橢圓定義及標準方程的教學設計

高涵

【摘要】《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學課程內容要突出數學探究活動.橢圓是中學生常見的幾何模型，本文著重研究探究式教學方法在橢圓的定義及標準方程上的運用.通過恰當的提問、富有啟發性的講授，引導學生積極思考、充分參與課堂活動，并融入數學文化，激發學生對數學學習的好奇心和求知欲.通過課堂探究活動使學生能夠主動學習掌握橢圓相關知識，成為學習活動的主體.

【關鍵詞】橢圓定義；標準方程；高中數學

1 教學目標

（1）掌握橢圓的定義、標準方程的形式，能根據定義法、待定系數法計算出橢圓的標準方程.了解橢圓的相關歷史背景.

（2）通過觀察橢圓的形成過程，類比圓的定義歸納出橢圓的定義，用數學計算的方法推導出標準方程，培養數學抽象、數學建模、數學計算能力，體會數形結合、轉化的思想.

（3）意識到數學與生活有著緊密的聯系.樹立積極的學習態度，主動參與小組合作，欣賞數學的對稱美、簡潔美，對數學有好奇心和求知欲.

2 教學重點、難點

重點 掌握橢圓的定義及標準方程的形式.

難點 多種方法推導出橢圓的標準方程.

3 教學過程

3.1 情境導入

將事先準備好的圓形紙片發給學生.

教師 請大家在這張紙片上除圓心O之外的地方任選一點A，并用黑筆標記這個點（如圖1），將紙片折起一角，使被折起部分的圓弧經過點A，重復這個步驟若干次，然后將紙片鋪平（如圖2）.仔細觀察這張紙片，被眾多折痕包圍著的是什么圖形？

教師 你在生活中見過橢圓嗎？在哪里見過？

學生交流后，教師用PPT展示生活中的橢圓，最后展示行星的運行軌道，并告訴學生通過這節課的學習我們可以計算出行星運行軌道的方程.

教師 你知道關于橢圓的歷史嗎？

如果有學生知道，請學生介紹；如果沒有，播放介紹橢圓歷史的科普視頻.

設計意圖 把數學與折紙游戲結合在一起，既能勾起學生的好奇心和學習興趣，又可以活躍課堂氛圍，自然地引入了今天要學習的橢圓.讓學生回憶生活中見到的橢圓，是引導學生用數學的眼光去觀察身邊的事物，把數學知識與生活相聯系.在教學過程中滲透數學史，讓學生了解到橢圓的悠久歷史，積累數學文化素養.

3.2 探索新知

問題1 同學們，你知道這些形狀優美的橢圓是怎么得到的嗎？

學生發言，隨后請一位學生回顧圓的定義.教師拿出準備好的無彈性的細線，請一位學生根據圓的定義在黑板上畫出一個圓.教師引導學生找出圓的定義中的關鍵詞——“一個定點”“定長”.

問題2 改變這兩個關鍵詞，得到的圖形還會是圓嗎？可以得到橢圓嗎？

組織學生四人小組合作，先改變一個關鍵詞，看看能得到什么.教師巡視，適時點撥.讓兩位同學配合在黑板上畫出橢圓，并用語言描述作圖過程.隨后教師在幾何畫板上演示橢圓的形成過程，提示學生觀察屏幕上的三個數據是怎樣變化的.

學生觀察橢圓的形成過程，類比圓的定義概括出橢圓的定義.隨后教師介紹兩個定點F1，F2叫做橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫做橢圓的焦距.設疑：你能借助8cm長的細線畫出焦距為10cm的橢圓嗎？最后補充常數要大于F1F2，得到完整的定義.

問題3 通過探究，我們已經知道了橢圓的定義，你認為接下來我們可以從哪些方面研究橢圓？

學生有了學習圓的經驗知道還可以研究橢圓的方程和性質.

問題4 橢圓的定義中有哪些已知量？為了求得橢圓的方程，怎么處理這些已知量？

焦點F1，F2之間的距離是已知的，教師指出把它設為2c，橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和是已知的，設為2a.

問題5 求橢圓方程的步驟是什么？

引導學生回顧求圓的標準方程的步驟：建系→設點→列式→化簡.通過類比，得出求橢圓方程的步驟.

問題6 你認為怎樣建立坐標系可以使橢圓方程比較簡潔？

學生能判斷出橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，再聯想到之前學過的圓、函數的圖象，可以初步得出“以對稱中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸所求方程比較簡單”的結論.按上述結論建立坐標系后，設橢圓上任一點P（x，y），由“橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和等于2a”得到一個等式：PF1+PF2=2a，即（x+c）2+y2+（x－c）2+y2=2a（*）.顯然，以方程（*）的解為坐標的點都在橢圓上；橢圓上任意一點P的坐標都是方程（*）的解，所以（*）式就是橢圓的方程.并告知學生2a，2c是為了避免出現分數，體現數學的簡潔美.

