數學思想在教學中的運用

劉鵬飛

數學思想是基于數學知識的深度認知，是對數學知識的高度概括。教師注重數學思想在教學中的融入，有助于學生理解數學知識的本質，掌握數學知識的精髓，促進學生對數學知識的靈活運用。本文以“等差數列”一課的教學為例，展示數形結合思想、歸納推理思想、分類討論思想、函數思想等數學思想的具體運用過程，以供參考。

一、等差數列的概念及通項公式推導

（一）等差數列的概念

等差數列概念的認識與理解是本節課授課的重點，關系著后續教學活動的推進。教師可以從生活實際出發創設不同的情境，一來幫助學生認識等差數列與人們生產生活的密切關系，二來營造一種親切的授課氛圍，促進學生自動自發地進行學習。尤其創設圖形情境，指引學生挖掘圖形中隱含的數量關系，給學生帶來直觀認識，使其理解等差數列各項間的數量關系，滲透數形結合與歸納推理思想。

情境一：展示成年女鞋的各種尺碼（單位：cm）數據。

25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21

情境二：某小區2013—2017年的綠化覆蓋率情況（見表1）。

表1

情境三：某裝飾圖案按照如圖1所示的規律排列，各圖中白色正六邊形的個數分別為6，10，14，….

圖1

課堂上，教師拋出問題：觀察三個情境中涉及的數據從第二項開始，其與前一項有什么關系，三組數據有哪些共同點？以此引入等差數列的概念。學生經過觀察、思考發現：三組數據從第二項開始，每一項與其前面項之差均是定值。滿足這一特征的數列為等差數列，其中的公差常用d表示。

如此創設不同情境，由學生自主分析、探尋數列特征，得出等差數列的概念，增添課堂樂趣，加深學生印象的同時，使學生更好地體會到數形結合思想、歸納推理思想在數學學習中的作用。

（二）等差數列的通項公式推導

等差數列的通項公式是本節課教學的重點。在進行該部分教學中，教師可以通過歸納推理思想指引學生自主完成等差數列通項公式的推導，理解等差數列通項公式中各字母代表的含義以及推導過程，避免死記硬背，促進活學活用。

課堂上，教師可以要求學生運用a1，a2，a3，…，an-1，an表示具有n項的等差數列，通過歸納推理探尋項數與具體項之間的關系（也即是等差數列的通項公式）。具體推導過程如下：

a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d（n≥2）

將上述各式左右兩邊分別相加得到：

a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1=

an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d

這里需要注意，推導過程是在n≥2的條件下進行的，需要檢驗n=1時是否成立。顯然當n=1時，a1=a1，即得到n∈N*等差數列的通項公式為an=a1+（n-1）d。分析等差數列通項公式，可以看出其描述的是項數、公差和首項之間的關系，只要給出數列的首項和公差，就能得到數列中的每一項。

教學中，教師通過指引學生進行等差數列通項公式的推導，使學生明晰等差數列通項公式的由來，通過累加的方法推理出等差數列的通項公式，有效地鍛煉了學生的歸納推理能力。

二、等差數列與一次函數

從函數視角來看，數列是特殊的函數。那么等差數列是怎樣的一個函數呢？為了探尋等差數列與函數的關系，教師可以引導學生從函數視角對等差數列的通項公式加以審視與探尋，借助函數思想加深學生對等差數列通項公式的認識。

教師在課堂上展示兩個等差數列的通項公式：①an=3n-2；②an=-2n+9，要求學生聯系所學的一次函數知識，畫出其圖象。學生分析可知：①對應的一次函數為：y=3x-2，②對應的一次函數為y=-2x+9，只不過n表示順序取值為正整數，而x的取值為R。①②對應的圖象如圖2所示：

① ?????????②

圖2

對于等差數列的通項公式：an=a1+（n-1）d可以寫成an=dn+（a1-d），將n看成x，an看成y，對照一次函數性質可以得出：公差d的符號決定等差數列的增減，a1和d的大小關系決定了對應函數圖象和y軸的交點是在x軸上方還是下方。其中在討論等差數列通項公式性質時，需要對d進行分類討論，具體如表2所示。

表2

教師在教學中要求學生聯系所學，從函數視角 分析等差數列的通項公式，使其認識到等差數列是特殊的一次函數，只不過對應一次函數n的取值為正整數。如此教學，能幫助學生建立新舊知識的聯系，使其對等差數列的認識提升到函數的高度，為以后解決等差數列問題提供思考的方向。

三、等差數列的前n項和及其與二次函數的關系

（一）等差數列的前n項和

在實際生產生活中，人們往往需要計算等差數列前n項和是多少。教師在教學中可以提出“等差數列的前n項和是否有固定的計算方式”這一問題，指引學生先通過數形結合建立對等差數列前n項和的初步印象，而后借助歸納推理進行探究，使其感受到數學思想在學習中的妙用。

