初中數(shù)學(xué)解題中消元法的應(yīng)用

杜雪芬

【摘要】在初中數(shù)學(xué)題目中，一般可分為“已知”和“未知”兩類信息，當(dāng)處理一些特殊試題時(shí)應(yīng)設(shè)出未知量，列出相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式，然后通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖冃螠p少未知量的數(shù)量，最終實(shí)現(xiàn)解決試題的目的.“未知量”就是“元”，減少未知量的方法即為消元法.本文主要對(duì)初中數(shù)學(xué)解題中如何應(yīng)用消元法進(jìn)行分析和研究，并分享部分代表性解題案例.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解題技巧；消元法

消元法作為一種十分常用的數(shù)學(xué)思想，屬于數(shù)學(xué)解題中的常規(guī)方法之一.學(xué)生最先接觸消元法時(shí)是在學(xué)習(xí)二元一次方程組這一知識(shí)時(shí)，當(dāng)方程組中出現(xiàn)有兩個(gè)未知量時(shí)，就要想方設(shè)法將“二元”消去“一元”，轉(zhuǎn)變成一元一次方程，這就是消元法的思維來(lái)源.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)指引學(xué)生巧妙應(yīng)用消元法來(lái)解題，提高學(xué)生的解題水平及效率.

1 同量表示，約簡(jiǎn)消元

在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，當(dāng)題目中的等量關(guān)系數(shù)量比“元”的數(shù)量少時(shí)，通常難以直接把所有未知量都求出來(lái)，此時(shí)教師應(yīng)提示學(xué)生考慮是否有必要將所有未知量全部求出來(lái)，可選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗恳暈槌?shù)，而其他未知量則使用該“常數(shù)”表示，讓學(xué)生順利解答試題［1］.

例1 已知x－y－3z=0，2x+y－3z=0，請(qǐng)求出x+yy－3z的值.

分析

在這道題目中有三個(gè)未知量，但是已知等式只有兩個(gè)，顯然無(wú)法把所有未知量的值都求出來(lái)，所以可選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗慨?dāng)作常數(shù)來(lái)對(duì)待，利用該未知量來(lái)表示其他兩個(gè)未知量，由此把“三元”消成“一元”.

詳解

因?yàn)閤－y－3z=0，

2x+y－3z=0，

將兩個(gè)等式整理變形后可以得到x－y=3z，

2x+y=3z，

把兩者相加能夠得到3x=6z，

即為x=2z，

則y=－z，

故x+yy－3z=2z+（－z）－z－3z=z－4z=－14，

所以x+yy－3z的值是－14.

2 多設(shè)少求，逐步消元

在某些初中數(shù)學(xué)試題中，各個(gè)量之間都有著一定的依賴關(guān)系，利用一個(gè)量就能夠求出其他所有量，不過(guò)解題時(shí)又無(wú)需將全部量都求出來(lái)，這時(shí)可應(yīng)用多設(shè)少求、逐步消元的解題方法［2］.

例2 一家商店正在銷售甲、乙兩種商品，成本都是14元，售價(jià)分別為20元與18元，已知這兩種商品某天的銷售額是1120元，總利潤(rùn)是280元.

（1）這天甲、乙兩種商品分別賣出多少個(gè)？

（2）該商店為提升利潤(rùn)，計(jì)劃將甲商品的售價(jià)降低，乙商品的售價(jià)升高，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，甲商品每降價(jià)0.5元能夠多賣出1份，乙商品每提價(jià)0.5元?jiǎng)t少賣出1份，假如它們每天的銷售總量是固定不變的，則最大總利潤(rùn)為多少錢？

分析

在（1）問(wèn)中可以輕松求出甲、乙兩種商品的具體銷售量，在第（2）問(wèn)中涉及的未知量較多，包括甲商品的降價(jià)和銷售量，乙商品的提價(jià)和銷售量，這4個(gè)未知量最多只存在三種關(guān)系，因?yàn)槭蹆r(jià)出現(xiàn)變化，兩種商品的銷售數(shù)量與利潤(rùn)隨著發(fā)生變化，總利潤(rùn)也在變化，故可設(shè)兩個(gè)未知量，采用消元法把“二元”轉(zhuǎn)變成“一元”.

