對一道多物體機(jī)械能守恒習(xí)題錯解的糾正與思考

收稿日期：2023-09-20

作者簡介：羅金龍（2000-），男，黃岡師范學(xué)院 2020 級本科生，研究方向?yàn)橹袑W(xué)物理教育教學(xué)研究。

摘" "要：針對同一道習(xí)題學(xué)生給出的兩種不同解法，對其中的錯誤解法進(jìn)行詳細(xì)分析與糾正，再根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理給出第三種解法，并將問題拓展，最后對高中物理的教學(xué)工作提出了一些建議。

關(guān)鍵詞：機(jī)械能守恒；質(zhì)心；轉(zhuǎn)動；等效法

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）4-0066-3

在高中物理必修二“機(jī)械能守恒定律”這一章節(jié)的教學(xué)過程中，時常遇到由兩個物體（質(zhì)點(diǎn)）組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒的習(xí)題［１］，以豎直面內(nèi)的桿球連接體為例，由于該模型的運(yùn)動形態(tài)并非一維直線運(yùn)動，而是二維平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動，加之對多物體系統(tǒng)問題研究對象的選取有較大靈活性，因而解題方法多樣。這導(dǎo)致部分學(xué)生在處理問題時“不小心”走出了高中知識的范疇，故而所得結(jié)果不同。

１" " 問題緣起

在習(xí)題課上，兩個學(xué)生對同一道題分別給出了兩種解法，所得結(jié)果截然不同，原題如下。

如圖１所示，長為L的輕桿兩端，各固定一個質(zhì)量分別為2m和m的小球A和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），B球與光滑轉(zhuǎn)軸O之間相距■。桿在水平位置由靜止釋放后可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，不計空氣阻力，重力加速度為g。求：

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圖1" 原題附圖

（1）小球A和B在運(yùn)動過程中的速度大小之比；

（２）當(dāng)A球運(yùn)動到最低點(diǎn)時的速度大小；

（３）A球從開始到最低點(diǎn)過程中機(jī)械能的變化量。

本題第（１）問根據(jù)兩小球發(fā)生同軸轉(zhuǎn)動角速度時刻相等，即可得出兩球速度大小之比等于其繞軸轉(zhuǎn)動的半徑之比；第（３）問則需在第（２）問的基礎(chǔ)上求得。下面重點(diǎn)討論兩個學(xué)生對第（２）問給出的兩種解答。

學(xué)生１：取兩小球與輕桿組成的系統(tǒng)為研究對象，在桿發(fā)生轉(zhuǎn)動的過程中，由于只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)當(dāng)A球運(yùn)動到最低點(diǎn)時A球速度為vA，B球速度為vB，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A球減少的重力勢能等于B球增加的重力勢能與兩球獲得的動能之和，即

2mg■=mg■+■·2mv■■+■mv■■（１）

由第（１）問有vA=2vB，聯(lián)立可解得vA=■■。

學(xué)生２：如圖２所示，取兩球的重心C作為研究對象，根據(jù)兩球的質(zhì)量關(guān)系可知重心的位置在距A球■處，即OC=■，此時將兩小球的轉(zhuǎn)動等效處理為質(zhì)心C繞軸轉(zhuǎn)動。設(shè)A球運(yùn)動到最低點(diǎn)時質(zhì)心C的速度為vC，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

3mg■=■·3mv■■（２）

解得v■=■，又因?yàn)関C=■ω，vA=■ω，所以vA=2v■=■■。

由以上過程可以看出兩個學(xué)生的解法所得結(jié)果并不相同。問題出在何處？又應(yīng)如何對學(xué)生作出解釋？

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圖2" 小球質(zhì)心等效示意圖

２" " 問題分析與解答

我們仔細(xì)對比（１）（２）式不難發(fā)現(xiàn)，A和B兩球總重力勢能的減少量與等效后質(zhì)心C重力勢能的減少量相同，而A和B兩球增加的總動能E■+E■=■·2m（■Lω）2+■m（■Lω）2=■mL2ω2，質(zhì)心C增加的動能E■=■·3m（■Lω）2=■mL2ω2，顯然質(zhì)心增加的動能小于兩球增加的總動能。其中的原因在于，學(xué)生２給出的解法中直接將質(zhì)心的動能視為系統(tǒng)的動能，不經(jīng)意間走入了多物體系統(tǒng)動能表示方法的誤區(qū)。

在中學(xué)階段，我們經(jīng)常接觸的多物體系統(tǒng)一般情況都可視作一個質(zhì)點(diǎn)組，又由于高中物理涉及到的模型中物體的運(yùn)動狀態(tài)多為平動，而在平動的情況下質(zhì)點(diǎn)組可等效為一個質(zhì)點(diǎn)處理，即此時質(zhì)點(diǎn)組的動能可視為將其質(zhì)量集中在其內(nèi)部任何一點(diǎn)時的動能。根據(jù)柯尼希定理“質(zhì)點(diǎn)組的動能等于質(zhì)心的動能與各質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心的動能之和”，在平動情況下，各質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心的動能為零，質(zhì)點(diǎn)組的動能便可直接由質(zhì)心的動能來表示。然而，如果涉及到轉(zhuǎn)動問題，各個質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心的動能便不再為零，就不能直接進(jìn)行等效處理。學(xué)生２在解答過程中犯了一個“隱蔽”的錯誤。

