桂小兵

［基金項目］本文系合肥市教育規劃課題“‘四能視角下高中數學新教材習題的拓展研究”（HJG23122）、安徽省教育規劃課題“‘三新背景下開展高中數學建模活動的實踐研究”（JK23091）的階段研究成果。

［摘 要］借助人教A版高中數學新教材中的兩道習題設計數學建模活動，通過設置層層深入的問題，采用從特殊到一般的處理方式，幫助學生發現情境中的數學關系，建立數學模型，思考解決問題，從而培養學生的數學抽象、數學運算、數學建模素養。

［關鍵詞］教材習題；數學建模活動；高中數學

［中圖分類號］??? G633.6??????? ［文獻標識碼］??? A??????? ［文章編號］??? 1674-6058（2024）14-0001-04

數學·教學研究

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養[1]。習題是教材的重要組成部分，教材習題是培養學生核心素養的重要抓手。相較舊教材，人教A版高中數學新教材習題內容更加豐富，且主要分布在“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個欄目中，能夠逐層遞進地實現知識的鞏固應用。特別是“拓廣探索”欄目，習題情境多樣，且貼近生活，是很好的數學建模載體。借助教材習題設計數學建模活動可取得很好的教學效果。下面筆者結合人教A版高中數學新教材中的兩道習題進行說明。

一、建模活動設計案例

［案例1］（必修第一冊P58第10題）購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數一定。哪種購物方式比較經濟？你能把所得結論作一些推廣嗎？

1.層層引導，抽象問題

這個購買物品問題與生活密切相關，學生有所體會且易于理解，教師需要引導學生用數學思維思考問題、用數學語言表達問題、用數學方法解決問題。

問題1：就本題而言，多次購買同一種物品時，不斷變化的是什么？

生（全體）：物品價格。

追問1：怎么知道購物方式是否經濟？

生1：兩種方式購買的總量不同，那就要看平均價格。

追問2：你能用符號語言表述兩種購買策略的平均價格嗎？

學生相互交流、討論，引入字母參數來表示價格、購買量、購買金額和購買次數，并用表格來直觀呈現（見表1和表2）。

2.建立模型，逐步求解

問題2：你能表示這兩種購買策略的平均價格嗎？

結合表格數據進行運算易得策略一的平均價格為：

[P=p1a+p2a+p3a+…+pnana=p1+p2+p3+…+pnn]，

策略二的平均價格為：

[P′=nbbp1+bp2+bp3+…+bpn=n1p1+1p2+1p3+…+1pn]。

追問：那如何比較[P]和[P′]呢？

學生能想到用作差法比較大小，但由于算式復雜，計算能力不強，因此不能順利推導出結果。筆者以此為契機，設計兩個探究活動，引導學生一步步解決問題。

探究活動1：購買次數為2的情況。

策略一的平均價格：[P1=p1a+p2a2a=p1+p22]。

策略二的平均價格：[P2=2bbp1+bp2=21p1+1p2]。

生2： [P1-P2=p1+p22-21p1+1p2=p1+p22-2p1p2p1+p2=（p1-p2）22（p1+p2）≥0]，當且僅當[p1=p2]時取等號，即購買策略二的平均價格不超過購買策略一的平均價格。

生3：[P1-P2=p1+p22-21p1+1p2=（p1+p2）1p1+1p2-421p1+1p2=1+p1p2+p2p1+1-421p1+1p2≥2p1p2·p2p1-221p1+1p2=0]，當且僅當[p1p2=p2p1]即[p1=p2]時取等號。

探究活動2：購買次數為3的情況。

策略一的平均價格：[P3=p1a+p2a+p3a3a=p1+p2+p33]。

策略二的平均價格：[P4=3bbp1+bp2+bp3=31p1+1p2+1p3]。

師：你有什么樣的類比猜想？你能證明嗎？

生4： [P3-P4=p1+p2+p33-31p1+1p2+1p3=p1+p2+p33-3p1p2p3p1p2+p1p3+p2p3]

[=（p1+p2+p3）（p1p2+p1p3+p2p3）-9p1p2p33（p1p2+p1p3+p2p3）=]？（運算受阻）

生5：[P3-P4=p1+p2+p33-31p1+1p2+1p3=（p1+p2+p3）1p1+1p2+1p3-931p1+1p2+1p3]

[=3+p2p1+p1p2+p3p2+p2p3+p3p1+p1p3-931p1+1p2+1p3≥2p2p1·p1p2+2p3p2·p2p3+2p3p1·p1p3-631p1+1p2+1p3=0]，當且僅當[p1=p2=p3]時取等號，結論與購買次數為2的情況一致。

師：你發現哪種運算方式具備一般性？你能借助它來探究購買次數為4的情況嗎？試一試 。

學生合作探究、動手實踐，完成購買次數為4時兩種平均價格的比較，并猜想更一般的結論。

師：那現在我們來探究購買次數為[n]的情況。

[p1+p2+p3+…+pnn-n1p1+1p2+1p3+…+1pn][=（p1+p2+p3+…+pn）1p1+1p2+1p3+…+1pn-n2n1p1+1p2+1p3+…+1pn]

