例析利用分類討論思想解題的步驟和思路

杜菊梅

【摘要】在初中階段的數學解題過程中，分類討論思想是指根據題設中的多種可能和情況，將研究對象區分為不同種類，以此簡化計算的一種數學思想.利用分類討論思想可以快速解決數學問題.

【關鍵詞】分類討論；初中數學；解題技巧

初中階段，如果被討論的問題包含多種可能和預設情況，不能一概地進行討論時，我們必須使用分類討論思想將所有可能出現的情況全部分開進行討論，并最后匯總成統一的答案和結論.分類討論思想囊括了整個數學學習階段和過程，它既是一種重要的指導思想，也是一種高效的解題策略.在解決初中函數、方程、不等式問題時，合理恰當地使用分類討論思想可以讓解題過程清晰、明了、簡單，避免在解題過程中出現思路不清晰、漏解、錯解等失分現象.基于此，筆者以自身經驗為例討論應用分類討論思想解題時的步驟和思路，希望能給學生帶來啟示.

初中階段使用分類討論思想解決數學問題大致可以分為以下幾步：（1）確定討論對象、劃分討論范圍；（2）明確分類依據和標準；（3）按照分類的標準進行分類并以各個標準進行差異化討論，注意不要重復劃分范圍，不漏解、不錯解；（4）將各個類別的結果匯總，得出最終結論.

按照上述思路和步驟，筆者以具體的例題分析分類討論思想在初中數學解題過程中的具體應用思路和步驟.

例1 已知二次函數y=mx2+2mx+3，其中m≠0.

（1）若二次函數的圖象經過（1，0），求二次函數的表達式；

（2）在二次函數圖象上任取兩點（x1，y1），（x2，y2），當a≤x1≤x2≤a+2時，總有y1>y2，求a的取值范圍.

分析

本題第（1）小問比較簡單，根據二次函數的性質，直接把已知點的坐標帶入函數解析式即可求出m的值，進而求出二次函數的表達式.本題難點在于第（2）小問中需要根據二次函數的增減性分類討論，存在m<0和m>0兩種情況，并以此將函數分為開口方向向上和開口方向向下兩種情況，進而合理地討論a的取值范圍.

解析

根據函數的開口方向，我們將m的取值范圍以0作為分界點.

①當m>0時，函數開口向上，對稱軸為x=－1，函數圖象如圖1.

由圖象可知，當x≤－1時，y隨x的增大而減小；當x>－1時，y隨x的增大而增大.

因為當a≤x1≤x2≤a+2時，總有y1>y2，此時a+2≤－1，

所以a≤－3.

②當m<0時，函數開口向下，對稱軸為x=－1，函數圖象如圖2.

由圖象可知，當x≤－1時，y隨x的增大而增大；當x>－1時，y隨x的增大而減小.

因為當a≤x1≤x2≤a+2時，總有y1>y2，此時a≥－1.

綜上所述，當m>0時a≤－3；當m<0時，a≥－1.

本題主要考查的是分類討論思想在二次函數中的應用.學會通過合理選擇含參變量的取值范圍，確認二次函數的增減性，從而將較為復雜的問題簡單化.分類討論思想除了在函數中的應用較為廣泛，在幾何、絕對值當中的使用頻次也非常高.下面這一道例題就是分類討論思想在幾何中的綜合應用.

例2 如圖3，分別以長方形OABC的邊OC，OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系，已知OA=10，AB=6，點E在線段OC上，以直線AE為軸，把△OAE翻折，點O的對應點D恰好落在線段BC上.

（1）分別求點E和點D的坐標；

（2）若直線AD與x軸相交于點F，P是x軸負半軸上的一動點，是否存在△APF為等腰三角形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

分析

（1）根據折疊這一信息可以得出：AD=OA=10，OE=DE，再由勾股定理得BD的長，再根據矩形的性質可以得出點D的坐標.設OE=x，則在直角三角形CDE中，可得x的值，得點E的坐標.（2）根據等腰三角形的性質可以將點P分為三種情況，以此分類討論可得點P的坐標.

解析

根據等腰三角形的性質，

①當AP=AF時，如圖5中點P1的位置，此時，AP1=AF，我們只需求出點F的坐標即可.

設直線AD的解析式為：y=kx+b，

將A（0，10）和點D（6，2）代入得b=106k+b=2，

解之得k=－43b=10，

故直線AD的解析式為：y=－43x+10.

當y=0時，x=152，故點F的坐標為（152，0），

故點P1的坐標為（－152，0）.

②當AF=FP時，如圖2中點P2的位置，

此時，AF2=FP2，△AFP2是等腰三角形，

由勾股定理得：AF=102+（152）2=252，

所以OP2=252－152=5，

所以P2（－5，0）.

③當AP3=FP3時，如圖6，設P3（x，0），

所以x2+102=（x－152）2，

解之得x=－3512，

所以P（－3512，0）.

綜上，點P的坐標為（－152，0）或（－5，0）或（－3512，0）.

結語

總的來說，分類討論思想作為初中數學的重點指導思想，學生需要重點掌握.在日常的學習和解題過程中，要養成分類討論的思維習慣，學會按照分類討論思想應用的步驟將大問題分為若干個小問題，靈活求解，準確求解.