多項式型迭代方程的一致凸解

【摘?? 要】?? 利用[Schauder]不動點定理，討論多項式型迭代函數方程在實數域[R]上的一致凸解存在性的充分條件。再通過[Banach]收縮原理，得到該多項式型迭代函數方程一致凸解唯一性、穩定性的充分條件。

【關鍵詞】?? 函數方程；迭代；一致凸解

Uniformly Convex Solutions to Polynomial-like Iterative Equation

Xia Menglian

（Chongqing Normal University， Chongqing 401331， China）

【Abstract】??? In this paper， we will use the Schauder fixed point theorem to discuss the sufficient conditions for the existence of uniformly convex solutions to polynomial iterative functional equations in the real number field R. The sufficient conditions for the uniqueness and stability of the uniformly convex solution to the polynomial-like iterative functional equation are obtained by using the Banach contraction principle.

【Key words】???? functional equation; iteration; the uniformly convex solutions

〔中圖分類號〕? O193???????????? ???? ????? ???〔文獻標識碼〕? A????? ???????????? 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）02- 0016 - 04

[收稿日期]?? 2023-08-17

[作者簡介]?? 夏夢蓮（1999- ），女， 重慶師范大學數學科學學院碩士研究生，研究方向：微分方程與動力系統。

0 ????引言

設[S]是線性空間中的非空集，[Fx]是已知函數。多項式型迭代函數方程：

[λ1f（x）+λ2f2（x）+…+λnfn（x）=F（x）， ?x∈S] （1）

其中， [λi]表示實常數，[f：S→S]是未知函數，[fi]表示[f]的第[i]次迭代[i=1，2，…，n]。

對于方程的研究已有許多結果，司建國［1］證明該方程在一個確定的區間上存在無窮多個嚴格遞增的連續解；石勇國等［2］、余志恒等［3］在已知函數為非單調函數的情形下，分別給出了多項式型迭代方程解的存在性以及多項式解；朱圣陵等［4］利用[Schauder-Tychonoff]不動點定理解決了方程在非緊區間上連續凸解問題；李蔓蓉等［5］采用[Schauder]不動點定理，得到方程的強凸解存在性、唯一性、穩定性的充分條件；吳炳學等［6］利用上下解方法研究這類迭代函數方程的極大解與極小解。一致凸函數通常用于梯度方法、近似算法、二階對偶、優化問題的適定性中，本文考慮方程的一致凸解，記[I]是實數[R]的區間。

定義1?? 如果存在算子[δ：I→R]，則稱算子[f：I?R→R]是一致凸的，使得

[ftx+1-ty+t1-tδx-y≤tfx+1-tfy]

對任意的[x，y∈I， t∈0，1]成立。

定義2?? 如果算子[f]是一致凹的，則存在算子[δ]滿足：

[ftx+（1-t）y≥tf（x）+（1-t）f（y）+t （1-t） δx-y]

對任意的[x，y∈I， t∈0，1]成立。

1???? 基礎知識

在本節中，給出一些記號和預備引理。

令[M≥1≥m≥0]，記[C（I）]由[I=[a，b]]上的所有連續函數組成。定義：

[C（I;m，M）={f∈C（I）：f（a）=a，f（b）=b，a≤f（x）≤b，][|f（x）-f（y）|≤M|x-y|，m（x1-y1）≤f（x1）-f（y1），?x，y∈I，x1>y1}，]

而[CucvI;m，M;δ]、[CuccI;m，M;δ]則分別表示全體一致凸、一致凹函數的集合。當然，[CI]是關于范數[f=maxf（t）：t∈I，?f∈CI]的Banach空間。

引理1?? [C（I;m，M）]，[Cucv（I;m，M;δ）]和 [Cucc（I;m，M;δ）]

是[C（I）]的緊凸子集。

證明 [C（I;m，M）]是[C（I）]的緊凸子集［5］。對于任意[f，g∈Cucv（I;m，M;δ）]， [α∈[0，1]]，考慮

[F（x）=αf（x）+（1-α）g（x）， ?x，y∈I]。

易得 對于[?x≥y]，有

[a≤F（x）≤b，F（a）=a，F（b）=b，|F（x）-F（y）|≤M|x-y|，][F（x）-F（y）≥m（x-y）]