經(jīng)過以上分析，在學(xué)生２給出的解法中，系統(tǒng)重力勢能的變化量可以由質(zhì)心的重力勢能變化量來表示；但由于A和B兩球相對于質(zhì)心發(fā)生了轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)的動能就不能直接用質(zhì)心的動能來表示了。根據(jù)柯尼希定理，（２）式的正確列式應(yīng)為

3mg■=■·3m（■Lω）2+■·2m（■Lω）2+

■m（■Lω）2（３）

（３）式右邊第一項(xiàng)為質(zhì)心的動能，第二項(xiàng)為A球相對于質(zhì)心的動能，第三項(xiàng)為B球相對于質(zhì)心的動能。由（３）式可解得ω=■，所以A球運(yùn)動至最低點(diǎn)時的速度大小vA=■Lω=■■。

可以看出，當(dāng)我們在學(xué)生２的解法中加上兩球相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能后，所得結(jié)果便與學(xué)生１的相同了。

３" " 問題拓展

當(dāng)用質(zhì)心等效法求解小球速度時，根據(jù)柯尼希定理需要考慮兩球相對于質(zhì)心的動能，學(xué)生容易犯下“隱蔽”的錯誤，那么是否還有其他方法？實(shí)際上，本題也可視作大學(xué)物理中剛體轉(zhuǎn)動的問題［２］，可根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理來求解。

A球繞轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量J1=2m（■L）2=■mL2，B球繞轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量J2=m（■L）2=■mL2。由于不考慮桿的質(zhì)量，且桿在轉(zhuǎn)動過程中只有重力對小球做功，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理有3mg■=■J1ω2+■J2ω2，解得A 球運(yùn)動至最低點(diǎn)時角速度ω =■，即vA=■Lω=■■，與學(xué)生1的結(jié)果一致。

在中學(xué)階段，遇到桿、繩等一類物體一般不考慮其質(zhì)量，其作用僅限于使物體之間發(fā)生相互作用。于是，會有學(xué)生產(chǎn)生疑問：若本題中考慮桿的質(zhì)量，則球的速度又應(yīng)如何求解？對于這個問題，我們同樣可以根據(jù)柯尼希定理由質(zhì)心等效法進(jìn)行處理，但由于要先找到質(zhì)心位置，并表示出各部分相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能，明顯質(zhì)心等效法在此情境下略顯麻煩，所以若用剛體轉(zhuǎn)動的動能定理進(jìn)行處理將會簡潔一些。

不妨設(shè)長為L的桿的質(zhì)量為m且質(zhì)量分布均勻，取其線密度為λ，故桿繞轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量J3=■r2dm=■λr2dr=■λL3=■mL2。如圖３所示，桿的重心C'在距O點(diǎn)■處，由剛體轉(zhuǎn)動動能定理有3mg■+mg■=■J1ω' 2+■J2ω' 2+■J3ω' 2，解得ω'=■，即得到當(dāng)勻質(zhì)桿的質(zhì)量為m時A球運(yùn)動到最低點(diǎn)的速度為v'■=■Lω'=■■。值得注意的是，當(dāng)桿的質(zhì)量不同時，其轉(zhuǎn)動慣量J3也不同，所求的球速度會發(fā)生相應(yīng)變化。

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圖3" "質(zhì)心等效示意圖

４" " 總結(jié)與思考

通過上文的論述，得出了學(xué)生２的解法錯誤的原因所在。顯然，對于高中生而言（下轉(zhuǎn)第70頁）（上接第67頁）只能采用學(xué)生１的解法進(jìn)行定量計算。而作為教師，在考慮學(xué)生知識基礎(chǔ)的前提下，應(yīng)充分發(fā)揮教學(xué)機(jī)智，將學(xué)生的錯誤有效地轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源，適當(dāng)?shù)匕芽履嵯６ɡ砼c剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理等內(nèi)容作為課堂上的知識拓展或?qū)栴}的定性說明。如此既能打消學(xué)生現(xiàn)階段心中的疑惑，也能激發(fā)學(xué)生探索廣闊物理世界的好奇心。這也順應(yīng)了在新高考改革的大背景下，高中物理教師要改變“高考考什么，教師就只教什么，學(xué)生就只學(xué)什么”的觀念，在教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)進(jìn)行拓展，不斷開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的求知欲，為高校人才培養(yǎng)與學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)［３］，以實(shí)際行動為我國大、中學(xué)物理教育銜接工作貢獻(xiàn)一份綿薄之力。

參考文獻(xiàn)：

［１］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心．普通高中教科書物理必修第二冊［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．

［２］馬文蔚，周雨青，解希順．物理學(xué)（上冊）（第七版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０２０：１２７－１３１．

［３］曹海霞．淺談大學(xué)物理與中學(xué)物理教學(xué)的有效銜接［Ｊ］．物理教師，２０２１，４２（１０）：２５－２９．

（欄目編輯" " 蔣小平）