雙材料疊合懸臂梁受集中荷載作用的解析解和有限元分析

董繼蕾 繆廣紅 張宏學 盧小雨

【摘?? 要】? 以兩根等長等寬等高的矩形截面異質雙材料疊合懸臂梁為對象，研究雙材料疊合懸臂梁受集中荷載作用時的解析解和有限元解。先利用彈性理論對雙材料疊合懸臂梁進行內力分析，然后利用有限元分析軟件對雙材料疊合懸臂梁進行數值模擬分析，并將模擬結果和應力解析解進行比較。結果表明：疊合梁上、下兩層梁中，彎矩-剪力是按照其剛度來分布的，當上層梁自由端上所承受的外力總和大于或等于某值時，上層梁與下層梁的彎矩才能維持相對穩定的接觸；解析解和有限元解比較一致，驗證了彈性理論應力解析解的正確性。

【關鍵詞】?? 疊合梁；集中荷載；彈性理論；有限元分析

Analytical Solution and Finite Element Analysis of Bimaterial Composite Cantilever Beams Subjected to Concentrated Loads

Dong Jilei， Miao Guanghong， Zhang Hongxue， Lu Xiaoyu

（Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001，China）

【Abstract】??? The analytical and finite element solutions of two heterogeneous bimaterial composite cantilever beams with rectangular cross-sections of equal length， width， and height under concentrated loads are studied. Firstly， the internal force analysis of the bimaterial composite cantilever beam is conducted by using elastic theory. Then， numerical simulation analysis of the bimaterial composite cantilever beam is carried out by using finite element analysis software， and the simulation results are compared with the stress analytical solution. The results show that in the upper and lower beams of the composite beam， the bending moment shear force is distributed according to its stiffness. When the total external force borne by the free end of the upper beam is greater than or equal to a certain value， the bending moment of the upper beam and the lower beam can maintain relatively stable contact; the analytical solution is consistent with the finite element solution， which verifies the correctness of the stress analytical solution in elastic theory.

【Key words】???? composite beams; concentrated loads; elastic theory; finite element analysis

〔中圖分類號〕? TB301???????????? ?? ????? ???〔文獻標識碼〕? A????? ???????????? 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）02- 0052 - 05

[收稿日期]?? 2023-12-20

[基金項目]?? 國家自然科學基金“基于濕-熱-彈本構和剛柔耦合理論的變槳旋轉風力機葉片動力學特性研究”（119002002）；2021年度安徽省高等學校省級質量工程項目（2021xxkc033）；省級研究生線下示范課程：彈塑性力學（2022xxsfkc023）

[作者簡介]?? 董繼蕾（1990- ），女，碩士，安徽理工大學力學與光電物理學院實驗師，研究方向：力學實驗教學與學科競賽。

0???? 引言

疊合梁是由兩種或兩種以上材料組合而成的梁構件，多種材料疊合而成的疊合梁能充分發揮每一種材料的性能，在力學性能、經濟效益和綠色環保等方面展示出單種材料梁無法比擬的優勢［1］。

由于疊合梁的種種優勢，其在工程應用中有很高的實用價值，目前已有大量關于疊合梁的研究成果。易超［2］根據材料力學、彈性力學相關理論對受任意線性荷載下的懸臂梁進行分析，提出了滿足相容方程和邊界條件的應力函數表達式，采用半逆解法得到了懸臂梁的應力和位移解。譚宸［3］基于MATLAB平臺，開發了一個結構良好、易于使用的計算懸臂梁結構彈性變形的有限單元分析程序。利用該程序，可以進一步加深學生對采用有限元法分析問題編制程序的理解。萬澤青等［4］為分析由不同材料組成的任意多層合梁的彎曲性能，以一矩形截面層合梁為例，采用相當截面法確定了組合截面中性軸的位置，利用靜力平衡條件建立任意多層復合材料層合梁橫截面上任一點處彎曲切應力的一般公式。劉一華等［5］采用彈性力學的應力函數法，求得了雙材料疊合懸臂梁在自由端受集中力作用時的理論解，所得的應力理論解可退化為已有的單材料懸臂梁在自由端受集中力作用時的理論解。郝英奇等［6］研究了鋼纖維混凝土組合材料中應力波演化機理及衰減規律。Bouazaoui.L等［7］對粘結鋼—混凝土組合梁進行了一系列的力學性能試驗，將薄板鋼梁和混凝土板材用膠粘劑進行粘接組合，結果表明，該方法能夠有效地提高混凝土構件的承載能力。Nasser-Eddine等［8］通過將兩個相同梁的兩端面接觸連接起來，驗證通過邊界指數形式可以控制穩定系統。

