一節素養導向的數學文化教學起始課的實踐與反思

何喜平 朱宸材

［摘? 要］ 單元起始課作為章節學習的源頭與引領，不僅承擔著本課顯性知識的教學，還承擔著培養學生素養提升的隱性教學功能. 將數學文化融入起始課的教學，能幫助學生更好地理解數學知識的發生和發展規律. 融合數學文化的教學強調的是一種育人理念，體現的是數學趣味，通過教學過程的實施，最終指向的是數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 素養導向；數學文化；簡單隨機抽樣

緣起

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出數學文化要融入高中數學課堂. 這不僅是教師教學的需要，也是學生學習的需要.對教師而言，這是課堂教學的一個重要環節，可以使學生認識數學知識的地位，理解數學的科學價值與意義，從而激發學生的學習興趣，提高教學質量.從學生角度出發，可以擴充課外知識，培養學生用數學的眼光看問題，促進學生更好地理解數學，進而轉變學生的數學觀，改進學生的學習狀態，使數學學科核心素養落地生根.

在一堂“簡單隨機抽樣”的課堂教學中，筆者因為融入了一些數學文化，學生的學習狀態大有改觀.據以往經驗，學生對統計知識缺乏興趣，課堂氛圍沉悶，許多學生只是知識的被動接受者，而融入數學文化之后，學生學習的積極性很高，課堂學習氛圍活躍，一些學生顯得很有探索欲. 因此，筆者深受鼓舞，現將本節課的教學設計與反思撰寫成文，與同行交流.

教學過程簡述

1. 引入

師：在以往所學的數學知識中，幾乎所有問題的結果都可以被準確計算出來，如一個三角形的兩角和一邊的大小確定了，那么剩余的邊和角就可以被精確計算出來.但是，生活中很多問題是難以精確計算出結果的. 在小說《三體》中，三體世界有三個太陽，受這三個太陽間相互作用力的影響，這三者發生運動，它們的運動規律能夠算出來嗎？

生1：它們的運動是沒有規律的，三體人會遭遇晝夜季節無規律更替的“亂紀元”，極端天氣帶來嚴苛的生存環境讓三體文明不斷地毀滅，為了尋找合適的生存環境，三體人決定入侵地球.

師：正確. 事實上，三體問題是天體力學中的基本力學模型. 三體問題是指三個質量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質點的天體，在相互之間萬有引力的作用下的運動規律問題.很多數學家與物理學家為解決這個問題做了很多努力，比較著名的有牛頓、龐加萊、歐拉、拉格朗日等，但是到目前為止，三體問題仍然不可解.

生2：當三個星球按原本的軌跡運行發生位置改變，改變后的相互位置會使相互之間的引力發生改變，這反過來又會改變它們的運行軌跡，復雜的相互作用使三體問題不可解.

師：是的. 但是三體問題就不能被認識了嗎？科學家在計算機上模擬三星系統，追蹤演變過程. 通過大量的實驗發現，一個三星系統在歷經所有可能的狀態后，最終只剩下一個雙星系統和一個“逃逸”的星體，得出了三體問題的一個統計學結論. 所以說，三體人不必冒著生命危險去尋找合適的生存環境，他們只需等待，等待多余的太陽“逃逸”，而成為穩定的雙星系統（這里跟學生開個玩笑）.

師：生活中很多問題都是無法進行精確計算的，比如現在很多同學上學都是由家長開車送來的，那么途中行駛的時間可以精確計算出來嗎？這肯定是不可能的，因為在行駛過程中有很多不確定因素，如行駛速度、堵車程度、紅燈等待……這些不確定因素都會影響行駛時間.那么，如何回答不能被精確計算的問題呢？請問你上學需要多少時間？

生3：15分鐘左右.

師：15分鐘是怎么得出來的？

生3：根據以往的經驗估計的.

師：這其實就是數學中的統計.對于不能精確計算的問題，我們可以通過“統計”和“概率”的知識來認識. 統計學是通過收集數據和分析數據來認識未知現象的一門科學，“概率統計”是一種重要的數學思想. 如今，統計學已應用于很多領域，如經濟學、醫學、氣象學、非線性動力學等. 接下來我們的學習內容就是“統計”與“概率”.

