基于核心素養背景的初高中數學教學銜接實踐

蔡玲玲

核心素養，不僅是現代社會對人才的基本要求，更是貫穿各個教育階段、滲透于各學科教學的核心目標。數學，作為培養學生邏輯思維、分析解決問題能力的基礎學科，其重要性不言而喻。特別是在函數這一關鍵知識點的教學上，初中階段和高中階段的銜接性教學顯得尤為重要。

在初中階段，學生初步掌握了函數的基本概念、性質和圖象等基礎知識，對函數有了初步的認識和理解。然而，進入高中階段后，函數知識不僅涉及更多的函數類型和性質，還要求學生能夠靈活運用函數知識解決實際問題。因此，如何幫助學生順利過渡，成為高中數學教師必須面對的重要課題。

一、基于教學要求，明晰初高中“正弦函數”教學內容差異

初中階段的銳角三角函數教學側重于關系的度量，而非關系本身。然而，當我們將三角函數視為一種函數時，它應當描述角的大小與三角函數值之間的深層關系。這種關系不僅存在于數學領域，更廣泛地體現在自然界和生活中的各種周期現象中。事實上，絕大多數周期性變化都可以通過三角函數的線性組合來精確表征。正弦函數和余弦函數，作為起源于圓周運動、密切配合的周期函數，是解析幾何學和周期函數分析學中最為基礎和重要的函數。它們的基本性質直接反映了圓的幾何特性，特別是其對稱性。因此，利用單位圓研究三角函數的圖象和性質，不僅是從本質上出發的溯源之舉，更是深化學生理解的有效途徑。

在函數教學中，初中和高中階段的定義、幾何載體和正弦定義等方面都存在明顯的差異和躍遷。初中階段主要采用角度制的方法引入三角函數的概念，并通過直角三角形內的正弦運算進行初步的探索和應用。而到了高中階段，隨著弧度制的引入和任意角的推廣，角的幾何圖形與實數之間建立起了緊密的對應關系。這為正弦函數等三角函數的深入學習奠定了堅實的基礎。在坐標系中，對于任意確定的角α，比值與是唯一確定的。這使得正弦函數和余弦函數成為以角α為自變量的特殊函數類型。需要強調的是這里的α、與都是實數，這完全符合函數概念中實數對應關系的要求。

因此正弦函數不僅是函數的一種特殊形式更是連接幾何與代數的重要橋梁。但與初中直角三角形中以銳角為變量的函數變量相比，高中階段的正弦函數定義更加抽象和一般化，如表1所示。

二、問題驅動，構建角度模型，重塑正弦函數概念

高中數學的教學，遠不止知識點的簡單傳授。更重要的是，如何幫助學生深化對所學內容的理解，使學生在面對多變的數學問題時能夠游刃有余。為此，教師必須注重提高課堂教學的趣味性和引導性，讓學生更加積極地參與課堂學習。

初中三角函數教學主要圍繞平面幾何問題，特別是直角三角形中的銳角函數模型的展開，為高中數學學習打下堅實的基礎。進入高中后，正弦函數概念變得更為抽象和復雜。為幫助學生順利過渡，教師需要采用有效教學策略，重點是讓學生根據給定的角獲取對應的函數值，并在三角函數圖象上準確量化點的坐標。突破這一教學難點，可顯著提升教學效果。“正弦函數的圖象與性質再認識”教學目標如表2所示。

【溫習舊知】

回顧單位圓上的點的縱坐標與角α的正弦值之間的關系，學生重新建立對正弦函數的基本認識。在此過程中，教師強調角度與弧度的轉換，以及正弦函數的定義域和值域等關鍵概念。

問題1：上一章節已經深入討論了任意角的正弦、余弦及正切的概念。以正弦為例，現在，請同學們回顧一下，我們是如何定義任意角的正弦的呢？

在學生思考并回答之后，教師梳理關鍵要點。

問題2：思考變量之間的關系，并提出自己的思考依據。

學生觀察單位圓中兩個幾何量的對應關系，得出結論。

教師關注學生的理解情況，一旦發現有遺漏或誤解，應及時補充和糾正，確保學生對知識的掌握準確無誤。

【抽象函數概念及數學表示方法】

在實際的教學過程中，學生對通過sin α=這樣的形式來理解α的正弦函數時常感到困惑。為了幫助學生更好地掌握這一概念，教師可以引入單位圓的概念。單位圓的特點是其半徑r為1，這樣就可以將sin α=簡化為sin α=y的形式。通過這一方式，學生更容易理解正弦函數是如何將實數α映射到其對應的正弦值上的。這種形式不僅有助于消除學生的困惑，還為學生提供了一種更直觀、更易理解的方式來掌握正弦函數的概念。

