結構化視角下解析幾何的教學內容分析

虞濤 時杰

摘? 要：結構化視角下，對中學數學教學內容的把握需要體現聯系入手、整體思考和發展演繹的特點. 在此結構下，分析了解析幾何的建立框架，包括其建構設想、學科基石、方法精髓和教育價值，提出解析幾何的研究重點應該包括用代數方法研究幾何問題的學科觀念、建立曲線與方程對應的知識脈絡，以及以曲線方程和坐標法為核心和紐帶.

關鍵詞：結構化；解析幾何；學科框架；學科核心

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0014-05

引用格式：虞濤，時杰. 結構化視角下解析幾何的教學內容分析［J］. 中國數學教育（高中版），2024（3）：14-18.

課程內容結構化是新一輪課程改革的重要議題，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）在“前言”關于“修訂的主要內容和變化”中強調“重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領”，并在“教學與評價建議”“學業水平考試與高考命題建議”“教材編寫建議”中反復強調. 關注課程內容的結構化是由數學的聯系性和整體性特點決定的. 數學的結構是客觀存在的，只有從整體上看待數學，才能把握數學內容的本質，厘清中學數學課程內容的結構與發展脈絡，建立各條內容主線之間的邏輯關聯，從而發展學生的數學核心素養.

結構化視角下對中學數學教學內容的把握體現在三個方面：其一，聯系入手，站在數學知識整體的立場探尋知識產生的背景，捋順知識發生發展的邏輯過程和知識之間的層級關系，理解知識外在的符號表征；其二，整體思考，確定知識的核心概念，以核心概念為中心將形式分離但本質一致的內容統整起來，構建前后一致、邏輯連貫的內容主線；其三，發展演繹，剖析內容主線中知識學習的漸進性，提煉內容主線中蘊涵的數學思想和方法，優化整合促進不同數學思想方法的融合，形成統攝性更強、適用性更廣的數學一般觀念，促進數學學科進一步更新迭代. 本文嘗試基于結構化視角，分析滬教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第二冊（以下統稱“新教材”）中的解析幾何內容，供數學教師研究參考.

一、解析幾何的建立框架

1. 解析幾何的構建設想

17世紀的數學家笛卡兒認為，古希臘的幾何學只限于形，演繹推理只能證明已經發現的事物，卻不能幫助發現未知的事物，而代數受公式和法則的束縛. 他希望能將幾何學和代數學中最好的東西結合起來，取長補短. 他想要創造一個理想的解決各種問題的“萬能方法”：任何問題—數學問題—代數問題—解方程. 要實現包含數形轉化、數形結合和各取所長的想法，需要兩個基本要素，或者說需要兩個基本想法：一個是坐標想法，另一個是點的運動變化想法. 坐標想法使“點”和“數”之間形成聯系，運動變化想法則通過點動成線，把曲線上的“點集”和相應方程的“坐標數集”對應起來，且能夠相互轉換，實現了曲線的代數化，從動態的角度解決了幾何問題. 這兩個基本的萌芽想法最終不斷完善發展，促使解析幾何成為數學發展過程中的重要學科分支.

2. 解析幾何的奠定基石

從這兩個基本想法談起. 先說前者，點與數組如何對應起來？即如何選取基線. 這就需要構建坐標系的靈感. 在平面上建立坐標系，建立點與有序的一對實數的一一對應關系. 數對就是所謂平面上點的橫坐標和縱坐標. 這樣給出了點的位置數量化的具體方法，是從“形”到“數”的基本出發點. 再議后者，在運動變化想法的前提下，以平面情形為例，動點的坐標成為兩個變量，曲線成為兩個變量的關系. 將帶有兩個變量的方程與平面上的一條曲線對應，建立起對應的統一體. 已知給定一條平面上的曲線C，把曲線看成動點M的軌跡. 利用點的坐標的概念，可以建立曲線C在平面坐標系中的二元方程[F]，使得該曲線上任何一點的坐標都滿足這個二元方程[F]，而不在該曲線上的任何點的坐標都不滿足這個二元方程[F]. 一個二元方程[F]的解集所對應的點集確定了平面上的曲線C. 在幾何圖形與代數方程的統一下定義曲線的方程（或方程的曲線）的核心概念. 因此，對“平面直角坐標系”“坐標”“曲線的方程（方程的曲線）”等概念的定義，完成了解析幾何的奠基工作.