2. 相關概念介紹

筆者指出統計的研究對象是數據，核心是通過數據分析研究和解決問題；結合生活中的實例，介紹獲得數據的兩種辦法（全面調查和抽樣調查），以及總體、個體、調查變量、樣本、樣本容量等概念，讓學生區分全面調查與抽樣調查的優缺點，強調抽樣調查的重要性，引出本節課重點內容——簡單隨機抽樣.

3. 簡單隨機抽樣的概念講解

思考：假設口袋中有紅色和白色共1000個小球，除顏色外，小球的大小、質地完全相同. 你能通過抽樣調查的方法估計袋中紅球所占的比例嗎？怎么解決呢？

？搖生4：可以從袋中摸出一個小球，記下顏色后放回，再摸出一個小球，如此重復50次. 如果這50次中，紅球出現了10次，那么可以估計口袋中紅球占比約為20%，于是紅球個數約為200.

？搖師：很好！初中的概率知識告訴我們，隨著摸球次數的增加，摸到紅球的頻率會逐漸穩定于摸到紅球的概率，即紅球所占比例，因此可以通過摸到紅球的頻率來估計袋中的紅球數. 大家請注意，怎樣得到的樣本能科學合理地反映總體情況？對每次摸球有什么要求嗎？

？搖生5：每次摸球時，應保證每一個小球被摸到的概率相同.

？搖師：很好，這樣得到的樣本中的紅球占比與總體中的紅球占比更接近.你能將抽樣過程重新說一下嗎？

？搖生5：先將這1000個小球攪拌均勻，然后隨機摸出一個小球，記下顏色后放回，攪拌均勻后再摸出一個小球，如此重復50次.

？搖師：很好，摸出一個小球后必須放回嗎？

生5：也可以不放回，先將這1000個小球攪拌均勻，然后逐個不放回地摸出50個小球.

？搖師：很好，顯然這種方法更方便快捷，還有不同的方法嗎？

生6：也可以一次性摸出50個小球.

？搖師：都說得很好，這是最常見的三種方法. 在摸球過程中，關鍵一點是要保證每一個小球被摸到的可能性相同. 一般地，設一個總體含有N（N為正整數）個個體，從中逐個抽取n（1≤n＜N）個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內每個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內未進入樣本的每個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣. 放回簡單隨機抽樣與不放回簡單隨機抽樣統稱為簡單隨機抽樣. 相比放回簡單隨機抽樣，不放回簡單隨機抽樣的效率更高，因此實踐中人們更多采用不放回簡單隨機抽樣. 本章中若未具體說明，簡單隨機抽樣就是指不放回簡單隨機抽樣.

師：請大家思考，用簡單隨機抽樣得到的樣本，一定能準確反映總體的情況嗎？

生7：不一定，由于隨機性的存在，肯定存在誤差，有時可能誤差較大.

師：說得很好，我們只能盡可能縮小誤差，但誤差肯定是存在的. 了解了簡單隨機抽樣的概念，那么在實際問題中，怎么實施這種抽樣方法呢？我們來看這個例子.

4.簡單隨機抽樣在實際問題中的實施

例題：一家家具廠要為樹人中學高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學生的平均身高，以便設定可調節課桌椅的標準高度. 已知樹人中學高一年級有712名學生，如果要通過簡單隨機抽樣的方法調查高一年級學生的平均身高，應該怎么抽取樣本？

師：這個統計問題中，總體、個體、調查變量分別是什么？

生8：樹人中學的全體高一學生的身高是總體，每一位學生的身高是個體，學生的身高是調查變量.

師：怎么實施簡單隨機抽樣呢？

生8：可以將這個問題還原成剛才的問題，即將這712名學生看作712個小球，然后不放回地逐個抽取.

師：說得很好，請你將過程具體說說.

生8：第一步，先將這712名學生按1至712進行編號；第二步，將所有編號寫在大小、質地無差別的小球上；第三步，將小球放入不透明的口袋中，攪拌均勻；第四步，逐個不放回地取出n個小球；第五步，將這n個小球上的編號對應的學生組成樣本.

師：很好，必須對這712名學生進行編號嗎？可以使用他們的學號嗎？

生9：可以，最好利用已有的編號.