以上研究主要集中在兩種異質材料的疊層結構上，國內外關于雙材料疊合梁受荷載作用時的解析解和有限元分析還很少，采用彈性理論進行分析的研究更是鮮見。本文將在已有研究成果的基礎上，利用彈性理論對雙材料疊合梁受集中荷載作用時進行解析分析和有限元分析，以檢驗其彈性力學解析解的正確性，并將有限元分析與理論分析進行對比。

1???? 疊合懸臂梁彈性理論解析解

如圖1所示，設由兩根等長等寬等高異質材料的矩形截面梁疊合的疊合懸臂梁，疊合懸臂梁的長度為[L]，寬度為[b]，高度為[h]，在自由端受集中向下的集中力[P]作用。假設上梁的彈性模量為[E1]，泊松比為[μ1]；下梁的彈性模量為[E2]，泊松比為[μ2]。

1.1?? 疊合懸臂梁軸力

上、下層梁中的軸力分別為：

[FN1=-h0σx1bdy=0FN2=0hσx2bdy=0]??????? （1）

其中：[FN1]、[FN2]分別為上層梁和下層梁的軸力值；[σx1]、[σx2]分別為上層梁和下層梁的正應力值。

1.2?? 疊合懸臂梁剪力

上、下層梁中的剪力分別為：

[FQ1=-h0τxy1bdy=E1I1E1I1+E2I2FFQ2=0hτxy2bdy=E2I2E1I1+E2I2F] （2）

其中：[FQ1]、[FQ2]分別為上層梁和下層梁的剪力值；[τxy1]、[τxy2]分別為上層梁和下層梁的剪應力值。

1.3?? 疊合懸臂梁彎矩

上、下層梁中的彎矩分別為：

[M1=-h0σx1ybdy=E1I1E1I1+E2I2Fx-lM2=0hσx2ybdy=E2I2E1I1+E2I2Fx-l] （3）

其中：[M1]、[M2]分別為上層梁和下層梁的彎矩值；[I1=I2=bh312]分別為上層梁和下層梁的慣性矩。

通過對疊合梁橫截面受力情況的分析，可以看出在疊合梁上、下兩層中，彎矩-剪力是按照其剛度來分布的，也就是說，彎矩-剪力分布在疊合梁上、下兩層中。而且，在梁的端部，當上層梁所受的外力之和[F1≥E1I1FE1I1+E2I2]時，疊合梁在荷載作用下發生變形，上層梁和下層梁結構之間始終存在著一定的接觸。相反，在上面受到的外力的總和[F1]滿足[F1≤E1I1FE1I1+E2I2]時，上層梁和下層梁兩個層間存在著相互分離和獨立的變形過程，其變形過程由有限元軟件得到，如圖2所示。

2???? 有限單元法結果檢驗

有限元法是一種基于有限元理論的數值計算方法，它的基本思想是：將一個連續的結構離散為有限多個單元，在每一個單元內設置有限多個結點，將一個連續體系視為一系列僅在結點上相連的單元所組成的整體。采用有限元方法，以場函數的結點值為基元，對每個單元引入一種近似的內插函數，來描述各單元內的場函數分布，并運用變分原理，構建有限元方程，將連續區域內的無窮自由度問題轉化為離散區域內的有限自由度問題。

在此基礎上，本文提出了一種新的數值分析方法。有限元法在固體力學、流體力學、熱傳導、電磁、聲學、生物力學等方面有著重要的應用。有限元法有如下特點：

（1）整個系統離散為有限個元素。

（2）將能量最低原則和函數的數值性質聯系起來，建立相應的數學模型。

（3）處理過程非常簡明。

（4）線性、非線性均適用。

（5）離散處理需要在整個局部區域進行，這個過程需要大量的輸出空間和計算機內存，并且解決問題需要相當長的時間。

（6）無限區域的問題較難仿真。

利用有限元分析對兩種材料的疊合懸臂梁進行數值計算，以檢驗其彈性力學解析解的正確性，并將結果與理論分析結果進行對比。內力分析結果表明，只有在上部自由端面上承受的荷載足夠大，才能保證上部自由端面上的應力集中。由圣維南原理可知［9］，在梁上施加集中力或等效荷載時，其應力變化微乎其微，為了分析方便，采用在右端加集中力方式進行，按上、下層中不同的彎曲剛度（[E1I1≥E2I2]、[E1I1≤E2I2]）情況進行數值求解，然后將數值解與彈性力學所得的解析解進行比較［10］。

