轉換參考系 讓規律可視化

收稿日期：2023-09-23

基金項目：云南省教育科學規劃立項課題“基于學習進階的物理可視化體系的開發與利用研究”（BFCZ2038）；保山教育研究院立項課題“基于物理核心素養的本土化命題實踐”（bsjjt001）；保山教育研究院立項課題“指向學科融合的物數雙科教學模式構建”（bsjjt002）。

作者簡介：蔣金團（１９８４-），男，中學高級教師，主要從事高中物理教學工作。

摘" "要：通過轉換參考系，巧妙尋找出小球與圓盤多次碰撞后的運動規律，并用流程圖和坐標軸將規律可視化，結合等差數列的知識，巧妙突破問題的難點所在，提升學生的學科素養。

關鍵詞：參考系；可視化；彈性碰撞；豎直上拋運動；等差數列；動量定理

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）4-0050-4

２０２３年全國乙卷物理壓軸題以小球和薄圓盤在長直圓管內的多次彈性碰撞為背景，考查動量守恒定律、機械能守恒定律和豎直上拋運動等知識的綜合應用。從知識點的角度來看，此題涉及了動量觀、能量觀和運動觀，體現了核心素養中的物理觀念；從運動過程的角度來看，本題涉及了豎直上拋運動的處理方法及追及相遇模型的建構。答題時需要用基本規律計算出每次碰撞后的速度及位移，進而用不完全歸納法尋找出模型對應的運動規律，體現了核心素養中的科學思維。該題是以核心素養為導向的優質試題，值得細細品味。

１" " 試題呈現

如圖１，一豎直固定的長直圓管內有一質量為Ｍ的靜止薄圓盤，圓盤與管的上端口距離為ｌ，圓管長度為20l。一質量m=■M的小球從管的上端口由靜止下落，并撞在圓盤中心，圓盤向下滑動，所受滑動摩擦力與其所受重力大小相等。小球在管內運動時與管壁不接觸，圓盤始終水平，小球與圓盤發生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短。不計空氣阻力，重力加速度大小為ｇ。求：

（１）第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大??；

（２）在第一次碰撞到第二次碰撞之間，小球與圓盤間的最遠距離；

（３）圓盤在管內運動過程中，小球與圓盤碰撞的次數。

■

圖1" 題目示意圖

解析 （１）過程１：小球釋放后自由下落，下降l，根據機械能守恒定律

mgl=■mv■■

解得v0=■

過程２：小球以■與靜止圓盤發生彈性碰撞，根據能量守恒定律和動量守恒定律

■mv■■=■mv■■+■MV■■

mv0=mv1+MV1

解得v■=■v■=-■

V1=■v■=■

即小球碰后速度大小為■，方向豎直向上；圓盤速度大小為■，方向豎直向下。

（２）第一次碰后，小球做豎直上拋運動。圓盤所受摩擦力與重力平衡，勻速下滑。所以，只要圓盤下降速度比小球快，兩者間距就不斷增大。當兩者速度相同時，間距最大，即v1+gt=V1

解得t=■=■

根據運動學公式得最大距離為

dmax=x■-x■=V1t-（v1t+■gt2）=■=l

（３）第一次碰撞后到第二次碰撞前瞬間，兩者位移相等，則有 x■=x■

即v1t1+■gt■■=V■t1

解得

t1=■

此時小球的速度v'1=v1+gt1=■v0

圓盤的速度仍為V1，這段時間內圓盤下降的位移

x■=V■t1=■=2l

之后，第二次發生彈性碰撞，根據動量守恒定律

mv'■+MV■=mv■+MV■

根據能量守恒定律

■mv■■+■MV■■=■mv■■+■MV■■

聯立解得

v2=0，V2 =v0

第二次碰撞后到第三次碰撞前瞬間，兩者位移相等，有

x■=x■，V2 t2=■gt■■

解得

t2=■

圓盤向下運動x■=V2 t2=■=4l

此時，圓盤距下端管口長度為１３ｌ，之后兩者第三次發生碰撞，碰前小球的速度v'2=gt2=2v0

由動量守恒定律

mv'2+MV2 =mv3+MV3

由機械能守恒定律

■mv'2+■MV■■=■mv■■+■MV■■

得碰后小球速度v3=■

圓盤速度V3 =■

第三次碰撞后到第四次碰撞前瞬間，有

ｘ■＝ ｘ■

即V3 t3=v3 t3+■gt■■

解得

t3=■=t1=t2

在這段時間內，圓盤向下移動

ｘ■＝V3 t3=■=6l

此時，圓盤距離下端管口長度為

２０ｌ－ｌ－２ｌ－４ｌ－６ｌ ＝７ｌ

此時，可得出圓盤每次碰后到下一次碰前，下降距離逐次增加２ｌ，故若發生下一次碰撞，圓盤將向下移動ｘ■＝8lgt;7l。

因此，圓盤在管內運動的過程中，小球與圓盤的碰撞次數為４次。

解法點評 追及問題的實質是尋找追及者與被追及者的時間關系與空間關系。上述解法利用勻變速直線運動規律、動量守恒定律和能量守恒定律分別算出每次碰撞前瞬間和碰撞后瞬間兩者的速度，再算出相鄰兩次碰撞間的位移和時間，這實質是尋找兩者的時空關系，因此該解法屬于傳統解法。但由于小球與圓盤的碰撞次數較多，至少應算出三次碰撞后的位移，才能用數學歸納法探究出該模型隱藏的等差數列規律，這中間涉及較多碰前、碰后速度，過程繁瑣，學生容易混淆。該解法沒有用表格或圖像的形式將題中關鍵點展示出來，學生思路容易受阻，因此該解法需要優化。

