立足“高觀點”，實施“低結構化”的數學教學

陳娜

［摘? 要］ 在小學數學教學中，教師以“大問題”統領、“結構化”關聯、“思想性”統攝、“生命性”潤澤，對學生數學學習“提純”“構體”“賦魂”“蓄力”。教師必須具有一種大視野，引導學生開展整體性、感悟性的數學學習。“低結構化”教學是一種深度教學，能培育學生數學高階思維，促進學生數學高階認知形成。立足于“高觀點”，數學教學才能有效提升學生的數學學習力、發展數學核心素養。

［關鍵詞］ 低結構化；高觀點；小學數學教學

“高觀點”的這一提法源自德國數學教育家克萊因，他認為：“初等數學知識只有在高等數學視角下（高觀點）才能得到深刻的理解。”立足于“高觀點”，學生能獲得對數學知識的本質性、關聯性的認知。小學數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科，其教學不宜過度抽象，應當“深入淺出”。“深入淺出”就是立足于“高觀點”而實施的“低結構化”教學。實踐證明，這種指向“高觀點”的“低結構化”教學，能讓學生的數學學習充滿溫度、效度、信度。“低結構化”教學是一種深度教學，能培育學生數學高階思維，促進學生數學高階認知形成。

一、“大問題”統領，對學生數學學習“提純”

立足于“高觀點”，實施“低結構化”教學，教師可以采用問題驅動、任務驅動等教學方式。樸素的教學方式只要設計得當，不僅能激發學生的數學學習興趣、調動數學學習積極性，還能激發學生的數學思維、催生數學想象，引導學生主動地對相關數學課程資源、素材“提純”，助推學生形成數學化的認知。這個過程就是學生經歷“數學化”“形式化”“公理化”的過程。“提純”是學生數學學習的必然，也是學生數學學習的應然，“提純”能讓學生超越自我的感性認知抵達理性認知的境界。

如何讓問題驅動式教學中的“問題”具有針對性、實效性，關鍵就是教師要立足于數學的“高觀點”，讓”問題“具有統攝性、思想性、關聯性。這樣的“問題”才是“大問題”，才能真正發揮“問題”的驅動、引導、啟發功能。“大問題”的“大”不是“大而無當”，不是“縹緲空洞”，而是指“問題”能發揮引領、統整、歸納等作用。比如教學“乘法交換律”這一部分內容，從高觀點——“數學集合”的視角看，交換律就是“A∩B=B∩A，A∪B=B∪A”。如何引導學生理解、感悟“交換律”的抽象性數學意義，筆者在教學中設計了“大問題”，用“大問題”驅動學生的數學探索、總結。

任務：寫出一些算式表示你心目中的乘法交換律。

問題：你所寫的乘法交換律是正確的嗎？怎樣驗證你所寫的交換律是正確的？

學生獨立思考后進行交流。

預設1：學生采用計算的方法，計算結果是相等的。這樣的計算是一種不完全歸納。

預設2：學生采用畫圖的方法，畫出方格圖，從不同的方向看圖，每行的個數×行數=每行的個數（原來的行數）×行數（原來每行的個數）。

預設3：學生采用操作的方法，從a個b也就是b個a的乘法的意義來證明。

預設4：學生從積的變化規律方面來加以驗證；如a×2a=2a×a。

在問題的驅動下，學生對“乘法交換律”展開積極的研討。通過研討，學生深刻地認識到：不僅交換乘法算式中的兩個數，而且可以交換乘法算式中的兩個整體式子，它們的乘積都不變，如24×（23+27）=（23+27）×24。在研討的過程中，學生自主建構、創造了“乘法交換律”——“a×b=b×a（a、b屬于自然數）”（僅限于學生的認知水平）。

除了“大問題”統領、“大問題”驅動，還要求教師鼓勵、激發學生自主提出相關的問題。比如，有的學生在學習中提出這樣的問題：“老師，我們已經研究了加法交換律、乘法交換律，在減法和除法中也存在交換律嗎？”這樣的問題引發了學生的深度探究。通過研究，學生深刻地認識到減法中的交換律其實就是加法交換律，除法中的交換律其實就是乘法交換律，只不過在使用“交換律”的時候要連同數字前面的符號一起交換。如此，學生對“交換律”這一“上位概念”形成了本質性的認知。