2.1[?? E1I1≥E2I2]

如圖3所示計算模型1，假設疊合梁的長度[L=160 mm]，上下層材料分別為鋼和鋁，其中上層鋼的彈性模量[E1=206 GPa]，泊松比[μ1=0.3]；下層鋁的彈性模量[E2=70 GPa]，泊松比[μ2=0.3]。上、下層梁的高度[h=23 mm]，且梁的寬度相同[b=24 mm]，自由端受向下的集中荷載[F=2 KN]。

有限元分析計算結果的位移云紋圖、應力云紋圖如圖4-圖7所示。

將[yi]分別取-23、-18、-12、-6、-0、+0、6、12、18、23[ mm]處的[σxi]，[σyi] 和[τxyi]的理論值計算出來，然后將同一處的理論值和有限元值進行比較，計算出相對誤差，相對誤差的計算公式為：（理論值-有限元值）/理論值×100%，計算結果如表1所示。

2.2?? [E1I1≤E2I2]

如圖8所示計算模型2，組合梁的長度[L=160 mm]，上、下層梁的材料分別為鋁和鋼，上層鋁的彈性模量[E1=70 GPa]，泊松比[μ1=0.3]；下層鋼的彈性模量[E2=206 GPa]，泊松比[μ2=0.3]。其中上、下層的高度[h=23 mm]，梁的寬度[b=24 mm]，自由端受向下集中荷載[F=2 KN]。

有限元模擬計算得出的應力云紋圖、位移云紋圖如圖9-圖13所示。

將[yi]分別取-23、-18、-12、-6、-0、+0、6、12、18、23 [mm]處的[σxi]，[σyi] 和[τxyi]的理論值計算出來，然后將同一處的理論值和有限元值進行比較，計算出相對誤差，相對誤差的計算公式為：（理論值-有限元值）/理論值×100%，計算結果如表2所示。

如上所述，雙材料疊合懸臂梁的彎曲應力分布是線性的，在彎曲剛度越大的組合梁上，應力值越大。在疊合結構中，層間存在著相對滑移，并且在任意一段變形后，層間均不再是平直結構。用有限元方法對其進行了計算，結果表明，理論與數值研究結果之間誤差較小，證明理論分析結果是正確的。

3???? 結論

（1）根據雙材料疊合懸臂梁上層梁和下層梁結構中的受力情況，發現上層梁和下層梁的剪力和彎矩均按剛度分布，且只有在上部自由端受到的外力之和大于或等于某一值的情況下，上下兩層才能始終保持接觸。

（2）利用 ANSYS軟件，對上層梁和下層梁的剛度比值進行分析，對上層梁和下層梁不同的彈性模量進行了詳細的數據分析，得到以下結論：①在不考慮上層梁和下層梁之間存在摩擦力的情況下，所得到的計算結果與理論計算的結果最為一致；②如果上層梁的彎曲剛度比下部的彎曲剛度小，則計算結果的誤差較大；③當上部和下層梁的彈性模量增加時，計算結果和分析結果之間的誤差將增加。

［參考文獻］

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［3］ 譚宸.基于MATLAB平臺的懸臂梁靜力彈性分析［J］.山西建筑，2023，49（20）：42-45+50.

［4］ 萬澤青，陶陽，夏鈺.雙材料層合梁的彎曲切應力分析［J］.青海大學學報，2020，38（2）：81-86.

［5］ 劉一華，朱立軍.雙材料疊合懸臂梁端部受集中力作用的理論解［J］.合肥工業大學學報（自然科學版），2010，33（3）：391-395.

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［7］ Bouazaoui L ， Perrenot G ， Delmas Y ，et al.Experimental study of bonded steel concrete composite structures［J］.Journal of Constructional Steel Research， 2007， 63（9）：1268-1278.

［8］ Nasser-Eddine T. Stabilization of a laminated beam with interfacial slip by boundary controls［J］.Boundary Value Problems， 2015，2015（1）： 1-11.

［9］ 劉延彬.淺析平面運動剛體的外力之功［J］.廊坊師范學院學報（自然科學版），2021，21（2）：43-45.

［10］羅吉安，周星越.有限單元法分析中應力奇異問題的研究［J］.廊坊師范學院學報（自然科學版），2021，21（4）：42-45+50.