培養學生科學探究能力，引領學生發展理性思維

一、教材分析

本節課是探究“函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質”的第一課時，其內容主要是研究參數A，ω，φ的變化對函數y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響。

教材先從簡諧運動的實例引入，然后通過傳感器和計算機描繪小球的運動圖象，再從正弦函數y＝sinx與函數y＝Asin（ωx＋φ）之間的關系引出對函數y＝Asin（ωx＋φ）圖象的探究。整節課通過三個例題從不同變量A、ω、φ分析對函數y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響，在本課時僅討論的是當φ=0的情況。

二、學情分析

學生在學習本課之前已經學習了三角函數的圖象與性質的有關內容；已經習得了“數形結合”思想，并積累了用“數形結合”思想研究函數的經驗，也了解了一般函數圖象的變換情況；已經具備了通過觀察圖象得出結論的能力。

三、教學目標

1.學生分別探究A、ω對函數y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）圖象的影響情況。

2.學生能利用“數形結合”思想，據圖歸納總結A、ω變化引起函數y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）圖象的變化規律。

3.在學習過程中培養學生的科學探究能力，發展學生的理性思維。

四、教學重難點

教學重點：分別探究A、ω對函數y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）圖象的影響情況。

教學難點：能利用“數形結合”思想，據圖歸納總結A、ω變化引起函數y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）圖象的變化規律。

五、教學過程

（一）創設情境，提出問題

師：在現實生活中，發生周期性變化的現象有很多。如圖1，在簡諧振動中，位移y與時間t之間的關系就是一種周期變化的實例，可以用函數y＝Asin（ωx＋φ）（其中A、ω和φ都是常數）表示位移與時間的關系。其實，簡諧振動的位移與時間的關系圖象可以用傳感器和計算機描繪出（如圖2所示）。

師：同學們，通過觀察圖2可以發現，它與我們前面學過的正弦函數的曲線很相似。那么，函數y＝sinx與函數y＝Asin（ωx＋φ）之間存在哪些關系呢？今天這節課，我們就來探究函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象，并分析A、ω和φ變化對y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響。

（設計意圖：創設生活中簡諧振動的情境，從學生的生活經驗入手，感悟自然界中周期性變化的現象可以用函數y＝Asin（ωx＋φ）模型進行刻畫，建立數學模型。）

（二）引導探究，發現規律

師：當參數A，ω，φ取不同實數時，y＝Asin（ωx＋φ）就可以得到不同的表達形式，其函數圖象也會隨之發生變化。

1.探究參數A對函數y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響

例1.在同一直角坐標系中畫出y＝sinx，y＝2sinx，y＝sinx在［-π，π］上的圖象，觀察它們之間的關系，并說出這三個函數的周期、最大值、最小值、值域之間的關系。