二、結構性關聯，對學生數學學習“構體”

如上所述，“高觀點”具有統攝性，它往往能關聯諸多類型的知識，既是一種上位知識，又是一種關聯結構。因此，在小學數學教學中，教師要引導學生將相關數學知識關聯起來，對相關聯的數學知識進行“描點”“連線”“勾面”“構體”。一方面，教師要引導學生掌握數學知識的誕生、生發順序，幫助學生建構知識鏈、知識串；另一方面教師要根據學生的具體學情，將相關聯的知識鏈、知識串等勾連起來，建構“知識體”。基于“高觀點”的視角，采用“低結構化”教學，就是要求教師將教學意圖隱藏起來，讓學生在潛移默化中感受、體驗數學的“大概念”。這種“大概念”有助于學生后續進行自主性、自能性的數學學習，尤其是同類數學知識的學習。

“大概念”是一種“具有高度概括性、統攝性概念”，它能讓學生在數學學習中舉一反三、觸類旁通。在學生的數學學習中，“大概念”往往發揮著“潤物無聲”的功能、作用。“大概念”往往是潛隱在學生的認知結構之中的，它猶如一只“看不見的手”，始終牽引著學生的數學學習。比如，教學“認識厘米”這一部分內容時，教師不僅要引導學生用“厘米尺”進行測量，還要引導學生建構“厘米尺”、創造“厘米尺”。通過激發學生比較兩個物體的長度，能讓學生產生一種建構、創造“單位厘米”的內在需要，并通過感知、想象等豐富學生對“單位厘米”的表象。在此基礎上，教師引導學生應用“單位厘米”去測量物體的長度，由此催生學生將“單位厘米”串接起來的內在需要，進而建構“厘米尺”的雛形。在這樣的探究過程中，學生能感悟到“測量”的本質，即測量就是測量被測量對象中包含多少個測量單位的過程。有了這樣的感悟，學生就能建構起“測量”的包含性意義，這就是“量與計量”的高觀點。這種“高觀點”能對學生將要學習的“角的度量”“認識面積”等相關內容發揮至關重要的作用。這種“高觀點”能引導學生在后續學習過程中將已經學習的內容串接成一個整體。

基于“高觀點”引導學生的數學學習，要求教師充分發揮“高觀點”的功能、作用，彰顯“高觀點”的教學功能。實踐證明，在學生的數學學習過程中，“高觀點”不僅能讓學生突破學習障礙、思維困惑等，更能引導學生的思維進階、認知進階。在“高觀點”視野下，學生的數學學習不是知識點的堆砌，而是能讓其形成上位性的認知，能讓其把握數學知識的內在結構，能讓其在數學學習過程中舉一反三、觸類旁通。

三、思想性豐盈，對學生數學學習“賦魂”

學生數學學習說到底是數學思想方法的學習。在小學數學教學中，教師要引導學生感悟數學思想，掌握數學方法。數學思想方法是數學知識的靈魂，貫穿于數學知識形成過程和形態結果之中。數學教育家斯托利亞爾曾經說：“數學教學就是數學思想方法的教學。”日本數學教育家米山國藏也曾經說：“學生在學校所學的數學知識，在進入社會后一兩年就被遺忘，……而唯有數學思想方法卻深深地銘刻在學生心中。”