三、適當簡化，從特殊中提煉出常規正弦函數畫法

本課時的核心目標在于利用單位圓與正弦線的輔助，精確地繪制出y=sin x的圖象，通過觀察這一圖象的特征，進而引入一種高效的圖象繪制技巧——“五點作圖法”。隨后，教師緊密結合這一圖象，深入探索正弦函數的關鍵性質，特別是其增減變化的規律以及最大值與最小值的確定。然而，在教學過程中，我們預測學生可能會面臨利用正弦線作圖的挑戰。這些困難主要源自兩個方面：一是學生長期習慣于傳統的列表描點法，對于正弦函數這種特殊性質的圖象繪制可能感到不適應；二是學生對于正弦函數定義的理解可能尚未深入，難以將角度與其對應的函數值進行幾何化的直觀聯系。

為了有效克服這些難點，教師設計一系列實踐操作的環節，讓學生在動手的過程中感受困難，并激發學生尋求解決方案的欲望。同時，教師深入淺出地講解正弦函數的定義，揭示其背后的幾何意義，幫助學生構建清晰、穩固的概念基礎。

問題：如何精準地描繪出點（，sin）的橫坐標？

為了正確地描繪出點（，sin）的橫坐標，教師引導學生利用單位圓，找到與2π相對應的幾何量，即單位圓的周長，并將單位圓巧妙地12等分，這樣每個等分點都代表了一個特殊的角度，如、、等，通過這種等分的方式，教師啟發學生將這些特殊角度與x軸上的點建立對應關系。為了實現這一目標，教師引導學生想象將單位圓的周長展開，化曲為直，然后平移到x軸上。這樣一來，x軸上的每個點都對應了一個特定的角度。為了進一步加深學生的理解，教師運用課件展示動畫，使學生直觀地看到單位圓符合被等分、展開和平移到x軸上的過程。

此時可以借助單位圓繪制正弦函數y=sin x在區間［0，2π］圖象上，師生共同探討，分步進行。第一步，列表。找到區間［0，2π］上的x數值，選擇一些特殊的x值，如0、…2π等，利用單位圓的性質，找到這些x值對應的正弦函數值。第二步，描點。為了方便繪圖，可以將x軸上的0到所選區間的終點這一段劃分為若干等份。然后，對于每一個x值，都將其對應的正弦線向右平移，使正弦線的起點恰好與x軸上的對應點x重合。這樣，正弦線的終點就是正弦函數圖象上的一個點。第三步，連線。在這一步，使用光滑的曲線將這些已經標出的點連接起來。這樣，我們就可以得到正弦函數在選定區間內的完整圖象y=sin x。

四、從概念產生的數學模型中探究正弦函數的性質

在學習正弦函數的過程中，圖象的性質及其變換是一個核心且復雜的知識點，對學生的數學思維和解題能力有著深遠的影響。標準的正弦函數形式為y=sin x，但實際上，圖象經常會經歷平移和伸縮等變化。這就引出了一個關鍵問題：面對這些變化，我們如何準確地繪制圖象并重新確定其單調區間？為了幫助學生更好地理解和掌握這一內容，教師需要為學生提供既考查知識又鍛煉思維的例題。例如，通過對比y=sin（x+）和y=sin x-2這兩個函數，教師可以引導學生思考圖象和性質的變化。對于y=sin（x+），自變量x經歷了一個平移變換。在這里，教師可以引入換元法，將x+視為一個新的變量u，從而將問題簡化為標準的正弦函數形式sin u。通過這種方式，學生可以更好地理解平移變換對正弦函數圖象的影響。接下來，對于y=sinx-2，雖然自變量x沒有變化，但函數值整體下移了2個單位。這種變化同樣會影響函數的圖象和性質。教師可以鼓勵學生利用之前學到的知識，自行繪制圖象并分析單調區間。通過這樣的教學過程，學生不僅能夠掌握正弦函數圖象的基本性質和變換規律，還能鍛煉數學思維能力和知識遷移能力。同時，學生也會更加深刻地理解換元法等數學工具在解決實際問題中的應用價值。

綜上所述，在具體教學中，教師需要結合學生的認知情況。初中階段與高中階段，學生的學習態度與學習習慣有很大的差異，這也是很多初中生到了高中后出現成績波動的原因，為了幫助學生平穩過渡，任課教師在處理初高中數學銜接時，需采取一系列策略。為此，任課教師在處理初高中數學銜接方面，需要找到兩者的內在聯系，對比研究初高中教材內容的差異，以學生熟悉的案例，復習初中內容的同時引出高中學習要點，在比較中強化學生對高中正弦函數的知識銜接，實現數學核心素養的培養。

（作者單位：石獅市第三中學）

編輯：曾彥慧