當[?t∈（0，1）]， [x≤y]時，

[Ftx+1-ty+t1-tδy-x=αftx+1-ty+t1-tδy-x+1-αgtx+1-ty+t1-tδy-x≤tαfx+1-αgx+1-tαfy+1-αgy=tFx+1-tFy]

故[CucvI;m，M;δ]是[C（I）]的凸集。易驗證[Cucv（I;m，]

[M;δ）]是閉集且是等度連續的。通過Ascoli-Arzela引理，[CucvI;m，M;δ]是[C（I）]的緊凸子集。同理可證，[CuccI;m，M;δ]是[CI]的緊凸子集。

引理2［5］??? 令[?f，g∈C（I;m，M）]（[Cucv（I;m，M;δ）]或[Cucc（I;m，M;δ）]），其中[0≤M]，則：

[fk-gk≤j=0k-1Mjf-g，k∈?+]。

命題1?? 令[m>0]，以下定義成立：

[i]若[f]是隨著增算子[δ]遞增的一致凸函數，[g]為凸函數，滿足當[?x≤y]時，有[m（y-x）≤g（y）-g（x）]成立，則復合函數[f?g]是隨著算子[δmx]遞增的一致凸函數；若[f]是隨著增算子[δ]遞減的一致凸函數，[g]為凹函數，滿足當[?x≤y]時，有[m（y-x）≤g（y）-g（x）]成立，則復合函數[f?g]是隨著算子[δmx]遞減的一致凸函數。

[ii]若[f]是隨著增算子[δ]遞增的一致凹函數，[g]為凹函數，滿足當[?x≤y]時，有[m（y-x）≤g（y）-g（x）]成立，則復合函數[f?g]是隨著算子[δmx]遞增的一致凹函數；若[f]是隨著增算子[δ]遞減的一致凹函數，[g]為凸函數，滿足當[?x≤y]時，有[m（y-x）≤g（y）-g（x）]成立，則復合函數[f?g]是隨著算子[δmx]遞減的一致凹函數。

[iii]若[f]是隨著增算子[δ]遞增的一致凸函數，滿足當[x≤y]時，有[my-x≤fy-fx]成立，則迭代[fk]是隨著算子[δk-1x=δmk-1x]，[k≥1]，[?x∈I]遞增的一致凸函數；若[f]是隨著增算子[δ]遞增的一致凹函數，滿足當[x≤y]時，有[my-x≤fy-fx]成立，則迭代[fk]是隨著算子[δk-1x=δmk-1x]，[k≥1]，[?x∈I]遞增的一致凹函數。

證明 [i]這里只證明一種情況，其他情況用同樣的方法也可以證明。若[f]是隨著增算子[δ]遞增的一致凸函數，[g]為凸函數，滿足當[?x≤y]時，有[m（y-x）≤g（y）-g（x）]成立，則對于[I]中的任何[x≤y]，可知[g（x）≤g（y）]以及

[f?gtx+1-ty+ct1-tδmy-x≤ftgx+1-tgy+ct1-tδgy-gx≤tf?gx+1-tf?gy，t∈0，1]

這意味著[f?g]是一致凸算子，容易看出[g]在遞增，那么[f?g]隨著[f]的遞增而遞增，即復合函數[f?g]是隨著算子[δmx]遞增的一致凸函數。

[ii]如果[f]是隨著增算子[δ]遞增的一致凹函數，[g]為凹函數，則

[f?gtx+1-ty≥ftgx+1-tgy≥tf?gx+1-tf?gy+ct1-tδgy-gx≥tf?gx+1-tf?gy+ct1-tδmy-x，?x≤y∈I，t∈0，1]

因此，[f?g]是隨著算子[δmx]遞增的一致凹函數，容易得到[f?g]的單調性，證明[ii]完成。

[iii]對于[x≤y]，利用[m（y-x）≤f（y）-f（x）]，易證：

[mk-1（y-x）≤fk-1（y）-fk-1（x）]。

采用數學歸納法證明[iii]。易證[k=1]時成立。假設：

[fl（tx+（1-t）y）+t（1-t）δ（ml-1（y-x））≤tfl（x）+（1-t）fl（y）， ?x≤y∈I， t∈[0，1]]