詳解

（1）設(shè)這天甲、乙兩種商品分別賣出x，y個(gè)，

根據(jù)題意可得20x+18y=1120x+y=280，

解之得x=20y=40，

所以這天甲、乙兩種商品分別賣出20個(gè)與40個(gè).

（2）設(shè)甲商品降價(jià)a元，乙商品提價(jià)b元，總利潤(rùn)是W元，則甲商品的銷售量是20+2a，乙商品的銷售量是40－2b，

根據(jù)（1）可知甲、乙兩種商品一天共銷售20+40=60個(gè)，

則20+2a+40－2b=60，

由此得到a=b，

所以W=（20－a－14）（20+2a）+（18+a－14）（40－2a），

化簡(jiǎn)整理以后可得W=－4（a－3）2+316，

因?yàn)椋?<0，

所以當(dāng)a=3時(shí)，W最大為316元，

所以說(shuō)甲、乙兩種商品一天的最大總利潤(rùn)為316元.

3 設(shè)而不求，整體代入

設(shè)而不求、整體代入，其實(shí)就是用一些未知數(shù)表示題目中的現(xiàn)象，且將部分未知量之間的關(guān)系視為一個(gè)整體，通過(guò)代數(shù)變換的方式將未知量消去，達(dá)到消元的目的，問(wèn)題也就迎刃而解，從而獲得目標(biāo)量的定值［3］.

例3 在圖1中，有一個(gè)正方形ABCD，邊長(zhǎng)是1，被兩條同邊平行的線段EF，GH分割為4個(gè)小矩形，其中EF，GH相交于點(diǎn)P，△GBF的周長(zhǎng)是1，那么矩形EPHD的面積是多大？

分析

在本題中要求的是矩形EPHD的面積，需考慮到該矩形兩個(gè)鄰邊的長(zhǎng)度，由于G，F(xiàn)兩點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的，故DE，DF的長(zhǎng)度也在發(fā)生變化，這表明它們的長(zhǎng)度難以求出來(lái)，所以可設(shè)出BF，GB的長(zhǎng)度，用未知數(shù)對(duì)矩形的面積進(jìn)行表示，然后結(jié)合代數(shù)表示的方式通過(guò)整體代入消去未知量，最終順利求得結(jié)果.

詳解

設(shè)BF=x，GB=y，

則FC=1－x，AG=1－y，

因?yàn)椤鱃BF的周長(zhǎng)是1，

則BF+FG+GF=1，

即為x+y+x2+y2=1，

整理以后能夠得到xy－x－y=－12，

則S矩形EPHD=PH×EP=FC×AG=（1－x）（1－y）=xy－x－y+1=－12+1=12，

所以矩形EPHD的面積是12.

4 結(jié)語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)中，要想更好地應(yīng)用消元法，教師在平時(shí)教學(xué)中不僅需大力滲透消元法這一數(shù)學(xué)思想，還要幫助學(xué)生樹立較強(qiáng)的消元意識(shí)，把消元法當(dāng)作一種常規(guī)方法根植于大腦，使學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)別運(yùn)用消元法的條件，就是當(dāng)未知量較多時(shí)才應(yīng)用，并讓學(xué)生能夠把消元法同其他解題方法結(jié)合起來(lái)綜合使用，最終高效率地解答初中數(shù)學(xué)試題.

參考文獻(xiàn)：

［1］宋廷亮.例談消元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（07）：77-78+82.

［2］許小玲.例談初中數(shù)學(xué)解題中的“消元”策略［J］.好家長(zhǎng)，2020（26）：25-27.

［3］方逵香.例談消元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.新課程（下），2018（07）：85.