優化解題思路 提升運算素養

郝進宏 孫秀平

摘? 要：解析幾何問題因其運算煩瑣、復雜等特點，成為歷年高考考查學生數學運算素養的較好載體. 通過對一道高考解析幾何試題的解答過程進行分析，論述了在解析幾何知識學習過程中提升運算素養的關鍵在于解題方法的選擇、點或直線及其形式的選擇、逆向思維明確方向和深挖幾何條件背后的數量關系四個方面，最后給出在邏輯推理指導下提升學生運算素養的具體教學建議.

關鍵詞：運算素養；優化思路；高考試題；解析幾何

中圖分類號：G633.65? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0056-05

引用格式：郝進宏，孫秀平. 優化解題思路? 提升運算素養：以2023年高考數學北京卷解析幾何解答題為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（3）：56-60.

運算能力是最基本的數學能力.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將數學運算作為六大核心素養之一. 數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程，主要表現為理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結果. 可見，數學運算不等同于數學計算，數學運算素養不僅是算得對、算得快，更要求學生掌握一定的運算技巧，能從多角度分析問題，盡可能地降低運算難度和運算量. 因此，數學運算素養的培養離不開邏輯推理能力的提升. 文獻［2］中指出：運算能力包括計算技能和邏輯思維. 文獻［3］進一步將六大數學核心素養分成三組：直觀想象、數學抽象；數學運算、邏輯推理；數據分析、數學建模. 依次稱為數學思維素養、方法素養和工具素養，并指出：數學運算和邏輯推理是數學思維的基本方式，體現了建構和推演數學，以及運用數學知識來解決問題的方法特征. 因此，可以把“推理”和“運算”比作兩個車輪，其發展相輔相成，在數學運算過程中積極關注邏輯推理能力的培養可以有效提升學生的運算能力.

作為高中數學內容的重要組成部分，解析幾何因其運算煩瑣、復雜等特點，成為歷年高考考查學生數學運算素養的較好載體，但是很多學生面對這類問題卻表現平平. 表面上看，是由于學生缺少解題方向，畏難心理嚴重，缺少克難毅力；實際上看，是學生想得少、算得多，答題比較“莽撞”，缺少優化數學運算的理念與方法；本質上看，則是學生在數學運算過程中缺少了邏輯推理，在提出問題、分析問題的過程中沒有理解運算對象的合理性、運算法則的準確性、運算邏輯的連貫性和運算方法的靈活性，在解決問題過程中缺少不斷優化數學運算思路的高要求.

一、試題與分析

題目 （2023年北京卷·19）已知橢圓[E： x2a2+]

[y2b2=1 a>b>0]的離心率為[53]. 設橢圓E的上、下頂點分別為[A]，[C]，若[E]的左、右頂點分別為[B]，[D]，[AC=4].

（1）略；

（2）點[P]在橢圓[E]的第一象限上運動，直線[PD]與直線[BC]交于點[M]，直線[PA]與直線[y=-2]交于點[N]，求證：[MN∥CD].

容易得到橢圓[E]的標準方程為[x29+y24=1]. 第（2）小題中要證明的是變化中的不變關系，可以將幾何中的平行關系轉化為代數中的數量關系，進而通過數學運算來求解. 但是不同的轉化結果所帶來的運算量和運算難度是不一樣的. 因此，尋找以“減少運算量、降低運算難度、提高運算效率”為目標的合理轉化方式是提升學生數學運算素養的關鍵.

二、開門見山，直述其意

在解析幾何綜合問題中，往往依據題目條件步步推進便可以形成解題路徑，若能有邏輯地“翻譯”相關條件則可以大幅度提高解題效率.“設點”和“設線”是處理解析幾何綜合問題常用的思路和方法，若能從優化運算思路的角度對從“點”入手還是從“線”入手進行細致比較，則邁出了運算素養提升的第一步.

解法1：（設點代入）如圖1，[P]為第一象限[E]上的動點.

【評析】設點[P]的坐標后，按照試題給出的已知條件分別求出點[M]和點[N]的坐標，此時兩點的坐標均可以用點[P]的橫縱坐標[x0，y0]表示，求解直線[MN]的斜率后利用橢圓方程化簡即可以得到其為定值. 此解法思路清晰，難點在于化簡直線[MN]的斜率時運算量較大，學生容易出錯.

【評析】因為點[P]的三角形式中已經蘊含了點[P]在橢圓上的信息，所以利用三角形式進行運算會減少運算量. 但是由于是化簡求值，所以三角形式的優勢體現得不是很充分，三角形式在求解代數式取值范圍時優勢會更加明顯.

【評析】設直線[PA]的方程，令[y=-2]，即可求出點[N]的橫坐標. 然后依次求出點[P]的坐標和直線[PD]的方程，將直線[PD]的方程與直線[BC]的方程聯立，即可求出點[M]的坐標. 這種解法思路簡潔，但是由于直線[PD]的方程煩瑣而導致聯立化簡的過程較復雜. 實際上，還可以設直線[PD]的方程，將其與橢圓聯立. 因為直線[PD]過[x]軸上定點[D3，0]，所以將直線[PD]的方程設成橫截距式（即設[PD]方程為[x=ty+3]），在與橢圓聯立化簡的過程中還會減少一定的計算量，也是一種優化.

