例析排列組合問題三種不同解法

周金斤

【摘要】排列組合問題在高中數學中主要以填空、選擇題形式出現，主要考查學生的運算與數據分析能力.由于排列組合問題與實際生活結合較為緊密，因此一些問題較為復雜.如何對一些存在特殊且復雜要求的排列組合問題進行解答，是學生學習的重點.本文介紹3種有效的解題思路，以期幫助學生更準確地解答排列組合問題.

【關鍵詞】高中數學；排列組合；解題技巧

排列組合是高中數學中一項重要的內容，近年來在高考題目中以選擇題或填空題的形式廣泛考查.解決排列組合問題的方法多樣靈活，在解題過程中，學生常常對于排列組合問題的分析不夠明確，并且大部分學生在面對排列組合問題時都不知道從何處著手.本文通過實例介紹排列組合問題的幾種基本類型，并進行相應的考點分析.

1 隔板處理

隔板處理思路主要解決相同元素之間的排列組合問題，如將m個相同元素分配成n組.解題思路一般為：①分析問題，理清相同元素的個數m以及需要分組的組數n；②在m－1個空格內隨機插入n－1塊隔板，列出等式Cn－1m－1并計算，所得具體值即問題所求答案.具體解題過程如下例題所示.

例1 某學校舉行表彰大會，校領導經討論決定將表彰的12個名額分別分配給高三年級的7個班級，要求每一個班級至少有1個名額，求12個名額分配給7個班級的分配方式有多少種？

解析 首先，分析題目信息，題目本質將12個相同的元素隨機分配成7組，采取隔板處理思路，可以在11個空格中任意插入6塊隔板，列出等式C611并計算，即可得到具體排列數目.

解 將12個名額分配給7個班級的分配方式一共有：C611=462種.

評析 相同元素的不平均分組問題，常規解題思路通常是n組先平均分配1個名額，再把剩下的m－n個名額隨機分配，求解過程較為復雜，容易出現漏解多解.用隔板思路處理這類問題具有一定優勢，需要學生熟悉并掌握.

變式 某社團召開學生會議，要將11個學生代表名額分配到高二年級的6個班級中，若高二（1）班至少要有3個名額，其他5個班級每班至少1個名額，共有__________種不同分法.

剖析 分析題意可得要將11個相同元素不平均分成6組，首先處理（1）班至少需要3個名額的要求，即總元素去除2個元素，再采取隔板思路解題，在9個元素形成的空位中隨機插入5塊隔板，列式計算即可得到答案.

解 先給高二（1）班分配2名學生，剩余9個名額分配到6個班級，每個班至少有1個名額，適用隔板法，有9個相同元素共8個空（不含兩端），插入5塊隔板，共有C58=56種方法.

評析 該題屬于相同元素不均分的問題，但存在特殊要求，要先處理特殊要求再采用隔板思路，就能列出對應式子并運算解題.

2 插空處理

插空處理思路通常見于解答不相同元素的不相鄰排列組合問題，解題思路大致為：①根據題意找出要求不相鄰的元素，將剩余元素排列在一起，得到等式；②把特殊要求的元素隨機插入完成排列的元素形成的空格中，得到具體算數式；③通過計算，求出排列組合問題對應的具體答案.

例2 學校排練元旦節目，一共有6個節目，其中就有3個是舞蹈節目，若要求每兩個舞蹈節目之間至少含有一個其他節目，則一共有多少種不同的安排方法？

解析 問題中含有特殊元素，即3個不相鄰舞蹈節目，按照插空處理思路應先按照一定順序排列剩余不作要求的節目.然后將3個舞蹈節目插入4個空格中，將每一步得到的結果相乘得到排列組合問題的答案.

解 根據題意，舞蹈節目不能相鄰，首先排列剩余3個沒有作要求的節目，則有A33種不同排列方式.

由于每兩個舞蹈節目之間至少含有一個其他節目，將3個舞蹈節目插入4個空格中，有C34種不同的排列方法.

根據分步計數原理，一共有C34A33=24種排列方案.

評析 插空法運用過程中，在排列無特殊要求的元素時，應結合題意分清排列是否具有順序要求，還需要注意排列完成的元素形成的空位是否包括首尾兩端，這些都是學生在解題時應該關注的細節.

變式 為迎接期中考試，某同學要在周日上午安排5個學科的復習工作，數學學科的復習時間不安排在上午第一科，并且數學和物理學科不安排在連續時間段，那么5個學科復習時間的順序安排共有__________種.

解析 物理和數學學科不能連續排列在一起是采用插空法解題的關鍵所在，其次數學還不能安排在第一個復習科目位置，故需要根據物理學科的復習位置分類列式解題，即可得到答案.

解 根據物理學科復習時間的安排，可以分為兩大類：

①物理安排在第一科，數學安排在后三科，則有3×A33=18種方法；

②物理和數學復習時間均不在第一科，則有3×A22×A23=36種方法，

綜上，一共有18+36=54種安排方法.

3 分組處理

分組處理通常應用于元素被分為不相等個數的組的排列組合問題.其解題思路為：①分析題意，理清需要分配的組數與每一組對應的元素個數；②按照要求的個數，如第一組要求a個元素則有Cam，第二組要求b個元素則有Cbm－a，從所有元素中逐步挑選，直到所有元素被分配完；③由于分組處理屬于分步計算問題，故將n個組的算術式相乘，得到最終答案.

例3 小蘭有2個芭比娃娃，3個音樂盒，4個毛絨玩具，現在小蘭要將它們全部收進一個儲物柜，假設這個儲物柜剛好可以讓這9個玩具擺放成一排，則有多少種不同的擺放方法？

解析 分析題目可知，問題等價于“不完全相同的元素之間不平均分組”的問題.第一組是個數為2的芭比娃娃組，即從9個元素中選出2個元素；依次按照題意挑選即可，最后按照分步計數原理相乘得到最終排列結果.

解 對于芭比娃娃來說，就是從9個元素里面任意挑選2個元素，因此有C29種方法；

對于音樂盒來說，就是從剩下的7個元素里面任意挑選3個元素，因此有C37種方法；

對于毛絨玩具來說，就是在剩下的4個元素里面任意挑選4個元素，因此有C44種方法；

所以不同位置的排法有C29C37C44=1260種.

評析 分組處理可以應用在均分問題和不均分問題上，均分n組問題的解答過程時，需要在最后除以Ann避免重復計算；不均分問題求解則不需要，這是學生需要關注的一些細節.

4 結語

在排列組合問題中，一些有特殊要求或條件較為復雜的問題需要采取一定的措施進行解決.如相同元素不均分問題應選取隔板思路處理，不相同元素的不相鄰排列問題應采用插空思路解決，元素不平均分組問題則需要應用分組思路解答.排列組合問題考查形式較為靈活，學生不僅要掌握一些常見的解題思路，還要熟悉其他特殊類型問題的解題思路，才能達到高效解題的目的.

參考文獻：

［1］彭耿鈴.探析排列組合常見的十六種解題方法［J］.中學生數理化（高二數學、高考數學），2023（08）：20-24.

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