對于任意[l≥1]成立。由[m（y-x）≤f（y）-f（x）]和[i]可知，[fk，k≥1]是遞增的，有

[fl+1tx+1-ty+t1-tδmly-x≤fl+1tx+1-ty+t1-tδml-1fy-fx≤fltfx+1-tfy+t1-tδml-1fy-fx≤tfl+1x+1-tfl+1y， ?x≤y∈I， t∈0，1]

證明完成。

2???? 主要成果

在本節中，將證明在某些條件下，方程在[CucvI;m，M;δ]、[CuccI;m，M;δ]中有解且解是唯一的、穩定的。因此需要額外的假設：

[H1λ1>0， λi≤0，i=2，3，…，n]

[H2]歸一化條件：[λ1+i=2nλi=1]

定理1? 假設[H1]和[H2]成立，以及[F∈Cucv（I;]

[m1，M1;δF）]，其中常數[0≤m1≤M1<+∞]，若存在遞增算子[δ：I→I]，使得：

[i=1nλimi≤m1≤M1≤i=1nλiMi] ? ??（2）

[i=1nλiδ（mi-1x）≤KδF（x）， ?x∈I]????? （3）

對于[0≤m≤M<+∞]，則方程有解在[f∈Cucv（I;]

[m，M;δ）]，其中[f]是具有遞增算子[δ]的一致凸函數。

證明?? 定義映射[L：Cucv（I;m，M;δ）→C（I）]，

[Lf（x）=1λ1F（x）-λ2λ1f2（x）-…-λnλ1fn（x）]????? ? （4）

對于任意的[f∈Cucv（I;m，M;δ）] 和[F∈Cucv（I，m1，]

[M1;δF）]，由[H2]可知[Lf（a）=a]，[Lfb=b]。

若任意的[x，y∈I]，通過（2）式得：

[Lfx-Lfy=1λ1Fx-Fy-λ2λ1f2x-f2y-…-λnλ1fnx-fny≤1λ1Fx-Fy-i=2nλifix-fiy≤1λ1M1-i=2nλiMix-y≤Mx-y]? （5）

若[x≤y∈I]，通過（2）式，有

[Lfy-Lfx=1λ1Fx-Fy-i=2nλifiy-fix≥1λ1m1-i=2nλimiy-x≥my-x??????????????????????? （6）] 而[Lf]在[a，b]遞增，則[a≤Lfx≤b]。

事實上，對于任意[f∈Cucv（I;m，M;δ）]，由命題1得到[fi，i=2，…，n]是具有算子[δ（mi-1x）]，[?x∈I]的一致凸函數。

對于每一個[x≤y∈I]，由（3）和[H1]，知

[Lftx+1-ty+t1-tδy-x≤Lftx+1-ty+t1-tλ1δFy-x-i=2nλiδmi-1y-x=1λ1Ftx+1-ty+t1-tδFy-x-λ2f2tx+1-ty+t1-tδmy-x-…-λnfntx+1-ty+t1-tδmn-1y-x≤1λ1tFx+1-tFy-λ2tf2x+1-tf2y-…-λntfnx+1-tfny=t1λ1Fx-λ2λ1f2x-λ3λ1f3x-…-λnλ1fnx+1-t1λ1Fy-λ2λ1f2y-λ3λ1f3y-…-λnλ1fny=tLfx+1-tLfy????? ????????????????????????????????????????????????????（7）]? 故隨著算子[δ]的增加，[Lf]是一致凸的。通過（5）-（7）可知，[L]是[Cucv（I;m，M;δ）]上的自映射。

對于任意[f， g∈Cucv（I;m，M;δ）]，有

[Lf-LgCI=1λ1supx∈Ii=2nλifix-gix≤-1λ1i=2nλisupx∈Ifix-gix≤-1λ1i=2nj=0i-1λiMjf-gCI]???? （8）

這意味著[L]是連續的。由引理1和[Schauder]不動點定理可知，存在不動點[f∈Cucv（I;m，M;δ）]，使得[Lf=f]，即方程（1）存在具有遞增算子[δ]的一致凸解。綜上，定理1證畢。

