對(duì)一道物理選擇題“一題多解”的深度剖析

收稿日期：2023-11-22

作者簡(jiǎn)介：劉榮（1984-），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中物理教學(xué)研究。

摘" "要：通過(guò)對(duì)一道物理選擇題“一題多解”出現(xiàn)不同結(jié)果的教學(xué)案例進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，溫故知新。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)的合成；運(yùn)動(dòng)的分解；相對(duì)性原理

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " 文章編號(hào)：1003-6148（2024）4-0074-3

１" " 提出問(wèn)題

運(yùn)動(dòng)的合成與分解是處理曲線運(yùn)動(dòng)的一種常用方法，它可以化曲為直，將復(fù)雜、陌生的運(yùn)動(dòng)分解成簡(jiǎn)單、熟悉的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，使問(wèn)題的解決得以簡(jiǎn)化。但學(xué)生在解決該類問(wèn)題時(shí)往往憑借已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)生搬硬套。筆者在教學(xué)過(guò)程中就遇到了一道典型的問(wèn)題，原題如下：

如圖１所示，一根細(xì)繩的上端系在Ｏ點(diǎn)，下端系一個(gè)重球Ｂ，放在粗糙的斜面體Ａ上，現(xiàn)用水平推力Ｆ向右推斜面體使之在光滑水平面上以某速度向右勻速運(yùn)動(dòng)一段距離（細(xì)繩尚未到達(dá)平行于斜面的位置）。在此過(guò)程中（ ）

Ａ．重球Ｂ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

Ｂ．摩擦力對(duì)重球Ｂ做正功

Ｃ．水平推力Ｆ和重球Ｂ對(duì)斜面體Ａ做功的絕對(duì)值大小相等

Ｄ．斜面體Ａ對(duì)重球Ｂ所做的功與重球Ｂ對(duì)斜面體Ａ所做的功絕對(duì)值大小相等

■

圖1" 原題圖

解析 重球Ｂ的受力分析、運(yùn)動(dòng)軌跡如圖２所示。摩擦力與位移的夾角為銳角，故摩擦力對(duì)重球Ｂ做正功，Ｂ選項(xiàng)正確；斜面體A勻速運(yùn)動(dòng)其動(dòng)能不變，合外力做功為０，故Ｃ選項(xiàng)正確；Ａ對(duì)Ｂ的作用力與Ｂ對(duì)Ａ的作用力大小相等，但由于Ａ和 Ｂ之間有相對(duì)滑動(dòng)，故其位移大小不等，Ｄ選項(xiàng)錯(cuò)誤。下面重點(diǎn)分析Ａ選項(xiàng)。

■

圖2" 受力分析

解法一 如圖３所示，將重球Ｂ的速度vB分解為水平方向的速度v和沿繩方向的速度v1。由幾何關(guān)系可得vB=vcosθ，重球Ｂ運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，繩與豎直方向的夾角θ逐漸增大，故vB逐漸減小。

■

圖3" 速度分析一

解法二 如圖４所示，將重球Ｂ的速度vB分解為水平方向的速度v和豎直方向的速度v2。由幾何關(guān)系可得vB=■，重球Ｂ運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，繩與豎直方向的夾角θ逐漸增大，故vB逐漸增大。

■

圖4" 速度分析二

解法三 如圖５所示，將重球Ｂ的速度vB分解為水平方向的速度v和沿斜面方向的速度v3。重球Ｂ運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，繩與豎直方向的夾角θ逐漸增大，則vB與水平方向的夾角逐漸增大，但水平分速度v恒定，沿斜面方向的分速度v3方向不變。由圖６可得，vB先減小后增大。但由于題目要求細(xì)繩尚未到達(dá)平行于斜面的位置，當(dāng)繩與斜面平行時(shí)，vB恰好與v3垂直，故該過(guò)程中vB逐漸減小。

■

圖5" 速度分析三

■

圖6" 速度分析四

２" " 解法剖析

三種解題方法的焦點(diǎn)是重球Ｂ在水平方向的分速度與斜面體的運(yùn)動(dòng)速度是否相等。如圖７所示，解法一將重球的運(yùn)動(dòng)等效為先沿水平方向運(yùn)動(dòng)，再沿繩子方向運(yùn)動(dòng)。解法二將重球的運(yùn)動(dòng)等效為先沿水平方向運(yùn)動(dòng)，再沿豎直方向運(yùn)動(dòng)。這兩種解法重球的水平分位移明顯小于斜面體的位移，故其水平分速度小于v。解法三將重球的運(yùn)動(dòng)等效為先沿水平方向運(yùn)動(dòng)，再沿斜面方向運(yùn)動(dòng)，其水平分位移恰好等于斜面體的位移，即重球水平分速度等于斜面體的速度v，解法三正確，重球Ｂ做速度減小的圓周運(yùn)動(dòng)，Ａ選項(xiàng)錯(cuò)誤。解法一和解法三的結(jié)果雖然相同，但解法一僅僅是重球Ｂ運(yùn)動(dòng)過(guò)程中末狀態(tài)（繩子與斜面平行）的情況（只有末狀態(tài)時(shí)水平速度等于ｖ），用一個(gè)特殊的狀態(tài)描述一個(gè)一般的過(guò)程，顯然是不妥的。