1.數形結合思想

人們接觸事物往往先進行感性認識。在等差數列的前n項和教學中，教師引導學生從數形結合角度進行判斷，更容易激發學生的學習興趣。以等差數列1，2，3，4，…，n為例，要求該數列的前n項和，可以向學生展示圖3，給予學生思路上的引導。

圖3

學生可以將等差數列的每一項看作圓柱體的個數，共有n層圓柱體按照圖中方式堆放在一起。想求Sn=a1+a2+…+an的值，學生可以將圖形倒置后和原圖形放在一起，就可以直觀地看到每一層圓柱體的數量相等，共有n層，由此猜想等差數列的前n項和為Sn=。

教師運用數形結合思想給學生帶來對等差數列前n項和的初步、直觀認識，調動了學生的學習積極性，增強了學生的學習自信。

2.歸納推理思想

為更好地證明上述猜想，教學中可以引導學生通過歸納推理，推導出等差數列的前n項和公式。推理過程如下：

Sn=a1+a2+…+an-1+an①，Sn=an+an-1+…+a2+a1②

①+②得到：

2Sn=，于是問題就落腳在了如何證明a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…上。分開來看，由等差數列通項公式可得：

a2+an-1=（a1+d）+（an-d）=a1+an；

a3+an-2=（a1+2d）+（an-2d）=a1+an；

a4+an-3=（a1+3d）+（an-3d）=a1+an；

...

由此得到：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1）=n（a1+an）

則Sn=，其中將an=a1+（n-1）d代入可得到另一種形式為：Sn=na1+d。

如此通過歸納推理，推導出了等差數列前n項和的計算公式。教學中，學生參與整個推導過程，從結合圖形的感性認識到歸納推理的理性認識，這符合學生的認知規律，能夠加深學生對等差數列前n項和的認識與理解。

（二）等差數列前n項和與二次函數的關系

在學習過程中，學生時常會遇到求等差數列前幾項和的最大值和最小值問題。部分學生因未能很好地建立等差數列前n項和與函數之間的關系，而容易出錯。為幫助學生更好地破解相關問題，教師在教學中引導學生運用函數思想探索等差數列前n項和與二次函數的關系。

教學中，要求學生將n看作自變量，對Sn=na1+d進行整理，化成二次函數形式，得到Sn=na1+d=n2+（a1-）n。其中當d＜0時，對應的二次函數圖象開口向下，對稱軸為直線n′=-+。在討論其在何處取得最大值時，需要結合對稱軸的具體位置加以分析。當d＞0時，對應的二次函數圖象開口向上，Sn存在最小值，對稱軸為直線n′=-+。當d=0，等差數列為常數列，則Sn=na1。

為了使學生對上述內容有更清晰的認識，并能靈活運用，教師應在課堂上做好相關例題的剖析。

例.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a4=1，S5=10，求Sn取得最大值時對應的n值。

該題是課本上的一道練習題，學生運用函數思想能夠很快得出結果。課堂上，教師可以讓學生思考“看到求Sn的最大值能夠想到哪些知識”。事實上，n的取值是正整數，意味著Sn表達式對應的二次函數圖象是開口向下的，即d＜0。由a4=1，S5=10容易求得a1=4，d=-1，則-+=4，表示Sn取得最大值時對應的n值是4或5。再如以下習題：

例.等差數列{an}中，a1=20，公差d=-，令bn=|an|，求數列{bn}的前n項和Sn。

該題與上一道習題的不同之處是，數列{an}中存在為負數的項，要求Sn，需要先確定該數列在第幾項出現負數。由等差數列的通項公式可得an=a1+（n-1）d=20+（n-1）×（-）=-n+，令an＞0，容易解得n＜9，數列的第8項為正數，第9項為0，第10項為負數。學生根據n的不同進行分類討論，即，當n≤9時，Sn=n2+（a1-）n=-n2+n；當n＞9時，Sn=S9-（a10+a11+…+an）=90-=n2-n+180。

教師通過該習題的講解使學生認識到，運用等差數列前n項和公式進行解題時需要具體問題具體分析，尤其需要根據實際情況進行分類討論，在分類討論思想的指引下能更為全面地思考問題。

四、總結

等差數列是高中數學非常重要的數列類型，相關知識較為抽象。教學中，教師應通過滲透數學思想，指引學生參與相關結論的推導過程，如此學生既能加深對所學知識的印象，又能掌握學習的技能，在遇到等差數列相關習題時能迅速地找到突破口，真正地做到“授之以魚”，更要“授之以漁”。

（作者單位：甘肅省平涼市靜寧縣文萃中學）

編輯：陳鮮艷