從樣本點到全概率公式

白俊麗 胡勝龍 王勇

摘? 要：全概率公式是概率論中的重點內(nèi)容，深入理解全概率公式中的基本概念有助于正確求解相關問題. 文章通過三道全概率公式例題闡述了如何從本質(zhì)上理解這些基本概念，以及理解這些基本概念對解題的重要性.

關鍵詞：樣本點；樣本空間；全概率公式；分割

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0061-04

引用格式：白俊麗，胡勝龍，王勇. 從樣本點到全概率公式［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（3）：61-64.

一、引言

全概率公式是概率論中的一個重要知識點，其定義中包含概率論中的一些基本概念，對這些基本概念的準確理解有助于正確使用全概率公式. 本文將從這些相關基本概念的定義出發(fā)，結(jié)合全概率公式的應用，闡述清晰理解基本概念的重要性.

我們知道，概率論的研究對象是隨機現(xiàn)象，對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗. 我們研究的隨機試驗是具有試驗可重復、試驗結(jié)果不唯一、所有試驗結(jié)果可預見這三個特點的試驗. 此外，兩個重要的基本概念是樣本空間和樣本點.

定義1：隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為該試驗的樣本空間，樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件.

在具體問題中，給定樣本空間是描述隨機現(xiàn)象的第一步. 由以上定義可知，要寫出樣本空間，需要先不重不漏地分析出隨機試驗可能出現(xiàn)的所有結(jié)果. 另外，需要強調(diào)的是，基本事件（即只含一個樣本點的事件）之間是互斥的. 換句話說，一次試驗中的兩個基本事件不能同時發(fā)生. 因此，樣本空間中的元素一定是互斥的.

全概率公式是在已知樣本空間的一個分割的前提下，求該樣本空間中任一隨機事件發(fā)生的概率的重要工具. 具體描述如下.

從定義2可以看出，正確使用全概率公式的一個重要前提是給出樣本空間[Ω]的一個分割. 本文將從概率論的基本概念出發(fā)，在尋找分割的過程中體會正確理解基本概念對熟練使用全概率公式的重要性.

二、主要內(nèi)容

我們將通過相關例題，分析如何從樣本點這一基本概念出發(fā)，自然而然地利用全概率公式解決相關問題，從而體現(xiàn)深刻理解基本概念對熟練使用全概率公式的重要性.

1. 樣本空間的分割與樣本點

樣本空間與隨機現(xiàn)象緊密相關，樣本點是樣本空間的構(gòu)成元素，因此正確找到樣本點是確定隨機試驗樣本空間的關鍵.

對于問題，可以知道[ω1 ，ω2]，[ω1 ， ω2]，[ω1，ω2]，[ω1， ω2]四個事件之間是互斥的. 它們都是由一個樣本點構(gòu)成的事件，所以都是基本事件. 而[A0]，[A1]，[A2]三個事件之間也是互斥的. 那么，這些事件也都是基本事件嗎？答案是否定的. 因為[A1]表示“一枚硬幣擲兩次，恰好有一次正面朝上”，它包含“第一次正面朝上，第二次反面朝上”和“第一次反面朝上，第二次正面朝上”兩個基本結(jié)果，因此[A1]不是由一個樣本點表示的事件，即不是一個基本事件.

2. 全概率公式與樣本點的聯(lián)系

接下來，我們將通過三道應用全概率公式的例題，闡述利用全概率公式求解與正確認識樣本點之間的關系.

例1? 有甲、乙兩個袋子，甲袋中裝有[6]個紅球，[4]個黑球；乙袋中裝有[5]個紅球，[3]個黑球. 這些球除顏色外無差別. 現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，求從乙袋中取到紅球的概率.

分析1：求解該題的難點主要來自取球分兩個階段，如果將第一階段取球的所有不同情況都考慮到，那么問題也就迎刃而解了.

