走近中考創新題，培養學生應變力

王興林

【摘要】做任何工作都不能墨守成規，需要不斷創新，只有創新，才能發展和進步，解決數學問題也是如此，所以在中考數學試題中不斷出現創新類試題，以此考查考生的類比、遷移和隨機應變等能力.

【關鍵詞】初中數學；創新題；解題技巧

中考試題除了考查基礎知識和基本技能，還會考查靈活應用性問題，比如創新題型.創新型數學問題的命制是以代數式、方程、不等式、函數、三角形、四邊形及圓等常規知識為基礎，賦予新的定義、新的情境等進行“包裝”，使平淡的題目煥發新的活力，讓人們感受到數學的魅力．培養學生在新情境下分析和解決問題的能力，考查學生發散性思維和創新、探索和創造精神，是各類試題的一道亮麗風景線．下面以2023年各地中考試題為例予以說明.

創新1

新定義

新定義試題是給出一個全新的、從來沒有見過的新概念或者新規定，要求考生現學現用，其目的是為了考查考生對圖文的閱讀和理解、分析、創新及應變能力，培養學生邏輯推理、自主探究的素養．

例1 （2023·重慶中考）對于一個四位自然數M，若它的千位數字比個位數字多6，百位數字比十位數字多2，則稱M為“天真數”．如：四位數7311，因為7－1=6，3－1=2，所以7311是“天真數”；四位數8421，因為8－1≠6，所以8421不是“天真數”，則最小的“天真數”為______；一個“天真數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記PM=3a+b+c+d，QM=a－5，若PMQM能被10整除，則滿足條件的M的最大值為______．

答案為：6200，9313．

點睛

本題是一道新定義題，涉及有理數的運算、整式的加減、數的整除等知識，準確理解“新定義”的含義是解決此類問題的前提，靈活運用是關鍵．

創新2

數學文化

數學文化考題是把數學史、數學模型、數學語言、數學美學、數學方法相結合，考查考生對數學知識的理解、對數學文化的鑒賞、對數學方法的遷移，備受命題者青睞.

例2 （2023·江蘇徐州統考中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到：玉壁，玉環為我國的傳統玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓形器物，據《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調之環．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關系見圖示，以考古發現看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關系．

（1）若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環的“肉”的面積之比為?? ；

（2）利用圓規與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若一”？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內孔．

分析

（1）根據圓環面積可進行求解；（2）①先確定該圓環的圓心，然后利用圓規確定其比例關系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據平行線所截線段成比例進行作圖．

詳解

（1）由圖1可知：璧的“肉”的面積為π×32－12=8π，

環的“肉”的面積為π×32－1.52=6.75π，

所以它們的面積之比為8π∶6.75π=32∶27;

（2）①在該圓環內任意畫兩條相交的線，且交點在外圓的圓上，與外圓的交點分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點，同理可畫出線段AC的垂直平分線，線段AB，AC的垂直平分線的交點即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O為圓心，內圓半徑為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關系即可.

由作圖可知滿足比例關系為1∶2∶1的關系.

②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑AB，過點A作一條射線，然后以A為圓心，適當長為半徑畫弧，把射線三等分，交點分別為C、D、E，連接BE，然后分別過點C、D作BE的平行線，交AB于點F、G，進而以FG為直徑畫圓，則問題得解，如圖5所示.

點睛

本題考查平行線所截線段成比例和圓的基本性質，熟練掌握圓的基本性質及平行線所截線段成比例是解題的關鍵．弘揚傳統文化在數學中體現為兩點：一是挖掘古代典籍與數學知識的結合點，二是將數學落實在“弘揚正能量”的傳統美德上．

創新3

定義“新運算”

“新運算”是指在已經學習過的運算法則和運算律的基礎上，定義一種新的運算方法，常常使用一些特殊字符，如“”“*”“※”等.“新運算”類問題的情境一般比較陌生，需要先準確理解“新運算”法則，才能靈活運用．新定義的算法在轉化前，不適合已經學過的運算法則的，需要化生為熟.

例3 （2023·重慶中考）在多項式x－y－z－m－n（其中x>y>z>m>n）中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：x－y－|z－m|－n=x－y－z+m－n，x－y－z－m－n=x－y－z－m+n，…．下列說法：

①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；

②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；

③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果．

其中正確的個數是（? ）

（A）0.?? （B）1.?? （C）2.?? （D）3.

分析

根據給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對絕對操作分析添加一個和兩個絕對值的情況，并將結果進行比較排除相等的結果，匯總得出答案．

答案選（C）．

點睛

本題考查新定義題型，根據給定的定義，舉出符合條件的代數式進行情況討論；需要注意去絕對值時的符號，和所有可能的結果比較．主要考查絕對值計算和分類討論思想的應用．

當然，數學試題的創新還有很多，如，跨學科交匯、探索性問題、實踐操作類問題等等.限于篇幅，在此不再一一贅述.