逐一相加就行了；第二位同學是運用長方形對邊相等的特征思考的，兩條長相等，寫成了7 × 2；兩條寬相等，就是3 × 2；第三位同學看到了一個長方形中有2組長和寬，就是（7 + 3） × 2。

生：他們的方法也有相同之處，不管是一條邊一條邊累加，還是用兩個長加兩個寬，還是先求一個長和一個寬的長度，再乘以2，求2組長和寬的長度，都是在求長方形這四條邊的總長度，求出來的都是這個長方形的周長。

師：你們總結得很好，看來，方法不同是由于我們看待圖形的角度不同，但相同的是我們都在計算這個長方形的周長。

【分析與思考】活動中提出“計算長方形周長的方法有什么不同？又有什么相同？”這一個關鍵問題，旨在讓學生感受圖形認識是度量的基礎，同時從度量角度又可以使學生加深對圖形特征的認識。研究長方形的周長也使學生對長方形的刻畫又多了一個維度。從學生對“不同”與“相同”兩個角度的回答，也能看到學生從度量的角度不僅實現了對圖形特征的再認識，也由此積累了由圖形特征出發去思考如何求周長的經驗。

【教學片段5】遷移解決其他圖形周長的測量計算方法

師：根據我們已研究的長方形周長的經驗和思考，剩下這些圖形的周長，你們打算怎么研究？

小組合作要求：（1）先思考怎樣能很快得到其他圖形的周長；（2）分享時說清楚你們是怎么做的，研究的是哪個圖形，方法是什么。

學生小組合作進行研究后匯報（見圖3）。

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-30.psd>

圖3 學生匯報結果

生：三角形和六邊形這兩個圖形的每條邊長度是一樣的，可以只測量一條邊。

生：我能說得更清楚，這個圖形是等邊三角形，這個圖形是正六邊形，計算這個兩個圖形的周長和正方形一樣，就是只測量一條邊。等邊三角形的周長可用一條邊的長度乘3，正六邊形的周長可用一條邊的長度乘6。平行四邊形的周長和長方形周長計算方法也是一樣，都是對邊相等，可以分組計算周長。

生：我發現所有的圖形都可以把它所有的邊加起來求和，但是這種方法有點慢，能觀察出一個圖形的特點很重要。如果我們發現一個圖形每條邊的長度都一樣，為了加快速度，可以只測量一條邊，有幾條這樣的邊就乘幾，這種方法最快；有的圖形可以將邊根據長短分組計算周長，只需要測量出圖形一組的邊長，有這樣的幾組就乘幾。

【分析與思考】通過交流討論，學生把探究長方形周長的經驗遷移到解決其他圖形的周長中。在探究的過程中，學生根據圖形的特征自覺把多個圖形按照圖形的特征進行歸類分析，發展了遷移、類比、歸納的能力。同時，這一過程也深化了學生對周長概念的理解。

在研究小菜地其他圖形的周長時，教師最初的設計方案是帶著學生進行歸類整理，但這樣學生感悟不深，因為這些不是他們自己發現的。改成小組合作后，小組成員在交流的過程中思維不斷碰撞，通過數形結合，學生借助幾何直觀，進一步觀察到圖形數的特征，從而做到自主分類，經歷了感悟的過程。對部分學生來說，圖形按照特征來測量這件事，不是一節課就可以掌握的，在后續的學習中還要不斷培養這種遷移、類比的能力，真正實現在新的復雜情境中解決新問題。

三、實施探究實踐，形成推理應用

在理性量感的基礎上，教師要引導學生借助量的合理辨析、量的測量判斷形成辨析量感。例如，學生可以用一個重量為1千克，且體積為1立方分米的物體，綜合表達多種物理量的量感結果。辨析量感是學生量感發展的高級階段，其形成依賴于課堂教學以及應用實踐兩個方面。學生在具備理性的量感基礎上，通過多次練習以及解決實際問題，可以逐7c3f6e641f9921070acb3aab005e3cf8676967ed3188cd92b23655f2a27d3660漸發現物理量之間的聯系，在教師的指導下嘗試用理性的量感去概括這種聯系的本質，并嘗試用聯系的觀點創造性地解決情境中的量感問題。同時，逐步厘清不同維度物理量的區別與聯系是理性量感進一步升華的方向。

【活動任務】

（1）測量學校里百年長廊的柱子、大樹或操場的一圈大約有多長；

（2）在校園里再選擇一個你感興趣的物體的周長量一量。

【議一議】

（1）組內互相說一說，可能有哪些測量方法，你們準備用哪種？

（2）討論如何進行周長的測量，從哪里開始測，到哪里結束？

（3）活動時需要選擇哪些測量工具，記錄哪些測量數據？

（4）小組內如何分工合作？

【做一做】

實際進行測量，并填寫小組活動記錄單（見表1）。

表1 小組活動記錄單

[測量對象 測量方法 測量過程 測量結果 操場一圈長度 步測 用尺子量出一步的長度是（ ）厘米 （ ）米 ]

【想一想】

（1）在上面的活動中，使用了哪些測量的方法？這些方法還可以用到哪里？

（2）選擇的測量工具有哪些？在使用它們的過程中需要注意什么？

（3）記錄了哪些數據？這些數據在今后什么地方可能用到？

（4）在上面的活動中，你有什么收獲？你還想進一步研究哪些問題？

【自我評價】

對自己在這次活動中的表現進行評價（見表2）。

表2 活動評價

[能找到合適的測量方法 ☆ ☆☆ ☆☆☆ 能找到測量的位置 ☆ ☆☆ ☆☆☆ 會選擇適當的工具 ☆ ☆☆ ☆☆☆ 小組內能合理分工 ☆ ☆☆ ☆☆☆ 測量結果比較合理 ☆ ☆☆ ☆☆☆ ]

量感的建立不是一蹴而就的，它需要慢慢地積累和沉淀。在實踐活動中，教師要注重度量結果估測，拓寬量感邊界。對很多學生來說，將圖形按照特征來測量這個能力，不是一節課可以習得的，教師還需要在后續的教學中不斷培養學生這種遷移、類比的能力。學生通過思考圖形特征、感悟度量本質、發展量感后，就能夠真正學會在新的復雜情境中解決新問題。

參考文獻：

［1］孫曉天，張丹.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀 小學數學［M］.北京：教育科學出版社，2022.

［2］娜仁格日樂，史寧中.度量單位的本質及小學數學教學［J］.數學教育學報，2018（6）.

（責任編輯：楊強）