問題7 （*）式看起來非常復雜，如何化簡這個方程？

學生獨立思考，教師投影學生的化簡過程，請學生簡要陳述.要說明，為了體現方程形式的簡潔美，令b2=a2－c2（b>0），方程可化為x2a2+y2b2=1（a>b>0），這就是橢圓的標準方程.

問題8 除了兩次平方法，你還有別的方法計算（*）式嗎？

如果學生有想法，教師要關注學生是怎么想到這種方法的，鼓勵學生大膽發言并驗證.如果沒有，教師提供其他的幾種方法：

方法1 “和差數”法，法國數學家洛必達首次采用這種方法推導橢圓的標準方程.先讓學生觀察（*）式的結構特征，如果是兩數相加等于2a，能否聯想到關于等差中項的知識：p，a，q成等差數列等價于p+q=2a，（*）式中是兩式相加，即（x+c）2+y2，a，（x－c）2+y2成等差數列.在學習數列時遇到此類問題，通常設這三個數分別為a-d，a，a+d.這里可以引導學生設（x+c）2+y2=a－d，（x－c）2+y2=a+d.

方法2 “平方差”法，最早使用此法的是英國數學家賴特，這種方法利用平方避免了根式，再巧妙地運用平方差公式，也是學生容易接受的一種方法.設（x+c）2+y2=d1，（x－c）2+y2=d2，d1+d2=2a.

將兩種方法的推導過程留作課后探究作業.

設計意圖 教材上的“兩次平方”法是化簡含有兩個根式的通法，雖然可以鍛煉學生的運算能力，但仍有些許繁瑣.向學生介紹不同解法，有助于學生積累經驗、開闊思路，在日后做練習時進行遷移.

問題9 現在把橢圓逆時針旋轉90°，橢圓發生了什么變化？它的方程還是x2a2+y2b2=1嗎？

學生發現旋轉后橢圓的焦點從x軸“跑”到了y軸，由定義列出的等式變為（y+c）2+x2+（y－c）2+x2=2a（**），引導學生通過比較可以發現（*）式與（**）式的結構相同，將（*）式中的x換成y就可以得到（**）式，所以焦點在y軸上的橢圓標準方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）.以上兩個方程都是橢圓的標準方程.

問題10 橢圓的兩個標準方程有什么異同？如何由標準方程判斷橢圓的焦點在哪個軸？

學生先獨立思考，再小組交流討論.師生共同得出結論.

設計意圖 觀察比較（*）（**）兩式，運用轉化的方法，避免了再一次復雜的計算.學生自行比較兩個方程的異同，可以留下深刻的印象，加深對橢圓的理解.

3.3 鞏固新知

練習1 已知橢圓的標準方程為x225+y29=1，則a2=__________，b2=__________，焦點在__________軸，焦點坐標為__________.

練習2 下列哪些方程是橢圓方程？如果是，指出焦點在哪個坐標軸上.

（1）x23+y23=1；

（2）x2+y22=1；

（3）2x2+2y2=1；

（4）2x2+3y2=6.

練習3 求適合下列條件的橢圓的標準方程：

（1）a=4，b=3，焦點在x軸上；

（2）焦點為F1（0，－1），F2（0，1），且b=1；

（3）經過點P（－2，0）和Q（0，－3）.

練習4 哈雷彗星的運行軌道是橢圓（如圖），其近日點距離太陽0.59天文單位，遠日點距離太陽35.31天文單位，求出哈雷彗星運行軌道的標準方程.

設計意圖 練習4與本節課伊始相呼應.課堂鞏固練習是數學教學中必不可少的環節.針對教學目標從不同的角度由易到難地設置練習題，可以考查學生對新知識的掌握情況，幫助學生鞏固知識，提高學生應用知識的能力.

3.4 課堂小結

教師 這節課你收獲了什么？怎么求橢圓的標準方程？

一定義（橢圓的定義），兩方程（橢圓的兩種標準方程），三字母（a，b，c）.

先定位：確定焦點的位置，選擇方程的形式，再定量：用定義法或待定系數法求出a，b的值.

設計意圖 引導學生回顧這節課的學習內容，對所學內容進行簡單的梳理，使知識得以概括、深化.

4 結語

本文采用探究式教學對橢圓的定義及標準方程進行研究，與傳統的接受式教學相比，雖然提升了學生在課堂中的參與度，增加了小組合作討論的機會，給予學生獨立思考的空間，但仍然耗時過長，有待改進.在實際的教學中，接受式教學與探究式教學是可以相輔相成、相互滲透的，如何在課堂教學中將探究式教學與接受式教學相融合，需要教師發揮能動性，把握好“度”.如果教師在教學中能認真有效地進行教學設計、合理地組織和實施，把兩種教學方式結合起來，形成優勢互補，必然會提高教與學的有效性.