師：必須將所有編號寫在大小、質地無差別的小球上嗎？有沒有替代品？

生10：也可以用外觀、質地相同的紙片或卡片，只要保證每個個體被抽到的可能性相同即可.

師：很好，但這個制作過程其實挺麻煩的，為了解決這個麻煩，還有一種辦法叫做“隨機數法”. 例如準備10個大小、質地相同的小球，小球上分別寫上數字0，1，2，…，9，把它們放入不透明的口袋中. 從口袋中有放回地摸取3次，每次摸取前充分攪拌，并把第一、二、三次摸到的數字分別作為百、十、個位數，這樣就生成了一個三位隨機數. 如此重復若干次，如果得到的隨機數不在編號范圍內或與前面重復，就舍棄編號，直到取夠樣本所需要的隨機數的個數，然后將編號與這些隨機數相一致的學生身高組成樣本. 這種產生隨機數的方法叫做“用隨機試驗生成隨機數”.

5. 利用信息技術生成隨機數

利用計算器、電腦及某些軟件，生成隨機數. 讓學生閱讀教材內容，并利用教室電腦演示.

6. 課堂小結

師：請你談談本節課的收獲.

生11：在三體問題的一個統計學結論中，我看到了統計學在數學中的地位、價值和意義，了解了概率統計是一種重要的數學思想，對于不能精確求解的問題可以通過概率統計知識來認識. 學習了簡單隨機抽樣的概念，掌握了實施簡單隨機抽樣的步驟，以及產生隨機數的一些手段.

教學反思

1. 數學文化的滲透彰顯“統計”的數學地位

“統計”與“概率”是人教A版普通高中教科書數學（2019版）必修第二冊的尾聲，縱觀兩冊必修教科書，從第一章“集合與常用邏輯用語”至第八章“立體幾何初步”，所涉及的數學問題幾乎都可以準確推算出結果. 但在實際生活中，很多問題包含多個變量，且變量存在不確定性，如“三體問題”“氣象預測問題”等，都無法進行精確計算，不過可以通過統計與概率的知識來估計. 因此，統計與概率的知識在數學中的地位至關重要，也許是這個原因，“統計”與“概率”在必修的教材上壓軸登場.

2. 數學文化的融入體現數學的學科價值

數學文化的內涵包括數學美、數學史、數學思想、數學應用等，將數學文化恰當地融入課堂中，可以促進學生認識數學的學科價值. 本節課先以大多數學生所熟知的小說《三體》引入新知，雖然三體問題不可解，但通過計算機模擬得出了一個統計學結論；然后引出生活中無法進行精確計算的問題，這些問題可以通過統計學的知識來提高認識，讓學生了解學習統計的意義，體會概率統計是一種重要的數學思想方法；再介紹統計學應用的領域，如經濟學、氣象學、醫學、非線性動力學等，讓學生認識統計學的價值.

3. 數學文化的引領提升學生的學習效果

“簡單隨機抽樣”是“統計”章節的起始內容，為了使學生對本章知識產生學習興趣，提高學生的學習動力，課堂中需要融入數學文化來讓學生了解學習意義，改變學生的學習狀態.因為很多領域都要用到概率統計的知識，所以與概率統計有關的數學文化是非常豐富的，在課堂中融入數學文化有很多選擇. 從課堂效果來看，引入三體問題一下子就吸引住了學生的眼球，在講述數學家和物理學家為解三體問題付出努力的這段史實時，學生的聲音、表情與坐姿表現出了學生強烈的求知欲，在后續授課的過程中，特別是在講述簡單隨機抽樣的概念以及其應用時，學生都能全身心投入.

《中國學生發展核心素養》提出核心素養的總體框架和基本內涵，《中國高考評價體系》確立高考中學科素養的考查目標，標志著中國高考正在實現從能力立意到素養導向的歷史性轉變. 數學文化如同一條紐帶，把知識技能、數學思考、問題解決和情感態度四個方面的目標有機地結合在一起. 數學史的融入可以讓今人和古圣隔空對話，碰撞、思考和研究，建立一種不同時空之間的神秘且特殊的聯系融入課堂教學中，可以讓學生了解數學知識的地位、價值與意義，改變學生的數學觀，提升學生的學習效果，真正落實學生數學學科核心素養的培養.