高中三角函數教學運用GeoGebra軟件的實踐策略研究

董祥玲 王楊 田宇

摘要：信息技術的革新不斷改變著教師的教學方式和學生的學習方式，對教師的教和學生的學都產生了重要的影響。GeoGebra軟件是一款功能強大的動態數學軟件，已逐漸成為數學教學、研究、學習和評價的重要輔助性工具。它能夠動態地展示幾何圖形的生成、變化和運動等過程，幫助學生更好地理解抽象的幾何知識。對此，針對運用GeoGebra軟件的重要性、高中數學教學運用GeoGebra軟件的策略、教學案例分析———以正弦函數的圖象為例進行研究。

關鍵詞：高中數學；GeoGebra軟件；實踐；策略

近些年來，隨著我國教育信息化戰略的實施，信息技術與數學教學的融合已被越來越多的數學教師所重視。GeoGebra作為一款功能強大的動態數學軟件，已逐漸成為數學教學、研究、學習和評價的重要輔助性工具，為師生交流、生生交流搭建了平臺，也為數學教學和學習提供了豐富多元化的課程資源。

一、運用GeoGebra軟件的優勢

（一）激發學生的數學興趣

傳統的數學課堂大多采用講授法，教師通常將現成的數學結論直接灌輸給學生，全然不顧學生對數學知識的認識過程和理解能力。殊不知這樣的填鴨式教學方式會磨滅學生對數學的興趣，致使數學課程枯燥無味，更談不上啟發學生對數學的思考。通過GeoGebra軟件的強大功能，教師可以設計生動形象、豐富多元的趣味性教學活動，使學生參與到教學活動過程中，轉變教學方式，有效激發學生對數學的學習興趣和對新知的探究欲望，啟發學生進行數學思考，使學生喜愛上數學，增強學習數學的信心。

（二）提高學生的信息素養

數學是一門高度抽象的學科，高中數學相較于初中數學更為抽象，很多數學概念或原理難以理解。由于GeoGebra軟件能夠將抽象的數學概念或原理的文字語言以直觀、動態、可視化的圖形語言展現出來，學生可以先用幾何眼光觀察，借助代數方法分析，從形到數，從數到形，形與數之間相互轉化和結合，從而實現了學生自主發現數學猜想或規律，拓展自身的想象力和創造力，進而加強學生對數學概念或原理的本質理解。

（三）拓展數學課堂的新思路

將GeoGebra運用到中學數學課堂中，能夠給傳統數學課堂帶來更多的創新與發展。GeoGebra功能強大，不僅能夠繪制二維、三維幾何圖形，還能夠實現代數計算、繪制函數、函數變換、關系判斷等功能，既適用于幾何教學，也適用于函數教學。以幾何教學為例，GeoGebra軟件能夠簡單迅速地建立幾何模型，并通過投影、旋轉等操作，直觀準確地向學生展示三維幾何體中點、線、面之間的關系，從而提升學生的空間想象能力。GeoGebra為數學課堂提供了一個高效平臺，教師可以根據學生的實際情況自主調整教學課件、制作動態課件，有效地拓展了數學課堂的新思路。

二、高中數學教學運用GeoGebra軟件的策略

（一）綜合運用多種教學媒體

利用GeoGebra軟件輔助數學教學能夠使現代化的教學模式與傳統教學模式相結合，有效優化教師的教學方式，從而彌補傳統教學模式下枯燥、生硬、刻板的缺點。教師綜合運用多種教學媒體，結合多種教學媒體的優勢，取長補短，實現課堂教學效果的最大化。例如，教師可以先通過GeoGebra軟件制作好課件的動態圖，再將動態圖嵌入PPT中進行展示，也可以通過電子白板或希沃白板展示GeoGebra軟件的動畫課件，并在白板上書寫重要筆記予以強調，實時結合數學相關概念和知識點，促進學生的深入理解。