三、執果索因，優化過程

解析幾何問題的轉化方向往往是不唯一的，不同的轉化方向會導致運算量和運算難度有所不同. 化歸得越徹底，運算量就會越小，運算的復雜程度也會隨之減弱.“執果索因”是確定研究方向，進而讓化歸更加徹底的一種重要手段. 那么，對于上述試題，由問題的結果[MN∥CD]逆推，能否找到其背后易于表達的邏輯關系呢？

欲證[MN∥CD]，由題意可知只需要證明[kMN=kCD]，即證[yM-yNxM-xN=23]. 由點[M]在直線[BC]上（即[yM=-23xM-2]）和[yN=-2]，可知只需要證明[-23xM-2+2xM-xN=23]，即證[2xM=xN]. 從而找到[MN∥CD]的一個等價條件[2xM=xN].

顯然，這樣轉化后計算量會大幅度減少. 首先，不用求解點[M]的縱坐標[yM]；其次，避免了對直線[MN]斜率的化簡運算.

【評析】顯然，無論是用三角形式設點，還是設其他直線解題，如果能采用執果索因的思路找到[MN∥][CD]的等價條件[2xM=xN]，都會在很大程度上減少運算量，從而降低運算的復雜程度，達到優化運算思路的目的.

四、數形結合，簡化運算

上述解法4和解法5是從代數角度對平行關系進行等價轉化. 由于解析幾何兼具代數和幾何的特性，故也可以嘗試從幾何角度，通過分析幾何關系“執果索因”進行轉化，進一步優化運算思路. 具體而言，結合圖1，由[CN∥BD]，[△BCD]為等腰三角形，可知欲證[MN∥CD]，只需要證明[△MNC]為等腰三角形. 由[xC=0]，[CN∥Ox]，可知只需要證明[2xM=xN]. 其求解過程與解法4和解法5類似，不再贅述.

這是典型的運用數形結合思想來簡化運算的體現. 正如華羅庚先生所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休；幾何代數統一體，永遠聯系莫分離.”

五、教學建議

數學運算不是簡單的計算，更不是機械的程序化操作，其本質是根據數學法則進行推理的過程，偏向于數學理性的思維、邏輯的推理. 在解析幾何問題的求解過程中，教師要以思路清晰、運算量小、復雜程度低為目標，引導學生在推理的嚴謹性、簡潔性、靈活性，運算的正確性、敏捷性，以及算法的有效性和高效性選擇上進行充分思考和比較，不斷優化運算思路，鼓勵學生在掌握數學運算和邏輯推理方法的基礎上真正提升數學關鍵能力.

1. 優化運算的幾條路徑

對于解析幾何綜合問題來說，優化運算的方法和途徑有很多，細節往往決定著解題的成敗. 在此之中，以下四個方面尤其需要關注.

（1）解題方法的選擇.

要在“設點”和“設線”兩個基本思路和方法上做出選擇，關鍵是要注意直線與圓錐曲線聯立后利用根與系數關系所得到的數式能否被有效利用.

（2）具體的“點”或“直線”及其形式的選擇.

設點時，選擇哪個點，用哪種形式？設直線時，選擇哪條直線，用哪種形式？往往關系著運算過程能否繼續化簡，問題能否繼續解決. 選擇時要以參數少、形式簡單為基本標準.

（3）逆向思維明確方向.

注重引導學生利用“執果索因”“先猜后證”等思想方法進行逆推，以在明確研究目標的情況下優化過程.

（4）要深挖幾何條件背后的數量關系.

可以利用平面幾何知識進行適度的推理與轉化，盡可能直接得到易于用坐標表達的數量關系.

2. 拓展問題，提升認識

根據比格斯的SOLO分類評價法，從學生的學習結果分析，達到關聯結構層次或抽象拓展層次是體現高階思維的重要指標. 通過對數學問題的延伸，引導學生對問題進行抽象與概括，學會從理論的高度來分析問題、深化問題，使問題本身的意義得到拓展，有助于結構性思維的形成.

針對上述題目，可以提出以下拓展問題.

拓展：已知橢圓[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，[A]，[C]分別是[E]的上、下頂點，[B]，[D]分別是[E]的左、右頂點. 設[P]為第一象限內[E]上的動點，直線[PD]與直線[BC]交于點[M]，直線[PA]與直線[y=-b]交于點[N]. 求證：[MN∥CD].

數學運算和邏輯推理彼此聯系又相互促進. 在具體教學過程中，教師要注重在數學運算過程中融入對學生邏輯思維能力的培養，引導學生從不同角度有邏輯地思考與轉化數學問題，在減少運算量、降低運算難度、提高運算效率的目標指引下，助力學生優化運算思路、提升運算素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］羅增儒，李文銘. 數學教學論［M］. 西安：陜西師范大學出版社，2006.

［3］寧銳，李昌勇，羅宗緒. 數學學科核心素養的結構及其教學意義［J］. 數學教育學報，2019，28（2）：24-29.