關于教材“簡諧運動的數學描述”的再思考

收稿日期：2023-12-16

作者簡介：肖順銀（1976-），女，副教授，主要從事物理教育、教學研究。

摘" " 要：對粵教版高中物理教材中“從勻速圓周運動得出簡諧運動的數學描述”的相關內容進行探討，就推導過程中負號“-”的含義進行剖析，結合回復力的物理本質，探討余弦函數在物理情境中的矢量意義，明晰“勻速圓周運動在某坐標軸上的投影是簡諧運動”這一結論的論證邏輯。

關鍵詞：物理教材；簡諧運動；勻速圓周運動；回復力；余弦函數

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）4-0044-2

粵教版高中物理教材在選擇性必修第三冊中的“簡諧運動的描述”一節介紹了“從勻速圓周運動得出簡諧運動的數學描述”的方法［１］，本文將根據其中關于周期公式的推導過程展開進一步討論。

１" " 教材內容復現

教材以在水平面上做勻速圓周運動的玩具小車為研究對象（圖１），利用幻燈機得到小車在墻壁上的投影，隨后探討了勻速圓周運動與簡諧運動的關系，并得出簡諧運動的周期公式，過程如下。

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圖１" 小車運動的投影

設小車沿半徑為Ａ的圓周做勻速圓周運動，其角速度為ω，則向心力

Ｆ＝ｍω２Ａ

如圖２所示，Ｆ在ｘ軸上的投影

Ｆｘ ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ

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圖２" 向心力在ｘ軸上的投影

上式的負號表示Ｆｘ 與ｘ軸的正方向相反，由幾何關系可知

ｘ＝Ａｃｏｓθ

于是有

Ｆｘ＝-ｍω２ｘ

由于ｍ和ω都有確定的數值，ｍω２可以用一個常數ｋ表示，即ｋ＝ｍω２，上式可以寫成Ｆｘ＝

-ｋｘ。彈簧振子做簡諧運動時，受到的回復力Ｆｘ＝

-ｋｘ。由此可知，做勻速圓周運動的物體在某一直徑方向的投影正好與彈簧振子做簡諧運動的情境完全相同，并且ω２＝■。

簡諧運動的振動周期與物體做勻速圓周運動的周期相等，所以

Ｔ＝■＝２π■

２" " 負號的適用范圍與問題的提出

根據教材內容可知，能夠將勻速圓周運動在ｘ軸上的投影與簡諧運動對應起來的關鍵，是要論證做勻速圓周運動的物體在ｘ軸上的分位移和所受向心力的分力滿足關系式Ｆｘ＝-ｋｘ。此時，向心力的分力充當了做簡諧運動物體所受到的回復力。在圖２中，把小車視為質點，小車在ｘ軸上的分力Ｆｘ和分位移ｘ的關系為Ｆｘ＝-ｋｘ，其中ｋ＝ｍω２，的確滿足簡諧運動的回復力關系式，并且根據回復力的物理意義可知式子Ｆｘ＝-ｋｘ中的負號表示Ｆｘ和ｘ軸正方向相反。

然而，教材中關于負號的使用條件還需要進一步探討。

在教材中，式子Ｆｘ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ中的負號被用來表示“Ｆｘ 與ｘ軸的正方向相反”。

質點的位置在第一象限，此時θ∈（０，■），ｃｏｓθ＞０，而Ｆｘ指向ｘ軸負方向，數值上Ｆｘ＜０，關系式Ｆｘ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ成立，負號的含義可以解釋為“Ｆｘ與ｘ軸的正方向相反”。

當質點運動到第二象限時，θ∈（■，π），ｃｏｓθ＜０，Ｆｘ指向ｘ軸正方向，數值上Ｆｘ＞０，關系式Ｆｘ ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ仍然成立，但此時負號的含義就不能解釋為“Ｆｘ與ｘ軸的正方向相反”。

那么，式子Ｆｘ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ中的負號到底指什么？如何在物理意義上與回復力Ｆ■＝-ｋｘ中的負號對應起來呢？

３" " 余弦函數的意義與問題的解答

在數學教材中，余弦函數是從圓導入的（圖３），ｃｏｓα＝■中的ｘ為圓上Ｐ點的橫坐標，ｒ為單位圓的半徑［２］。

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圖３" 單位圓上的Ｐ點

在任意半徑的圓上，某點坐標為（ｘ，ｙ），則對應的余弦函數值為■，不難看出，ｃｏｓα＝■，圓的半徑只能是正值，而橫坐標可以是正值或者負值。橫坐標的正負直接決定余弦值的正負，表明圓上某點在ｘ軸上的投影位于正半軸或者負半軸。

因此，本文認為余弦函數ｃｏｓθ其實已經具備了矢量的特性，余弦值的正負可以表示方向，正弦值ｓｉｎθ亦然［３］。

回到教材的物理情境中，式子Ｆｘ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ中的負號其實指的是Ｆｘ與“ｃｏｓθ”方向相反。進一步分析“ｃｏｓθ”隱含的方向信息，ｘ＝Ａｃｏｓθ，ｃｏｓθ＝■=■，ｘ表示質點在ｘ軸方向上的分位移，是矢量，而Ａ表示半徑大小，是標量。顯而易見，余弦值ｃｏｓθ的正負體現的就是分位移的方向，因此式子“Ｆｘ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ”中負號指的就是“向心力在ｘ軸方向上的分力Ｆｘ與位移在ｘ軸方向上的分位移ｘ方向相反”，這才能與回復力式子Ｆ■ ＝-ｋｘ中負號所表達的物理意義相對應。也正是因為做勻速圓周運動的物體在ｘ軸上表現出了簡諧運動所具有的特性，才能得出“勻速圓周運動在某坐標軸上的投影是簡諧運動”這一結論。

４" " 結" 語

本文基于粵教版教材中“從勻速圓周運動得出簡諧運動周期公式”的相關內容，圍繞向心力在ｘ軸方向上分力表達式中負號“-”的含義，探討了余弦函數“ｃｏｓθ”在勻速圓周運動這一物理情境中所具有的矢量特性，結合回復力表達式的物理意義澄清了“勻速圓周運動在某坐標軸上的投影是簡諧運動”這一事實的內在邏輯。

參考文獻：

［１］熊建文．普通高中物理教科書選擇性必修第一冊［Ｍ］．廣州：廣東教育出版社，２０２０．

［２］章建躍，李增滬．數學（必修1 Ａ版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．

［３］陳熙謀，吳祖仁．普通高中教科書物理選擇性必修第一冊［Ｍ］．北京：教育科學出版社，２０２１．

（欄目編輯" " 鄧" "磊）