3. 解析幾何的方法精髓

構建解析幾何的第一想法，是點與數組的對應，將幾何中的基本元素“點”和代數中的基本研究對象“數”建立起對應關系. 這是由形到數，數形結合的基本點. 利用坐標系，可以建立平面上的點與有序的一對實數的對應關系. 構建解析幾何的第二個想法，是點的運動變化，使得幾何圖形與代數方程達成了統一. 這里需要把曲線看成動點的軌跡，動點就可以用一對有序的變數來表示. 在此基礎上，平面上的曲線就可以用方程來表示. 這是依形判數，數形結合的轉折點. 于是，可以通過研究方程的代數問題來研究曲線性質的幾何問題，需要使用代數方法進行字母推導運算，這是由數推形，數形結合的制高點，也就是解決幾何問題的關鍵點. 可以看到，解析幾何充分利用了代數方法和幾何方法中最有利的功能：幾何圖形的具體、直觀和形象，便于想象、認識和理解；代數方法的表達方便、結構清晰、操作性強，以及可程序化. 解析幾何數學分支的建立實現了笛卡兒對普適性方法探索的初衷. 它的創建是科學發展的需要，也是數學學科發展對普適性方法的需求，具有強烈的方法論的觀念. 因為數學是從“數”和“形”兩個視角展開研究的，所以數形結合是中學數學的主要思想方法，而解析幾何正是數形結合的經典數學分支.

4. 解析幾何的教育價值

解析幾何素材具有豐富的教育價值. 在解析幾何發展的各個階段都可以呈現出教育價值，包括應用價值、人文價值、科學價值、創新價值和審美價值等. 在探究圓錐曲線的起源階段，可以了解圓錐曲線名稱的來歷，以及如何從圖形角度進行定義，感受圓錐曲線的現實背景；在查閱圓錐曲線的歷史成果階段，可以欣賞并感受古希臘數學家的理性與智慧，明確解析幾何的發展史，感受解析幾何悠久的學科歷史；在解析幾何學的創立階段，可以分析解析幾何的核心學科思想，以及它對數學學科發展的重要作用，了解從數量關系角度定義圓錐曲線的時代背景和學科發展背景，引出圓錐曲線的幾何性質；在圓錐曲線性質的發現階段，經歷從具體情境中抽象獲得圓錐曲線本質特征的過程，了解圓錐曲線的最初定義與圓錐曲線的本質特征的聯系，滲透化歸思想，體驗數學模型思想的應用；在圓錐曲線的定義階段，經歷從數量關系角度定義圓錐曲線的過程，培養探索真理和理性分析的思維品質，掌握圓錐曲線的概念，引出橢圓的標準方程；在圓錐曲線的應用階段，經歷運用解析幾何思想和方法解決實際問題的過程，了解圓錐曲線的實際應用，激發學生的學習興趣，體會數學的應用價值.

二、解析幾何的研究重點

1. 解析幾何的學科觀念

《標準》強調對數學概念本質的認識和基本數學思想方法的學習，如運用代數方法進一步認識、運用平面解析幾何方法解決、感悟平面解析幾何中蘊涵的數學思想等，還有進一步體會數形結合的思想. 這里簡要說明這些思想方法之間的邏輯關系，如圖1所示.