對于[（p1+p2+p3+…+pn）1p1+1p2+1p3+…+1pn]，展開式有[n2]項，即[p1p1+p2p1+p3p1+…+pnp1+p1p2+p2p2+p3p2+…+pnp2+…+p1pn+p2pn+p3pn+…+pnpn]。通過重新組合，使得兩兩積為定值、和有最小值2，可得

[（p1+p2+p3+…+pn）1p1+1p2+1p3+…+1pn≥n22·2=n2]，當且僅當[p1=p2=p3=…=pn]時取等號。

模型結論：一般情況下，如果多次購買同一種商品，按第二種策略購物比較經濟。通常，對于[n]個正數[p1，p2，p3，…，pn]，我們稱[p1+p2+p3+…+pnn]為它們的算術平均數，稱[n1p1+1p2+1p3+…+1pn]為它們的調和平均數。因此，[n]個正數的算術平均數不小于調和平均數。

討論話題：藥理學研究中，通常利用小白鼠進行實驗。在一次實驗中，給10只小白鼠使用一定劑量的某鎮定藥物，然后監測它們的睡眠持續時間（min），記錄數據分別為20，24，29，31，33，37，49，58，28，200。你能表示這10只小白鼠的睡眠持續時間的平均水平嗎？

學生合作交流，結合已學的算術平均數、幾何平均數和調和平均數，思考用哪一種表示方法比較合適。

［案例2］（選擇性必修第三冊P91第11題）某單位有10 000名職工，想通過驗血的方法篩查乙肝病毒攜帶者。假設攜帶病毒的人占5%，如果對每個人的血樣逐一化驗，就需要化驗10 000次。統計專家提出了一種化驗方法：隨機地按5人一組分組，然后將各組5個人的血樣混合再化驗。如果混合血樣呈陰性，說明這5人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次。

（1）按照這種化驗方法能減少化驗次數嗎？

（2）如果攜帶病毒的人只占2%，按照[k]個人一組，[k]取多大時化驗次數最少？

1.問題初探，計算輔助

設每個人需要的化驗次數為[X]。將攜帶病毒的人占5%轉化為每個人攜帶病毒的概率，且視每個人化驗結果相互獨立。 對于問題（1），學生能輕松解決。

[E（X）=15×0.955+65×（1-0.955）≈0.4262]，每5個人一組總平均次數約為[0.4262×10000=4262]，[4262<10000]，所以能減少化驗次數。

師：如果按6人一組、7人一組、8人一組進行分組，化驗次數是不是還可以減少？

生1：6人一組時，[E（X）=16×0.956+76×（1-0.956）≈0.4316]；7人一組時，[E（X）=17×0.957+87×（1-0.957）≈0.4445]；8人一組時，[E（X）=18×0.958+98×（1-0.958）≈0.4616]。

學生利用計算工具可以一直進行分組，并且容易發現5人一組時化驗次數最少，最合理。

類比遷移，攜帶病毒的人只占2%、[k]個人一組時，[E（X）=1k×0.98k+k+1k×（1-0.98k）=1k+1-0.98k]。

學生利用計算工具對[k]取1，2，3，…逐一計算，容易發現當[k]取8時，化驗次數最少。

師：我們不可能一直計算下去，有什么辦法可以解決這個問題？

問題是攜帶病毒的人只占2%、[k]個人一組時求[k]取何值時[E（X）]最小，學生容易想到函數角度，即令[f（k）=1k+1-0.98k]， [f '（k）=-1k2-0.98kln0.98]，但是最值求解遇到困難，教師給予指導。

途徑1：借助GeoGebra軟件作出[f（k）]或[f '（k）]的圖象，從圖象上直接得出結果，直觀但是不夠嚴謹。

途徑2：先求[k]的必要條件，需要滿足

[1k+1-0.98k<1，-1k2-0.98kln0.98=0，]代換[0.98k=-1k2·1ln0.98]，可得[k<-1ln0.98≈49.5]，再對[k=2]，3，…，49進行計算驗證。

顯然途徑2具備嚴謹性，由此建立更一般的數學模型。

2.建立模型，逐步完善

師：這種分組化驗在生活中經常遇到。我們能否建立一個更一般的數學模型來刻畫這一類問題？問題中有哪些相關的量？

生2：被檢測群體的總數，每個人的化驗不合格率以及每組的人數，可以依次設為[N，p，k]，其中[p∈（0，1）]，[k∈N*]，記每份樣本的化驗次數為X，易得到[E（X）=1k×（1-p）k+k+1k×1-（1-p）k=1k+1-（1-p）k]，故[N]份樣本的平均化驗次數為[1k+1-（1-p）k·N]。