２" " 模型規律的可視化

維果斯基的“最近發展區理論”認為學生的發展有兩種水平：一種是學生的現有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是學生可能的發展水平，也就是通過教學所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發展區。教學應著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，超越其最近發展區而達到下一發展階段的水平，然后在此基礎上進行下一個發展區的發展［１］。

對于本題來說，大多學生解決第一問的難度并不大，那么如何讓學生從第一問的現有水平突破到后面兩問的發展水平？本文討論如下。

２．１" " 以圓盤為參照物，讓碰撞周期可視化

學生心目中有一個熟知的事實：一個籃球從空中自由下落后撞擊水平地面，如果兩者間的碰撞為彈性碰撞，則籃球反彈后能回到原來的高度。本題中小球撞擊圓盤也為彈性碰撞，可取圓盤作為參照物（碰撞前與碰撞后圓盤皆為慣性系），第一次碰撞前瞬間小球相對圓盤的速度為v■=v0-0=■，相對加速度為a■=g-0=g；第一次碰撞后瞬間小球相對圓盤的速度為v'■=v■-V■=（-■）-■=-■，相對加速度為a■=g-0=g。因為v■=-v'■，且相對加速度保持不變，這說明每次碰撞后小球相對圓盤做豎直上拋運動，并且周期性重復。利用下降過程和上升過程的對稱性可知，第一次碰撞到第二次碰撞之間，小球與圓盤間的最遠距離（小球相對圓盤的最大位移）等于小球初位置與圓盤初位置之間的距離ｌ，不用復雜計算便可快速得到第二問的答案。此外，因為碰撞時間極短，相鄰兩次碰撞的時間間隔都等于“相對豎直上拋運動”的往返時間，即Δt=2■=2■，這也是答題的另一個關鍵點。

需要說明的是，上述v■=-v'■，也可以用恢復系數e=■=-1快速得到，從而節省時間成本，提高答題效率。

２．２" " 從動量和沖量的角度研究速度變化的規律

以圓盤為參照物，小球每次碰撞后上升的相對高度相同，說明小球與圓盤間的每次撞擊力和撞擊時間相同。這點可以進行定量證明，碰撞瞬間圓盤為非慣性系，需對小球附加慣性力，由動量定理得（mg-F-m■）Δt=m（v'■-v■）=-2m■，因為碰撞時間極短，撞擊力F遠遠大于球和圓盤各自的重力，化簡得（1+■）FΔt=2m■，即撞擊力的沖量I=FΔt保持不變。

轉換參考系，取長直圓管作為參照物，以圓盤為研究對象，碰撞瞬間由動量定理（F+Mg）Δt=MΔV，可簡化為FΔt=MΔV，因為I=FΔt保持不變， 可知每次碰撞后圓盤速度的增加量相等，第一次碰撞后圓盤速度的增加量為ΔV=V1-0=■，這說明每碰撞一次，圓盤速度增加■，其碰后速度構成等差數列，上述分析可用流程圖展示出來，如圖２所示。

由流程圖可知，第１次碰撞到第２次碰撞之間，圓盤的位移為x■=■t=2l；第２次碰撞到第３次碰撞之間，圓盤的位移為x2=v0t=4l；第３次碰撞到第４次碰撞之間，圓盤的位移為x■=■t=6l；第４次碰撞到第５次碰撞之間，圓盤的位移為x■=2v■t=8l。顯然，圓盤的位移構成一個等差數列。將各階段的位移與幾何長度用坐標軸表示出來，如圖３所示。由坐標圖可知，第５次碰撞的位置在長直圓管外，所以管內共發生４次碰撞。

■

圖3" 圓盤在相鄰兩次碰撞間的位移

（下轉第56頁）

（上接第52頁）

３" " 教學啟示

利用“轉換參考系”得到可視化的模型規律之后，筆者在尖子生培養中滲透相關的方法和規律，在當場試做環節中取得不錯的效果。這個事例說明，在平常的教學中，我們應基于學生的認知水平，將復雜的問題轉換成學生認知內的問題，并引導學生用圖像、圖標等方式將復雜的規律“可視化”出來，利用“可視化”規律可快速理清各個物理量和各段過程之間的聯系，只有將這些基本思想和基本方法內化為學生自身的素養，他們在考場上才能從容面對，才能實現“現有認知水平”到“可能的發展水平”之間的鴻溝跨越。

參考文獻：

［１］韋桂梅．“學習進階”理論在初中物理課堂教學中的應用［Ｊ］.啟迪與智慧（中），２０２０（２）：7.

（欄目編輯" " 陳" 潔）