《數學通訊》628 問題的多解探究及變式推廣

貴州師范大學數學科學學院(550025) 徐鳳旺 尹正波 成敏

1 問題呈現

分析這是《數學通訊》2023 年第9 期問題解答的628問題,求函數的最值問題.可以看出該題的條件式子和結論結構對稱,具有數學的美感.本文擬對該題的求解方法、變式及推廣做進一步的探究,與大家一起分享.

2 問題解析

分析此解法首先根據問題中等號成立的條件通過基本不等式進行放縮,對式子進行配湊并再次結合基本不等式,即可求得E的最大值.

解法2(基本不等式+權方和不等式)由基本不等式得

分析此解法首先利用基本不等式進行放縮,然后結合權方和不等式即可求得E的最大值.

分析此解法將其轉化為函數問題,利用函數切線的性質求得E的最大值.

分析此解法通過對函數二階求導,與函數的凹凸性結合起來,利用琴生不等式即可就得E的最大值.

3 問題變式

變式1(2022 年克羅地亞女子MO 試題) 已知正數a,b,c,d,滿足a+b+c+d=4,求證:

分析此變式是通過改變條件式子和不等式左邊每一項分母的未知數的冪得到的,證明方法與解法2 類似.

故變式2 得證.

分析此變式是通過改變條件式子和不等式左邊每一項的分母的結構得到的.

分析變式3 和變式4 是通過改變條件式子和不等式左邊每一項的結構得到的,其證明方法分別與下面的推廣6 和推廣8 的證明方法一致.

4 問題推廣

分析此推廣是在不等式的基礎上,將條件式子從“2”推廣到“4”,不等式左邊每一項分母的常數項從“2”推廣到“λ”得到.

分析此推廣是在推廣1 的基礎上,將不等式左邊每一項分母的未知數的冪從“2”推廣到“m”得到的.

推廣3已知正數a,b,c,d,滿足a+b+c+d=4,m ＞1且m ∈N*,λ≥m-1,求證:

分析此推廣是在推廣2 的基礎上,將不等式左邊每一項分母的結構從二項推廣為三項得到的.

推廣5已知正數a,b,c,d,滿足a+b+c+d=4,mn且m,n ∈N*,求證:

分析此推廣是在變式3 的基礎上,將不等式左邊每一項分母的未知數的冪分別從“4”和“3”推廣到“m”和“n”,分母的常數項從“5”推廣到“m+n-2”.

推廣7已知正數a,b,c,d,滿足a2+b2+c2+d2=4,m ∈N*,求證:

分析此推廣是在變式4 的基礎上,將不等式左邊每一項分母的未知數的冪分別從“4”和“4”推廣到“m”和“m”,分母的常數項從“6”推廣到“2m-2”.

分析推廣4、推廣6 和推廣8 分別是在推廣3、推廣5和推廣7 的基礎上,將條件式子的“4”推廣到“μ”,未知數的個數從“4”元推廣到“n”元得到的,推廣的形式不變.

上述推廣1 到推廣8 的證明方法與解法2 類似,下面給出推廣4、推廣6 和推廣8 的證明過程,其余推廣的證明過程不再敘述.

推廣4 的證明由基本不等式的推廣得

推廣6 的證明由基本不等式的推廣得

推廣8 的證明由基本不等式的推廣得

故推廣8 得證.