對比解法1與解法2，我們會發(fā)現(xiàn)解法2中的[A1?A2]即為解法1中的[A]，解法2中的[A3?A4]即為解法1中的[A]，圖2和圖3則體現(xiàn)了樣本空間[Ω]的兩種分割之間的關系，即[Ω=A?A=A1?A2?A3?A4].

借助解法2的分析過程，也闡明了解法1的原理，學生在之后求解類似的題目時可以直接應用簡潔的解法1，并知曉其中的道理.

由此可見，對樣本空間[Ω]的分割方式不一定是唯一的，但是組成樣本空間的樣本點是確定的，這可以幫助我們更好地理解題目，進而根據(jù)已知條件恰當?shù)乇硎境鰳颖究臻g[Ω]實現(xiàn)高效解題.

例2? 甲、乙、丙三人同時獨立地向同一飛行物射擊一次. 設甲、乙、丙射中的概率分別為[0.4]，[0.5]，[0.7]. 又設恰有一人射中時飛行物墜毀的概率為[0.2]，恰有二人射中時飛行物墜毀的概率為[0.6]，三人都射中時飛行物必墜毀. 求飛行物墜毀的概率.

分析：先寫出該題涉及試驗的樣本空間[Ω]. 不難理解，一次完整的試驗為三人分別完成一次射擊. 設[A=]“甲射中飛行物”，[B=]“乙射中飛行物”，[C=]“丙射中飛行物”，則[Ω=A?B?C?ABC]. 但是應該注意到，[A]，[B]，[C]，[ABC]這四個事件不能構(gòu)成[Ω]的一個分割，因為事件[A]、事件[B]和事件[C]之間不是兩兩互斥的. 事實上，事件[A]、事件[B]和事件[C]都不是基本事件. 例如，事件[A]并非一次試驗的基本結(jié)果，它可以分解為[ABC]，[ABC]，[ABC]，[ABC]四個基本事件. 借助圖4，我們可以很容易地寫出由基本事件構(gòu)成的樣本空[Ω]的一個分割.

從該例可以看到，用基本事件分割樣本空間[Ω]對正確使用全概率公式求解問題有重要的作用. 并且對于不同的題目，樣本空間[Ω]需要根據(jù)題設條件來分割，而并非一定要用基本事件來分割.

例3? 甲、乙、丙三人同時獨立地向同一飛行物射擊一次. 設甲、乙、丙射中的概率分別為[0.4]，[0.5]，[0.7]. 又設甲射中時飛行物墜毀的概率為[0.6]，甲射不中且乙射中時飛行物墜毀的概率為[0.3]，只有丙射中時飛行物墜毀的概率為[0.1]. 求飛行物墜毀的概率.

分析：類似于例2，設[A=]“甲射中飛行物”，[B=]“乙射中飛行物”，[C=]“丙射中飛行物”. 同樣可以找到樣本空間[Ω]的一個分割，即[Ω=i=18Ri]，其中[Ri]（i =1，2，…，8）如例2中所設. 但是應該注意到在該例中條件概率[PDRi]（[D]如例2中所設）無法求解. 此時，再分析題目條件，發(fā)現(xiàn)樣本空間[Ω]不一定要由基本事件來分割，還可以由[A]（甲射中），[AB]（甲射不中且乙射中），[ABC]（只有丙射中），以及[ABC]（甲、乙、丙均射不中）進行分割（如圖5）.

三、結(jié)論

本文討論了樣本點、樣本空間等概率論中的基本概念與全概率公式之間的關系. 具體而言，通過三道全概率公式的相關例題，逐步闡述了正確描述樣本點或樣本空間對理解及求解題目的重要性；也舉例說明了針對不同的題目，即使用基本事件分割樣本空間[Ω]無法直接求解，也有利于準確利用全概率公式理解題目，進而給出適當?shù)膶颖究臻g[Ω]的分割. 全概率公式是概率論的基本公式之一，要深刻理解并熟練使用該公式，需要對基本概念有清晰的認識. 同樣地，如果在理解概率論中的其他知識點時遇到困難，不妨也回到對基本概念的理解中來，或許會收到事半功倍的效果.

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