（二）創設動態化的教學情境

在傳統教學模式下，數學課堂教學的呈現主要以靜態的形式為主，如黑板上的呈現，PPT的呈現等。這些靜態呈現不能很好地豐富數學課堂教學活動以及啟發學生的數學思考，尤其涉及幾何教學時，雖然教師有時也會使用一些簡單的教學模具進行展示，但無法實現靈活的動態演示，致使基礎薄弱的學生難以理解抽象的幾何概念。因此，創設動態化的教學情境顯得尤為必要。GeoGebra作為動態數學軟件，動態化正是它的核心特點。它能夠根據教學需求靈活設計，在課堂上展示幾何圖形的動態切割或展開等內容，例如畫圓為方、繪制三角函數等。通過GeoGebra軟件，創設出動態化的教學情境，從而實現傳統教學課堂所無法實現的動態演示過程，更好地實現幾何與代數的結合，培養學生的數形結合能力和直觀想象素養。

（三）合理有效地運用信息技術

教師掌握信息技術并不意味著能夠在數學教學中合理有效地運用，教師要注重信息技術下的數學教學知識，注重信息技術、數學課程、教學方法三者之間的融合，避免“唯技術論”的傾向。教師在使用信息技術軟件GeoGebra設計課件時，不能一味地追求呈現一個好看的結果，要考慮教學目標的實現，要更多地在數學課堂上與學生進行互動。多設計一些探究性的問題，利用問題驅動，激發學生的好奇心和求知欲，啟發學生對數學知識的思考。通過GeoGebra軟件的動畫演示、交互式動畫，引導學生對數學知識進行總結歸納，深刻體會其中蘊含的數學思想。

（四）操作方便且功能強大

GeoGebra軟件交互直觀，在軟件編輯中所看到結果與最終輸出的結果具有相同的樣式，操作界面清晰、簡易。軟件還內置了豐富的繪圖與編輯工具，只需要簡單的指令即可快速繪制函數、幾何圖形。GeoGebra也可以用于進行各種數學實驗，如幾何變換、函數變換等。通過實驗，學生可以更加深入地理解數學概念和原理。使用GeoGebra軟件，能夠精準地找到各類無理數、復數點，解決了傳統課程中各類圖象繪制難的問題。同時，GeoGebra軟件還能夠滿足教學中的差異化需求，教師能夠根據課堂上的實際情況靈活調整教學內容與策略。此外，軟件還擁有海量的社區資源可供使用，部分高考真題還有著詳細的過程解析，不僅能夠給教師提供交流的平臺，也方便學生在課后自主學習使用。

三、教學案例分析———以正弦函數的圖象為例

（一）教學內容分析

三角函數是學生學習的一類新的基本初等函數。在此之前教師已經帶領學生學習了三角函數的定義。按照函數研究的方法，接下來就應該研究三角函數的圖象和性質。正弦函數是三角函數中第一個重要的函數，理解和掌握正弦函數的圖象是研究其他三角函數的重要基礎[1]。

（二）案例設計過程

任意三角函數的正弦函數圖象如何得到？按照前面學習函數圖象的范式需要列表、描點、連線。為了解決描點時無理數如何進行描述的問題，根據正弦函數的定義，我們利用單位圓來輔助繪制。GeoGebra就可以完美地解決這個棘手的沖突。在GeoGebra軟件的平面繪圖區中先繪制圓心坐標為A（-1，0）的單位圓，在單位圓上取一動點P，其初始位置為原點（0，0），使點P作逆時針圓周運動。

作一點H，使點H的橫坐標為點P繞圓心A旋轉的弧度，縱坐標與點P的縱坐標相等，同時追蹤點H的運動軌跡。那么，根據正弦函數的定義，點H的運動軌跡即為正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象。

