一道圓錐曲線試題的探究與推廣

廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 鄧啟龍

試題已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為x軸,y軸,且過A(0,-2),B(,-1)兩點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)過點(diǎn)P(1,-2)的動直線l交橢圓E于M,N兩點(diǎn),過M且平行于x軸的直線與直線AB交于點(diǎn)T,點(diǎn)H滿足證明: 直線HN過定點(diǎn).

解析易得橢圓E的方程為=1.先考慮過P的兩條特殊直線l1:x=1和l2:y=-2x,分別得到對應(yīng)的直線HN,這兩條直線的交點(diǎn)即定點(diǎn),通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)是A.然后考慮一般情況,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)-2,得到M,N,T,H的坐標(biāo)后,驗(yàn)證直線HA和直線NA的斜率相等(或同時不存在),即可說明直線HN過點(diǎn)A,于是得到解法1.但是解法一運(yùn)算量較大,能否改進(jìn)方法,減少運(yùn)算量? 本文經(jīng)過探究,發(fā)現(xiàn)利用直線l的參數(shù)方程,可減少運(yùn)算量,于是得到解法2.

2.若l的斜率不存在,則l的方程為x=1,同解法一可得直線HN也過點(diǎn)A.所以直線HN過點(diǎn)A.

在試題中,點(diǎn)P,A,B有什么特殊性呢? 經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn),直線PA,PB與橢圓E相切,切點(diǎn)分別為A,B,直線MT平行于x軸,即直線MT平行于PA,T為線段MH的中點(diǎn).設(shè)直線NT與PA交于點(diǎn)C,由H,N,A三點(diǎn)共線可得C為線段PA的中點(diǎn).本文經(jīng)過深入探究,將試題一般化,得到以下結(jié)論.

結(jié)論1點(diǎn)P在橢圓E外,過P作橢圓E的切線,切點(diǎn)分別為A,B,線段PA,PB的中點(diǎn)分別為C,D.過P的動直線l與橢圓E交于M,N兩點(diǎn),過M作PA,PB的平行線,分別與直線AB交于點(diǎn)T,S,則C,T,N三點(diǎn)共線,且D,S,N三點(diǎn)共線.

由MT//PA,MS//PB可得T,S的坐標(biāo),然后通過計(jì)算得到kT C=kNC,kSD=kND,從而推出C,T,N三點(diǎn)共線,且D,S,N三點(diǎn)共線.這種方法思路可行,但是運(yùn)算量太大,有沒有減少運(yùn)算量的更好的方法?

結(jié)論2點(diǎn)P在圓E外,過P作圓E的切線,切點(diǎn)分別為A,B,線段PA,PB的中點(diǎn)分別為C,D.過P的動直線l與圓E交于M,N兩點(diǎn),過M作PA,PB的平行線,分別與直線AB交于點(diǎn)T,S,則C,T,N三點(diǎn)共線,且D,S,N三點(diǎn)共線.

解析由于結(jié)論2 與坐標(biāo)系無關(guān),為了方便計(jì)算,以圓心E為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AE為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

本文通過仿射變換,將橢圓變成圓,通過證明圓中的結(jié)論2,從而證明橢圓中的結(jié)論1.能否不將橢圓仿射成圓,直接證明結(jié)論1 呢? 在結(jié)論1 中,注意到直線AB是點(diǎn)P的極線,本文經(jīng)過深入探究,利用極點(diǎn)極線的性質(zhì),直接證明結(jié)論1.

在證明結(jié)論1 之前,先簡單介紹橢圓中極點(diǎn)和極線的相關(guān)知識.

引理1已知橢圓E:=1(a ＞b ＞0),點(diǎn)P(x0,y0)不在橢圓E上,且P與原點(diǎn)不重合.

(1)過P的直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),l上存在異于P的點(diǎn)Q滿足AP·BQ=AQ·BP(點(diǎn)P,Q調(diào)和分割線段AB),則Q在P的極線上;

(2)過P的直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),與P的極線交于點(diǎn)Q,則AP·BQ=AQ·BP(點(diǎn)P,Q調(diào)和分割線段AB).

結(jié)論1 的證明設(shè)l與直線AB交于點(diǎn)Q,注意到直線AB是點(diǎn)P的極線,由引理1得PM·QN=PN·QM.于是

對于雙曲線和拋物線,有類似的結(jié)論.

結(jié)論3點(diǎn)P在雙曲線E外(P不在雙曲線E的漸近線上),過P作雙曲線E的切線,切點(diǎn)分別為A,B,線段PA,PB的中點(diǎn)分別為C,D.過P的動直線l與雙曲線E交于M,N兩點(diǎn),過M作PA,PB的平行線,分別與直線AB交于點(diǎn)T,S,則C,T,N三點(diǎn)共線,且D,S,N三點(diǎn)共線.

結(jié)論4點(diǎn)P在拋物線E外,過P作拋物線E的切線,切點(diǎn)分別為A,B,線段PA,PB的中點(diǎn)分別為C,D.過P的動直線l與拋物線E交于M,N兩點(diǎn),過M作PA,PB的平行線,分別與直線AB交于點(diǎn)T,S,則C,T,N三點(diǎn)共線,且D,S,N三點(diǎn)共線.

接下來給出結(jié)論4 的證明.