聯系生活可知，如果[p]值比較大，那么分組的意義不大，并不能減少化驗次數，所以模型需要進一步優化。對此，教師拋出兩個探究問題。

探究問題1：分組的目的是減少化驗次數，對于[p]，是否有一個范圍來指導分組，體現出分組的必要性？

探究問題2：在必須分組的情況下，對于每一個[p]值，是否都存在[k]值使得平均化驗次數最少？如果存在，如何求這個[k]值？

為了便于學生進行探究，筆者提前利用GeoGebra軟件繪制函數[f（k）=1k+1-（1-p）k]的圖象，設置參數[k，p]的滑動條進行動態分析（如圖1）。學生利用GeoGebra軟件，圍繞兩個探究問題開展數學實驗。

學生通過GeoGebra軟件動態分析并計算發現，當[p>0.4]時，[E（X）>1]恒成立，這就失去了分組的必要性，同時得出[p]取1%～10%時，化驗次數最少時對應的[k]和[E（X）]值（見表3）。

這說明給定[p]值，存在[k]值使得化驗次數最少且分組有意義。

師：很好！以上為實驗數據，那能否用代數方法來解釋呢？

學生從一元函數角度出發，利用導數來分析函數的單調性，由于[f '（k）]較為復雜，因此在求解[f（k）]最值時受阻。教師引導學生結合[k∈N*]調整運算策略，先說明分組必要性的要求，即[1k+1-（1-p）k<1]，等價于[k（1-p）k>1]。

令[g（k）=k（1-p）k-1]，[g'（k）=（1-p）k1+kln（1-p）]，當[k∈0，-1ln（1-p）]時，[g（k）]單調遞增；當[k∈-1ln（1-p），+∞]，[g（k）]單調遞減。

故[g-1ln（1-p）=-1ln（1-p）·（1-p）-1ln（1-p）-1>0]，即[-（1-p）-1ln（1-p）

令[u=ln（1-p）]，[1-p=eu]，則不等式變形為[-（eu）-1u

再說明存在最合適的分組[k]值，即存在使得[f（k）=1k+1-（1-p）k]取得最小值的正整數[k]。[f '（k）=-1k2-（1-p）kln（1-p）]，極值與單調性分析比較困難。換一個思路，說明當[k>-1ln（1-p）]時，[f（k）>f-1ln（1-p）]恒成立，這樣，由于[k∈N?]，在區間[0，-1ln（1-p）]內必然存在使得[f（k）]取得最小值的[k]。

即證：[1k+1-（1-p）k>-ln（1-p）+1-（1-p）-1ln（1-p）]，[k>-1ln（1-p）]。

即證：[1k1-k（1-p）k>-ln（1-p）-（1-p）-1ln（1-p）]，[k>-1ln（1-p）]。

即證：[1kk（1-p）k-1<-ln（1-p）-1ln（1-p）（1-p）-1ln（1-p）-1]，[k>-1ln（1-p）]。

即證：[1k·g（k）<-ln（1-p）·g-1ln（1-p）]，[k>-1ln（1-p）]。

由于[k>-1ln（1-p）]，[g（k）

師：結合以上的模型分析，你能作一下總結嗎？

生3：對于分組化驗，當[p<1-e-1e≈0.3078]時才能減少工作量。采用分組化驗方法后，計算[f（k）=1k+1-（1-p）k]，其中[k∈k∈N*k≤-1ln（1-p）]，當[f（k）]最小時對應的[k]值就是最合適的分組[k]值。

二、數學建模活動設計反思

案例1的教學對象是高一新生，他們剛剛學完不等式、基本不等式等內容，數學抽象能力和數學運算能力都還不夠強，而這兩種能力恰恰是數學建模的基礎能力。教學中教師采用從特殊到一般、由易到難的方式，設置層層深入的問題，逐步引導學生解決問題，幫助學生實現能力的螺旋式上升。

案例2的教學對象是即將學完高中課程的高二學生，他們的數學抽象能力和數學運算能力都已經達到一定水平，建模過程中的字母運算、函數分析等工作他們都可以完成，教師只需在難點處進行點撥。同時，學生還可以借助信息技術進行復雜運算，開展數學實驗，自主發現一些數字特征、變化規律，變被動學習為主動學習。

綜上，數學建模是培養學生創新能力和實踐能力的重要途徑。在數學建模活動中，學生通過數學抽象、數學表達、模型建構、數學運算等分析和解決實際問題，數學建模能力、創新能力和實踐能力都得到了很好的培養。教材是教學的重要資源，是專家集體智慧的結晶，是提升學生核心素養的有力抓手[2]。教師要充分利用教材中的習題資源設計數學建模活動，并結合不同層次學生的學情和運算能力，給予學生適當的指導，培養學生的數學應用意識和數學建模素養，真正發揮教材的育人功能。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻?? ］

[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 王世朋，錢良辰，汪煦.課本習題實施探究活動教學的路徑及建議：以人教2019A版數學第一冊教學為例[J].數學通報，2022（8）：41-45.

（責任編輯??? 黃春香）