解析幾何是數形結合的典范，是基于它將“數”與“形”的對立關系統一了起來，從而實現了用代數的觀點和方法解決幾何問題. 解析幾何的思想方法主要包括坐標法和代數法. 新教材在“平面直角坐標系中的直線”單元著重運用坐標法，借助坐標系表示確定直線位置所需要的幾何元素，構建多種形式的直線方程，并利用直線方程判定兩條直線的位置關系. 在“圓錐曲線”單元涉及大量的代數運算，著重運用坐標系下的代數法建立曲線方程，研究幾何性質及直線與曲線的位置關系. 曲線方程是坐標法和代數法實施的載體. 基于運動與靜止的觀念，把曲線看成動點的軌跡；基于二元變量的觀念，形成曲線的方程或方程的曲線的概念. 至此，基于平面上的點與一對有序坐標的對應，在系列直線方程、圓方程、各種圓錐曲線方程概念建立的過程中逐步推進“數”與“形”的統一. 解析幾何的研究發展成以“曲線的方程”為核心概念，包含眾多子概念，如直線的方程、圓錐曲線的方程等. 因此，這部分內容應該以“曲線的方程”為單元主題開展學習. 當然，這種統一建立在平面坐標系的支持下. 因此，坐標系法，即在坐標系下進行點的坐標、直線的方程和曲線的方程的確定，是一種重要的代數運算方法. 坐標系建立、幾何元素坐標的確立，以及坐標的運算使得代數方法成為幾何圖形研究的主要方法. 這樣以形定數、借數推形，使得解析幾何成為用代數方法來研究幾何問題的一門數學分支. 事實上，新教材中函數、三角函數、復數和向量等知識發展的邏輯都是借助于坐標系，也讓坐標法和代數法成為中學數學的基本方法. 因此，《標準》將解析幾何納入幾何與代數主線，主張用代數方法研究幾何對象.

2. 解析幾何的知識體系

整個解析幾何知識結構框架體系如圖2所示. 第一層為數學，對數學學科的整體描述，是數學學科研究的宏觀方向；第二層為數學核心素養；第三層為數學分支領域；第四層是關于解析幾何學科分支的基本觀念和初始目標，直達學科領域知識內核的描述；第五層是核心概念，包括坐標系與曲線方程；第六層是重要概念，是各種平面曲線，有圓、橢圓、雙曲線和拋物線等，它們是建立方程和研究方程的出發點；第七層是基本概念，有各種直線的方程、圓的標準方程和一般方程、橢圓的標準方程、雙曲線的標準方程和拋物線的標準方程；第八層是數學事實，這里有各種圓錐曲線的幾何性質，包括對稱性、頂點、范圍和離心率等，從而揭示出體現最初直觀感知的幾何圖形的多種特征.

3. 解析幾何的知識脈絡

在解析幾何創立之前，幾何與代數這兩個學科分支彼此獨立，但是隨著生產實踐的發展及學科發展的需求，迫切要求把幾何和代數聯系起來，溝通形和數之間的關系，使得幾何與代數兩大學科之間互相汲取新的內容，從而獲得快速發展. 借助坐標，由點與數組的對應延伸到“按某種規律運動的曲線的軌跡”與“制約條件下兩個變量的關系”的對應，繼而上升為曲線與方程的對應，衍生出直線與二元一次方程、圓錐曲線與二元二次方程、運動的曲線與參數方程、旋轉曲線與極坐標方程的對應關系，完成平面曲線與二元方程在數形結合上的對應，如圖3所示.

4. 解析幾何的核心概念

解析幾何的終極目標是用代數的觀點與方法解決幾何問題，為了實現這一目標，僅建立幾何與代數的對應關系是不夠的，還要進一步將幾何與代數融為一體，達成統一. 由此，曲線的方程的概念成為解析幾何理論賴以建立的支柱. 新教材盡可能用通俗的語言描述曲線的方程和方程的曲線的定義：在直角坐標系中，給定一條曲線和一個關于x與y的二元方程. 如果給定曲線上的每一點的坐標都是該給定方程的解，而且以給定方程的解為坐標的點都在該給定曲線上，那么稱這個給定的方程是給定曲線的方程，也稱這條給定的曲線是給定方程的曲線. 不妨將曲線的方程看作滿足特定條件的點的集合，即用集合語言來說明這個定義. 給定曲線可以看作由點組成的集合，記作C；如果把給定方程的解作為點的坐標，那么給定方程的解集就可以看成一個點集，記作F. 用集合C和集合F之間的關系來描述曲線的方程和方程的曲線定義中的兩個條件：第一個條件指點集C是點集F的子集；第二個條件指點集F是點集C的子集. 這樣，根據集合的性質，就可以用集合相等的概念來定義曲線的方程和方程的曲線，即[C?F]且[F?C，] 得[C=F，] 從而重構曲線的方程和方程的曲線的定義. 某種意義上，曲線與方程的關系還可以看成一種充要條件. 研究曲線和方程對應的充要條件，是用代數方法研究幾何問題的理論保證. 探索軌跡的純粹性與完備性，是嚴格論證曲線的方程的必經之路. 它形成了從幾何軌跡、代數表示到反向推演的雙向驗證的確定曲線方程的方法論.

