初中數學解題中側向思維的有效應用

彭海燕

【摘要】在初中數學教學中，學生解題能力培養是教學的中點.初中數學題目類型比較多，解題方式多，為了能夠有效提高學生解題能力，注重學生解題思維培養.側向思維屬于迂回思維，幫助學生突破解題，簡化解題過程，提高學生解題效率.本文結合具體的數學例題，就側向思維的應用進行探究，引導學生更好地解題.

【關鍵詞】數學解題；側向思維；應用策略

解題教學是初中數學教學的重要環節，通過解題，培養學生解題能力.側向思維作為重要的解題思維，引導學生分析問題本質，明確問題解題思路，提高學生解題效率.作為初中數學教師，應當注重側向思維的培養，幫助學生掌握側向思維的應用方式，能夠靈活用于數學解題中.

1 利用側向思維，解決因式分解問題

在初中數學中，因式分解是重要的知識內容，此題難度有著較大的差別.在部分題目中，涉及到的項比較多，有些還有高次項.對于此類習題，注重課堂引導，讓學生掌握解題方法，鼓勵學生利用側向思維，解決問題.在具體解題時，對題目進行分析，找出其中的規律，通過換元方式降次，利用已學知識解題.

例1 因式分解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）+15.

解析

在此題目中，涉及到的項較多，如果解題方法不當，很難解題題目.在解題時，如果對因式進行展開，會出現4次的高次項，可以利用側向思維分析解答.

解

原式（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）+15轉化為（x+1）（x+7）（x+3）（x+5）+15

即=（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15，令t=x2+8x+7，

所以 原式=t（t+8）+15=t2+8t+15=（t+3）（t+5），

所以 原式因式分解的結果是（x2+8x+10）（x2+8x+12）.

2 利用側向思維，解決最值問題

對于數學最值問題，是初中學生比較熟悉的題目，一些題目在解題時，可以結合函數性質解題，對于一些難度大，正面無法解答的題目，可以讓學生通過側向思維解題［1］.

例2 如圖1所示，在平面直角坐標系中，點A是拋物線y=x2－2x+2上的一個動點，經過A作x軸的垂線AC，垂足為C，以AC為對角線作矩形ABCD，連接BD，求解對角線BD的最小值______.

解析

通過對題目條件進行分析，有關BD的條件很少，想要從正面解題，難度很大.在具體解題時，教師可以讓學生結合矩形的性質，利用側向思維解題，找出BD與已知條件的關系，完成題目的解答.

解

因為y=x2－2x+2=（x－1）2+1，

所以拋物線的頂點坐標是（1，1），

因為四邊形ABCD是矩形，

所以BD=AC，

因為AC⊥x軸，

所以AC的長度即是A點的縱坐標.

當點A為拋物線的頂點時，點A距離x軸的距離最短，最小值為1.

所以對角線BD的最小值為1.

3 利用側向思維，解決角度問題

在初中數學解題中，涉及到角度值求解的問題.在此類習題解題時，解題方法比較多，利用側向思維可以簡化解題過程，提高學生解題效率.作為教師，結合具體的題目，與課堂分析側向思維解題過程，加深學生解題題目.

例3 ?如圖2所示，將圓O沿著弦AB進行折疊，圓弧剛好經過圓心O，點P是優弧AMB上的點，那么∠APB的度數是______.

解析

在此題解題時，題目內容學生比較熟悉，想要讓學生利用側向思維解題，需要對題目條件分析，利用圓的知識內容，完成解題.想要求解角的度數，找出與其同一弦所對的圓心角度數，完成題目求解.

解

如圖3所示，作半徑OC⊥AB，垂足為D，連接OA、OB，

因為圓O沿著弦AB進行折疊，圓弧剛好經過圓心O，

所以OD=CD，所以OD=12OC=12OA，

所以∠OAD=30°，

因為OA=OB，所以∠ABO=30°，所以∠AOB=120°，

所以∠APB=12∠AOB=60°.

4 利用側向思維，解決方程問題

方程與函數密切相關，在解題時，通常將兩者進行轉化，尋找參數聯系，完成解題.在具體教學中，為了幫助學生掌握側向思維利用方式，可以引入專門問題，加強學生習題訓練［2］.

例4 如圖4所示，在平面直角坐標系中，點M為直線y=2與x軸之間的動點，且M是拋物線y=x2+bx+c的頂點，則方程x2+bx+c的解的個數為______.

解析

在此題解題時，根據圖像進行分析，利用側向思維，對題目問題進行轉化，即將根的數量求解轉化成函數與圖像交點個數問題.

解

根據拋物線y=x2+bx+c的圖象可知，拋物線與x軸沒有交點，即Δ＜0，

所以b2－4c＜0，

因為點M為直線y=2與x軸之間的動點，

所以點M的坐標是（－b2，4c－b24），

所以0＜4c－b24＜2，即0＜4c－b2＜8，－8＜b2－4c＜0，

因為Δ=b2－4ac=b2－4（c－1）=b2－4c+4，

所以－4＜b2－4c+4＜4，

即：當－4＜b2－4c+4＜0時，拋物線y=x2+bx+c與x軸沒有交點；

當b2－4c+4=0時，拋物線y=x2+bx+c與x軸有一個交點；

當0＜b2－4c+4＜4時，拋物線y=x2+bx+c與x軸有兩個交點.

5 結語

為了鍛煉學生解題能力，教師除了加強學生解題訓練，還需要對解題方法進行總結，結合課堂教學環節，強化學生解題思維.側向思維作為重要的解題思維，可以引導學生找到問題本質，提高學生解題效率.因此，作為初中數學教師，應當注重側向思維的應用，傳授學生側向思維應用方法，讓學生能夠靈活利用側向思維解題.

參考文獻：

［1］饒旭芳.側向思維在初中數學解題教學中的應用［J］.當代教研論叢， 2019（12）：1.

［2］許明明.初中數學解題中側向思維的有效應用［J］.天津教育， 2021（11）：2.