通過GeoGebra軟件的度量功能，分別將點H的橫坐標、縱坐標的數值以動態文本的形式顯示在繪圖區中。

（三）案例應用

在實際教學中，教師先讓學生觀察圖形，再通過提問的方式引導學生總結規律。比如，教師可以設置這些問題：1.根據三角函數的定義，需要繪制正弦函數在整個定義域上的函數圖象嗎？選擇哪一個區間即可？2.已知點P在單位圓上，點P的縱坐標表示什么？點H的縱坐標和點P的縱坐標有什么關系？3.通過觀察圖形，點H的橫坐標表示什么？點H的運動軌跡是什么？通過這些問題，學生就可以深入了解正弦函數圖象。

我們可以設置如下的課堂情景：首先打開GeoGebra軟件，并在代數區輸入正弦函數，例如y =：sin（x）。GeoGebra會自動在圖形區繪制出正弦函數的圖象。教師可以在課堂上通過拖動滑動條或者點擊輸入框來改變x的值，觀察正弦函數值的變化。

為了更深入地理解正弦函數的周期性，可以在代數區輸入y=sin（x +2π），然后觀察圖形區的變化。學生會發現，正弦函數的圖象并沒有改變，這是因為正弦函數具有周期性，周期為2π。

在探究過程中，還可以利用GeoGebra的測量工具來測量角度、長度等，以便更準確地理解正弦函數的性質。

借助GeoGebra軟件的動態性，教師可以引導學生通過鼠標操作從而觀察點H的坐標與點P的關聯性。例如，當點P繞圓心A旋轉的弧度為1.11時，點H的位置如圖 1所示，即sin1.11=0.89。當點P繞圓心A旋轉的弧度為1.89時，點H的位置如圖2所示，即sin1.89=0.95。通過選擇連續坐標點，學生可以直觀地感受到函數繪制的動態過程，從而深刻地理解正弦曲線，加深對正弦曲線函數圖象的印象。

此外，在后續的研究中還可以通過改變正弦函數中的系數來探究其振幅和相位的變化。可以先通過GeoGebra軟件制作好課件的動態圖函數y=Asin（ωX+φ），再將動態圖嵌入PPT中進行展示，也可以通過電子白板或希沃白板展示GeoGebra軟件的動畫課件，實時結合振幅、周期和相位對函數y=Asin（ωX+φ）的影響，在白板上書寫重要筆記予以強調，促進學生的深入理解。

（四）案例小結

函數是中學數學的核心內容，從常量數學到變量數學是中學數學一大特點，體現了數學的一般性和抽象性。許多學生在理解三角函數概念和想象其函數圖象時常覺得較困難。在上面的案例中，筆者應用GeoGebra軟件的度量工具實時顯示函數自變量和因變量的變化關系，并通過GeoGebra軟件的平面繪圖功能將三角函數圖象的生成過程予以準確地繪制出來[2]。應用此案例，學生可以直觀認識三角函數的圖象，進而加深對三角函數的理解。由此可見，在輔助函數的教學中，GeoGebra軟件具有提高學生數學抽象和直觀想象能力的優勢。

在高中數學教學中運用GeoGebra軟件是一種有效的教學策略。通過動態展示幾何圖形、探索幾何規律和提升學生的數學思維能力等方法，可以提高學生的學習興趣、自主學習能力和數學思維能力[3]。GeoGebra軟件的優勢在于其動態性、交互性、跨平臺性和開放性；而其創新用法則包括制作微課件、進行數學實驗、創建交互式應用程序和在線協作學習等。這些優勢和創新用法使得GeoGebra在數學教育和學習中具有廣泛的應用前景。在實踐過程中，教師運用多媒體教學、創設動態化教學情境、合理有效地運用信息技術等進行研究。只有這樣，才能充分發揮GeoGebra軟件的優勢，提高高中數學教學的質量和效果。

參考文獻：

[1] 羅建宇.從融合到創新：基于GeoGebra的數學深度教學[J]. 數學通報，2020（2）.

[2] 岳峻.指向數學學科核心素養的可視化教學：基于GeoGebra 的數學可視化實驗[J].中小學數字化教學，2021（8）.

[3] 左曉明，田艷麗，贠超.基于GeoGebra的數學教學全過程優化研究[J].數學教育學報，2020（1）.

編輯/趙卓然