在新教材中，“曲線的方程”既是學習直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等概念的基礎，又是上位包容概念. 它是用坐標法研究位置關系、度量關系、曲線性質的關鍵. 由于直線的方程、圓的方程、橢圓的方程、雙曲線的方程、拋物線的方程等重要概念不斷地被代數推導和雙向驗證，使得曲線的方程成為解析幾何中的核心概念，它具有整個解析幾何知識的引導性和統領性，整個解析幾何單元圍繞曲線的方程主題展開，知識內容逐步擴充，思想方法逐步深入.

5. 解析幾何的主要研究對象

平面解析幾何的研究對象是平面幾何圖形及其幾何要素或基本特征，事實上就是圖形在運動變化中的不變性和不變量等. 解析幾何從點和直線開始研究，利用坐標確定直線上的點及直線的斜率和截距，進一步研究點與直線、直線與直線的位置關系，包括重合、平行、垂直和相交，以及由直線所形成的平面圖形的長度、角度和面積. 再進一步開展圓錐曲線的研究，包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線，研究它們的長軸、短軸、實軸、虛軸、焦距、離心率、焦半徑等幾何量. 最后，用代數的方法研究直線與圓錐曲線的位置關系，包括相交、相切等.

6. 解析幾何研究的主要問題

在平面幾何和立體幾何中，我們所用的研究方法是以公理為基礎，以演繹推理為手段，依據圖形中點、線、面的關系來研究圖形的性質. 而在解析幾何中則完全不同. 在解析幾何思想的指引下，所有圓錐曲線都可以用二元二次方程來表示，用坐標表示點，用方程表示曲線（包括直線），從而用方程的思想去解決與曲線有關的問題. 因此，平面解析幾何的兩個主要研究問題是：根據幾何條件，建立適當的平面坐標系，從而用方程表示平面曲線；通過研究方程的特點，來研究平面曲線的特征，從而用代數方法解決幾何問題.

7. 解析幾何的學習基礎分析

本單元知識內容屬于選擇性必修課程，學習主體對象一般是高中二年級學生. 學生在日常生活或相關學科知識中獲知了圓、橢圓或拋物線的幾何形狀的特征. 學生在初中階段已經學習和掌握了平面幾何的基本知識，如兩點確定一條直線，知道到定點的距離是正常數的動點的軌跡是圓，能依據幾何命題判斷圖形是否是中心對稱或軸對稱，具備了一定的演繹推理能力. 從小學到初中，學生依次接觸到數軸和坐標系，經歷了由將實數對應到數軸上的點到將有序數對對應到坐標系中的點的過程. 學生已經熟悉借用平面直角坐標系研究數學問題，能把直線和一次函數的圖象聯系起來；了解了反比例函數的圖象也稱為雙曲線，二次函數的圖象也就是物理學中的拋物運動軌跡，這樣從直觀上感知二次函數與拋物線圖形的對應關系. 在高一必修課程中，函數、三角函數、平面向量內容的學習都建立在平面直角坐標系中點的表示和坐標運算的基礎上，如函數的周期性、奇偶性和單調性等性質都可以借助坐標來刻畫和研究，學生具備了一定的數形結合、分析問題和轉化問題的能力，已經初步理解和體會了坐標法的應用. 這些都有利于學生進一步學習解析幾何的知識內容和思想方法.

事實上，從初中的正（反）比例函數、一次（二次）函數到高中的冪函數、指數函數、對數函數和三角函數，都揭示了函數解析式與函數圖象的內在聯系. 函數的圖象與方程的曲線在數與形上的對應表達已經蘊含了解析幾何中曲線的方程與方程的曲線的概念雛形. 解析幾何的本質是點與坐標的對應、曲線與方程的對應、用代數方法解決幾何問題，這就要求學生能自覺地選取適當的坐標系，并能熟練地進行數形轉化. 而用數學符號表示幾何元素，進行比較復雜的代數運算是學生尚未具備的能力.

參考文獻：

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