基于數學的“高觀點”，在小學數學教學中，教師要深入發掘數學知識背后蘊含著的數學思想方法，并將相應的、相關的數學思想方法顯露、敞亮出來，讓學生觸摸、觸碰到數學知識中的相關思想方法。教學中，教師不能采用“說教”“灌輸”“鏈接”的方式，而應當采用“滲透”“融入”的方式，將數學思想方法植入學生的心里。比如教學“平行四邊形的面積”這一部分內容時，教師可以先讓學生猜想：平行四邊形的面積與什么因素有關？平行四邊形的面積可以怎樣計算？你準備怎樣驗證？通過這樣的問題，催生學生的猜想，讓學生積極主動地嘗試驗證。比如，有的學生認為，平行四邊形的面積與底、斜邊的長度有關，因為平行四邊形可以推拉成長方形，在推拉的過程中，平行四邊形的底、斜邊相當于長方形的長、寬；有的學生認為，平行四邊形的面積與底、高的長度有關，因為平行四邊形可以剪拼成長方形，在剪拼的過程中，平行四邊形的底、高分別相當于長方形的長、寬，這兩種思考里滲透了“轉化”的思想。有的學生認為，不能用平行四邊形推拉成長方形的方法來推導平行四邊形的面積，因為在推拉的過程中平行四邊形的面積發生了變化，這里就滲透著“等積變形”的思想。在教師引導學生應用平行四邊形的面積公式的過程中，引導學生觀察轉化前后的平行四邊形、長方形之間的對應邊的關系，這里就滲透、融入了“推理思想”；在引導學生自主建構平行四邊形的面積計算公式并用字母概括表達的時候，這里就蘊藏了“數學建模”思想；在引導學生計算平行四邊形的面積時，要讓學生關注用底乘哪一條高，從而滲透、融入“數學對應”思想。豐富的思想、方法，絕不是學生數學學習的“副產品”，而是學生數學學習的主旨、目的。

數學思想方法是數學的隱性知識，對學生的數學學習具有較強的影響。數學思想方法是數學的靈魂，是數學知識的精華。有深度的數學學習必定是融入、滲透數學思想方法的學習，融入、滲透數學思想方法能給學生的心靈以激蕩、震蕩，能讓數學知識的學習更有深度、高度。

四、生命性潤澤，對學生數學學習“蓄力”

學生的數學學習必須具有生命的活力。在小學數學教學中，教師不僅要引導學生感悟、體悟數學思想方法，更要讓學生受到數學文化的啟蒙、熏染，受到數學生命的潤澤。只有將數學文化、數學精神等融入學生的生命之中，才能對學生的數學學習有效“蓄力”，讓學生真正從被動的學習轉向主動的學習、從膚淺的學習轉向深刻的學習、從分割的學習轉向整體性的學習。教師不僅要注重啟迪學生思維，還要注重培育學生的數學精神、數學人格，把學生培養成一個具有數學品性、品位的人。

從根本上說，學生的數學學習只有根植于數學文化、數學精神的土壤中，才能獲得一種持久的生命力。比如教學“成反比例的量”這一部分內容時，很多教師僅僅引導學生從數量關系出發，概括、提煉“反比例的關系式”，而忽視了反比例的圖像。筆者在教學中，立足于數學思想、文化的視角，給學生提供了平面直角坐標系，引導學生采用“描點”“連線”等方式，繪制反比例圖像。有了“反比例圖像”，引導學生對反比例圖像進行數學化的解讀，能讓學生深刻認識到：橫軸上的數越來越大、縱軸上的數越來越小；橫軸上的數越來越小、縱軸上的數越來越大，而橫軸和縱軸上相對應的兩個數的乘積始終不變（在觀察反比例圖像上的數對時，滲透數學的奇異之美）；引導學生通過觀察、比較發現，橫軸上的數向無限遠延伸，縱軸上的數越來越接近橫軸但卻始終不和橫軸相交，縱軸上的數越來越接近0，但始終不等于0，由此滲透、融入數學的對應之美、極限之美。在小學數學教學中，教師要給學生的數學文化精神的啟迪，引導學生從多個維度來感悟、分享數學的文化與精神。

數學的文化、精神是數學的內在性的生命。教師必須具有一種大視野，引導學生開展整體性、感悟性的數學學習。“核心概念”“上位知識”“關聯結構”“思想方法”等都是數學的“高觀點”。教師在小學數學教學中要“高點定位”，只有這樣才能讓學生的數學學習“高位走強”，才能讓學生的數學學習煥發生命的活力。