定理2?? 設[H1]和[H2]成立，[F∈Cucc（I;m1，M1;]

[δF）]，其中m1、M1為常數，[0≤m1≤M1<+∞]。若存在遞增算子[δ：I→I]，使得（2）和（3）式在[0≤m≤M<+∞]時成立，則方程（1）有解[f∈Cucc（I;m，M;δ）]，其中[f]是具有遞增算子[δ]的一致凹函數。

證明 定義映射[L：Cucc（I;m，M;δ）→C（I）]如（4）式。類似定理1的證明，有[Lf∈C（I;m，M）]。對于[?x≤y∈I]，有

[Lftx+1-ty+t1-tδy-x≥1λ1Ftx+1-ty+t1-tδFy-x-λ2f2tx+1-ty+t1-tδmy-x-…-λnfntx+1-ty+t1-tδmn-1y-x=t1λ1Fx-λ2λ1f2x-λ3λ1f3x-…-λnλ1fnx+1-t1λ1Fy-λ2λ1f2y-λ3λ1f3y-…-λnλ1fny+t1-tλ1δFy-x-i=2nλiδmi-1y-x≥tLfx+1-tLfy+t1-tδy-x]

因此，[Lf]是隨算子[δ]遞增的一致凹函數，[L]是[Cucc（I;m，M;δ）]上的自映射，定理1證明了[L]的連續性。根據引理1和Schauder不動點定理，存在[f∈Cucc（I;m，M;δ）]是[L]的不動點。顯然，[f]是具有遞增算子[δ]的一致凹函數。

定理3?? 除了定理1的假設以外，假設

[-i=2nj=0i-1λiMj<λ1] （9）

成立。則方程（1）有唯一解[f∈Cucv（I;m，M;δ）] ，并且唯一解連續依賴于給定算子[F]。

證明?? 由定理1，可知映射[L：Cucv（I;m，M）→][Cucv（I;][m，M）]，再通過（8）式，有

[Lf-LgCI≤-1λ1i=2nj=0i-1λiMjf-gCI]

（9）式暗示著

[-1λ1i=2nj=0i-1λiMj<1]??? （10）

由[Banach]不動點定理可知，不動點是唯一的。

給定兩個算子[F1，F2∈CucvI;m1，M1;δ]，如（4）式定義算子[L，L]。假設條件（2）（3）（9）成立，則[f1， f2∈][Cucv（I;m，M;][δ）]，

使得

[f1=L f1 ， f2=L f2]

則：

[f1-f2CI≤Lf1-Lf2CI+Lf2-Lf2CI]

[≤Γf1-f2CI+Lf2-Lf2CI]

其中，[Γ=-1λ1i=2nj=0i-1λiMj]，因此

[f1-f2CI≤11-ΓLf2-Lf2CI≤1λ11-ΓF1-F2CI]

這證明解[f]對[F]具有連續依賴性，或者稱為穩定性。

3???? 結語

本文利用[Schauder]不動點定理和Banach收縮原理，得出了在緊致區間[R]上的多項式型迭代函數方程一致凸解的存在性、唯一性和穩定性的充分條件。

［參考文獻］

［1］ 司建國.迭代方程[fNx=n=0N-1Anfnx]的單調連續解［J］.曲阜師范大學學報，1995，21（2）：49-51.

［2］ 石勇國，劉娜，龔小兵.多項式型迭代方程解的存在性［J］.四川師范大學學報（自然科學版），2017，40（4）：482-485.

［3］ 余志恒，龔小兵.多項式型迭代方程的多項式解［J］.數學物理學報，2019，39A（6）：1352-1364.

［4］ 朱圣陵，吳春.多項式型迭代方程的連續凸解［J］.數學進展，2018，47（3）：433-440.

［5］Li MR， Zhao HY. Strongly convex solutions of polynomial-like iterative equation［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2021，495（2）： 1-15.

［6］ 吳炳學，趙侯宇. 一類多項式型迭代函數方程的極大解與極小解［J］.南寧師范大學學報（自然科學版），2022，39（3）：11-15.