■

（a）解法一

■

（b）解法二

■

（c）解法三

圖7" 三種解法對(duì)比

３" " 錯(cuò)解歸因

筆者查閱了幾本教輔用書，該題的解法都采用解法一，基礎(chǔ)較好的學(xué)生對(duì)解法一也比較認(rèn)可，究其原因是受到收繩問(wèn)題的影響（如下題）。

如圖８所示，人在岸上捉住繩上的Ａ點(diǎn)以速度ｖ０水平向左勻速拉動(dòng)輕繩，繩跨過(guò)定滑輪拉著在水面上向左移動(dòng)的小船Ｂ。若某一瞬間繩與水平方向的夾角為θ，則此時(shí)小船Ｂ的速度ｖ為多大？

■

圖8" 人拉船問(wèn)題

解析 如圖９所示，小船的運(yùn)動(dòng)可等效為繞定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿繩子方向的上升，由幾何關(guān)系可得小船的速度v=■。

■

圖9" "對(duì)人拉船的運(yùn)動(dòng)分析

收繩問(wèn)題之所以這樣分解，關(guān)鍵在于繩子是不可伸長(zhǎng)的，定滑輪左側(cè)繩子的伸長(zhǎng)量和定滑輪右側(cè)繩子的縮小量相等，從而決定了小船沿繩子上升的速度與拉繩的速度相等。

受平拋運(yùn)動(dòng)研究方法的影響，大多數(shù)學(xué)生比較認(rèn)可解法二。平拋運(yùn)動(dòng)是高中學(xué)生第一次接觸到利用合成與分解的思想研究曲線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)也使學(xué)生意識(shí)到可以通過(guò)分解的方法將一個(gè)陌生的運(yùn)動(dòng)分成兩個(gè)熟悉的運(yùn)動(dòng)（勻速直線運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)），給學(xué)生留下了深刻的印象。也正是這種成功的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用催生了解法二，但學(xué)生并沒(méi)有意識(shí)到將重球Ｂ的運(yùn)動(dòng)分解成水平和豎直兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)是否為他們所熟悉的，這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)是否可解。

４" " "思維提升

運(yùn)動(dòng)的合成與分解是描述運(yùn)動(dòng)的位移、速度、加速度的合成與分解，其方法是平行四邊形定則。一個(gè)矢量根據(jù)平行四邊形定則可以分解在任意兩個(gè)方向上，可以有無(wú)數(shù)對(duì)的分量。按照這一原則，三種分解方法都是可行的，但根據(jù)伽利略相對(duì)性原理的速度變化關(guān)系：“絕對(duì)”速度等于牽連速度與相對(duì)速度的矢量和［１］，則重球Ｂ相對(duì)地面的速度等于斜面體相對(duì)地面的速度與重球Ｂ相對(duì)斜面體的速度的矢量和，顯然只有解法三正確。

學(xué)生之所以出現(xiàn)上述問(wèn)題，從表面上看是對(duì)“成功學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”的應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)是對(duì)相對(duì)性原理的理解不透徹，應(yīng)用不靈活。為了消除學(xué)生在解答該類問(wèn)題時(shí)的思維困惑，筆者在上述教學(xué)后又以粵教版必修２第一章章末習(xí)題第１題為例引導(dǎo)學(xué)生分析。原題如下：

雨點(diǎn)以３ ｍ/ｓ的速度豎直下落，行人感到雨點(diǎn)與豎直方向成３０°角迎面打來(lái)，那么人行走的速度是多少？

解析 不妨設(shè)人向右行走，其速度大小為ｖ，雨滴相對(duì)人的速度為v1，雨滴相對(duì)地面的速度為v2。

解法一 以人為參考系，根據(jù)速度變化關(guān)系，雨滴相對(duì)人的速度等于地面相對(duì)人的速度與雨滴相對(duì)地面的速度的矢量和（圖１０），由幾何關(guān)系得人行走的速度v=v2tan３０°=1.73 m/s。

■

圖10" 以人為參考系

解法二 以地面為參考系，根據(jù)速度變化關(guān)系，雨滴相對(duì)地面的速度等于人相對(duì)地面的速度與雨滴相對(duì)人的速度的矢量和（圖１１），由幾何關(guān)系得人行走的速度v=v2tan３０°=1.73 m/s。

■

圖11" 以地面為參考系

兩種解題方法雖選擇不同的參考系進(jìn)行解答，但最終“殊途同歸”。通過(guò)該題的分析加深學(xué)生對(duì)相對(duì)性原理的理解，同時(shí)使學(xué)生體會(huì)到運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的描述都是相對(duì)于某一參考系。根據(jù)相對(duì)性原理，在研究力學(xué)現(xiàn)象時(shí)，一切慣性參考系都是等價(jià)的。

參考文獻(xiàn)：

［１］周衍柏．理論力學(xué)教程（第2版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８６：２１.

（欄目編輯" " 蔣小平）