師：那么，如何作簡圖呢？

生：可以先畫出一個直角坐標系，然后找出這三個函數的五個關鍵點作簡圖。

師：你的意思是利用“五點法”作函數圖象，那怎么找這五個關鍵點呢？

生：橫坐標x分別是-π，-π，0，π和π，代入各函數求出對應的縱坐標，這樣五個關鍵點就找出來了。

師：請同學們快速分別找出各函數的五點坐標，并比較這五點坐標的異同。

生1：函數y＝sinx的關鍵五點坐標分別是（-π，0），（-π，-1），（0，0），（π，1），（π，0）。

生2：函數y＝2sinx的關鍵五點坐標分別是（-π，0），（-π，-2），（0，0），（π，2），（π，0）。

生3：函數y＝sinx的關鍵五點坐標分別是（-π，0），（-π，-），（0，0），（π，），（π，0）。

師：這三個函數的關鍵五點坐標都找出來了，它們有什么異同呢？

生：它們對應關鍵點的橫坐標相同，但縱坐標不同。

師：請同學們根據這三個函數的五點坐標，在同一直角坐標系中分別畫出這三個函數（如圖3）。

師：請同學們根據圖3，說出三個函數的周期分別是多少？

生：y＝sinx的周期是2π，y＝2sinx的周期是2π，y＝sinx的周期是2π。

師：請同學們再根據畫出的函數圖象，說出三個函數的最大值、最小值和值域分別是多少。

生：y＝sinx的最大值是1，最小值是-1，值域是［-1，

1］；y＝2sinx的最大值是2，最小值是-2，值域是［-2，

2］；y＝sinx的最大值是，最小值是-，值域是［-，］。

師：那么，這三個函數的周期、最大值、最小值和值域之間有什么關系呢？

生：y＝sinx圖象上每一點的坐標是（x，sinx），而y＝2sinx圖象上每一點的坐標是（x，2sinx）。通過對比發現，這兩個函數圖象上對應點的橫坐標不變，y＝2sinx圖象上點的縱坐標變成y＝sinx圖象上對應點的縱坐標的2倍。因此，由y＝sinx變成y＝2sinx的過程中，函數周期沒有變，最大值和最小值變為原來的2倍，值域也由原來的［-1，1］變成了［-2，2］，這就說明，A決定振動幅度的大小，也就是函數的最大值、最小值和值域。同理，由y＝sinx變成y＝sinx的過程中，橫坐標不變，縱坐標變為原來的，改變的是最大值、最小值和值域，周期沒有變。

師：通過對例1的研究，你能得出哪些結論呢？

生：函數y＝Asin（ωx＋φ）中的參數A決定了振動的幅度，也就是函數的最大值、最小值和值域。

2.探究參數ω對函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象的影響

例2.在同一直角坐標系中畫出y＝sinx，y＝sin2x，y＝sinx在［-2π，2π］上的圖象，觀察它們之間的關系，并說出這三個函數的周期、最大值、最小值、值域之間的關系。

師：我們還是結合圖象來研究，先根據三個函數的關鍵五點坐標，畫出它們在同一直角坐標系中的函數圖象（如圖4）。

師：根據圖4，誰來說一說這三個函數的周期、最大值、最小值、值域之間的關系？

生：據圖4可知，y＝sin2x的圖象可以由y＝sinx圖象上的每一點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的得到。因此，y＝sin2x的最大值、最小值和值域都與y＝sinx相同，但周期變為原來的，也就是=π。y＝sinx的圖象可以由y＝sinx圖象上的每一點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍得到。y＝sinx的最大值、最小值和值域都與y＝sinx相同，但周期變為原來的2倍。

師：你的思路清晰，也完全正確。誰能把他的話歸納一下呢？

生：函數y＝Asin（ωx＋φ）中的參數ω決定了振動的周期，也就是函數的周期等于。不同的正弦函數可以通過變化得到。

3.進一步鞏固不同函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象的相互變化

例3.做出函數y＝3sinx在長度為一個周期上的閉區間的簡圖，并說明y＝3sinx圖象是由函數y＝sinx的圖象經過怎樣的變化而得到的。

學生根據列表找出函數y＝3sinx在圖像上的五個關鍵點，然后進行描點、連線，作出函數y＝3sinx在x∈［0，π］的大致圖象（如圖5）。

師：誰能用數學的語言描述一下函數y＝sinx的圖象經過怎樣的變化得到函數y＝3sinx的圖象？

學生匯報。

教師小結：可以先考慮變化橫坐標，橫坐標變為原來的，然后橫坐標保持不變，把縱坐標變為原來的3倍。

（三）鞏固練習

1.利用“五點法”作下列函數在一個周期閉區間上的簡圖。

（1）y＝sinx （2）y＝sinx （3）y＝2sinx

2.用數學語言說一說上面每個函數的圖象由y＝sinx的圖象經過怎樣的變化得到的。

（四）課堂小結

師：通過本節課的探究學習，你有哪些新的收獲和感受？請與大家分享一下。

六、課例反思

本節課主要是引導學生借助函數圖象研究A、ω對函數y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象、周期、最值和值域的影響等。同時，引導學生據圖科學分析函數y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象與y＝sinx的圖象的關系，進而引導學生發現函數之間的變化關系。我采取讓學生利用“五點法”作函數圖象，運用“數形結合”思想，研究A、ω對函數y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象、周期、最值和值域的影響以及不同函數圖象的轉化，引導學生科學探究，理性分析問題和結論。

（作者單位：鎮原縣孟壩中學）

編輯：溫雪蓮

作者簡介：蘭正清（1969—），男，漢族，甘肅鎮原人，本科，高級教師，研究方向：高中數學教學。